求解导函数零点不可求问题的两个“妙招”

黄兴昌

导函数的零点不可求问题通常较为复杂，在解题时往往难以通过导函数的零点来判断函数的单调区间与单调性，这给我们解题带来了很大的困扰，此时就需要采用一些技巧，如多次求导、整体代换来判断函数的单调区间与单调性，以顺利解题，

一、多次求导

当导函数的零点不可求出时，可对导函数进行再次或多次求导，讨论二阶或二阶以上函数的单调性，用后一阶导函数的正负去判断前一阶函数的增减性，逐步判断出原函数的单调性，最终使问题得解，

对于本题，在分离参数后，新构造的函数的零点不可求，于是进行二次求导，从而判断出函数的单调性，达到求出原函数的最值的目的．

二、整体代换

当导函数有零点，但无法求得具体值时，可根据题意设出函数的零点，再通过整体代换来判断函数的单调性和单调区间，进而确定函数的最值，求得问题的答案．

导数法是解答函数、不等式、方程问题的有力“武器”，而导函数的零点是用导数法解题的关键．虽然导函数的零点不可求问题的难度较大，但是我们只要仔细研究其导函数，对其进行多次求导或进行合理的整体代换，就能顺利解答此类问题．

仔细分析题意可以知道，点M都随着点B的变化而变化，因此需采用相關点法解题比较便捷，用M点的坐标表示B点的坐标，再将其代入题设中进行运算，化简所得的结果，即可快速求得问题的答案．

由此可见，无论运用哪种方法求动点的轨迹方程，都要设出动点的坐标，建立关于动点的坐标与已知曲线方程之间的关系式，再通过化简，求得关于动点坐标的方程，从而求出动点的轨迹方程．虽然此类问题较为复杂，难度系数较大，但是只要明确题目中与动点相关的已知条件，选择与之相应的方法进行求解，问题就能迎刃而解．

（作者单位：南京航空航天大学附属高级中学）