数列求和之裂项相消法

摘要：数列求和是高考、模考以及各种联考中最常见的数列考查形式.本文结合近几年高考命题规律，归纳了裂项相消法的几种类型并给出每种类型的求解策略.

关键词：数列；数列求和；裂项相消法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0033-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：李发明，从事高中数学教学研究.

数列问题在高考中常常是以求通项公式、求前n项和的考查形式出现.在数列求和问题中，裂项相消法占有举足轻重的地位.本文对裂项相消法的多种类型进行梳理和归纳.

11nn+k=1k1n-1n+k型

例1（人教A版必修5习题） 数列1nn+1的前n项和Sn=11×2+12×3+…+1nn+1，研究一下，能否找到求Sn的一个公式？你能对这个问题作一些推广吗？

解析因为1nn+1=1n-1n+1，

所以Sn=11×2+12×3+…+1nn+1

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

练习1曲线y=n2x+lnxn∈N*在x=2n处的切线斜率为an，则数列1anan+1的前n项和为.

解析由已知，得y′=n2+1x.

所以y′x=2n=n2+n2=n.

所以an=n.

所以1a1a2+1a2a3+…+1anan+1

=11×2+12×3+…+1nn+1

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

推广类似地，我们还可以求出通项公式为

an=1nn+k=1k1n-1n+k

或bn=12n-12n+1=1212n-1-12n+1

或cn=1nn+1n+2

=121nn+1-1n+1n+2

或dn=nn+1！=1n！-1n+1！

或en=n·n！=n+1！-n！的数列的前n项和.

21n+n+k=1kn+k-n型

例2（2018年湖南株洲醴陵二中、四中联考）数列1n+1+n的前2017项的和为.

解析因为1n+1+n=n+1-n，

所以12+1+13+2+…+12018+2017

=2-1+3-2+…+2018-2017

=2018-1

练习2已知数列an的各项均为正数，a1=2，an+1-an=4an+1+an，若数列1an+1+an的前n项和为5，则n=.

解析因为an+1-an=4an+1+an，

所以a2n+1-a2n=4.

所以a2n是首项为4，公差为4的等差数列.

所以a2n=4+n-1×4=4n.

所以an=2n.

所以1a2+a1+1a3+a2+…+1an+1+an

=122+21+123+22+…+12n+1+2n

=122-1+3-2+…+n+1-n

=12n+1-1.

令12n+1-1=5，解得n=120.

32n2n+12n+1+1=12n+1-12n+1+1型

例3（2018河北衡水中学八模） 已知函数fx=ax+b（a>0且a≠1）的图象经过点P1，3，Q2，5.当n∈N*时，an=fn-1fn·fn+1，记数列an的前n项和为Sn.当Sn=1033时，n的值为.

解析因为a+b=3，a2+b=5，

所以a=2，b=1或a=-1，b=4（舍）.

所以fx=2x+1.

所以an=2n+1-1（2n+1）（2n+1+1）=12n+1-12n+1+1.

所以Sn=13-15+15-19+…+12n+1-12n+1+1=13-12n+1+1.

令Sn=1033，解得n=4.

练习3已知数列an的前n项和为Sn，且a2=8，Sn=an+12-n-1.

（1）求数列an的通项公式；

（2）求数列2×3nanan+1的前n项和Tn.

解析（1）an=3n-1（过程略）.

（2）2×3nanan+1=

2×3n3n-13n+1-1

=13n-1-13n+1-1

=1an-1an+1.

所以Tn=2×31a1a2+2×32a2a3+…+2×3nanan+1

=1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1an+1

=1a1-1an+1

=12-13n+1-1.

44n2n-12n+1=12n-1+12n+1型

例4（2014年山東）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.

（1）求数列an的通项公式；

（2）令bn=-1n-1·4nanan+1，求数列bn的前n项和Tn.

解析（1）因为an的公差为2，

所以Sn=a1n+nn-1.

所以2a1+22=a14a1+12.

解得a1=1.

所以an=2n-1.

（2）bn=（-1）n-1·4nanan+1

=-1n-1·4n2n-12n+1

=-1n-1·12n-1+12n+1.

所以Tn=1+13-13+15+…+-1n-1·12n-1+12n+1.

當n为奇数时，

Tn=1+13-13+15+…+12n-1+12n+1

=1+12n+1

=2n+22n+1;

当n为偶数时，

Tn=1+13-13+15+…-12n-1+12n+1

=1-12n+1

=2n2n+1.

所以Tn=2n+22n+1，n为奇数，2n2n+1，n为偶数.

练习4在公差不为零的等差数列an中，a1=2，且a1，a2，a4成等比数列.

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn=-1n+1·2an+2an+1，求数列bn的前n项和Tn.

解析（1）an=2n（过程略）.

（2）bn=-1n+1·22n+22n+1

=-1n+1·1n+1n+1.

所以Tn=1+12-12+13+…+-1n+1·1n+1n+1.

当n为奇数时，

Tn=1+12-12+13+…+1n+1n+1

=1+1n+1

=n+2n+1;

当n为偶数时，

Tn=1+12-12+13+…-1n+1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

所以Tn=n+2n+1，n为奇数；nn+1，n为偶数.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.