感悟运算本质，提高运算能力

苏明强

在小学数学教学中，运算主要是指整数、小数、分数的“加减乘除”四则运算。运算教学在我国历经了一个逐步发展变化的过程，在20世纪“双基”教学的背景下，我们十分重视算法和算理的教学，进入21世纪，在新一轮基础教育课程改革中，在原来的基础上，我们开始关注算法的多样化，现在进入核心素养时代，运算能力成为数学核心素养的重要表现。那么，在数学核心素养导向下，如何才能更好地提高学生的运算能力，促进学生形成和发展数学核心素养呢？下面，笔者从感悟运算本质的角度，谈谈提高运算能力的三个问题。

一、让学生感悟运算的封闭性

长期以来，在教学中，我们常常把数的认识与数的运算割裂开来。其实，从本质上看，数与运算是一个有机整体。在数学中，当产生一种“数”的概念后，我们就会讨论这个“数集”的四则运算，在这个“数集”中，如果一种运算总是能进行，也就是运算结果总能在这个“数集”中找到，这时我们就称这种运算在这个“数集”中具有封闭性，否则，就称这种运算在这个“数集”中不具有封闭性。在小学数学中，在自然数的基础上，为了解决四则运算封闭性问题，数域必须得以不断扩充，于是就诞生了负数、整数、分数等概念。

在中小学数学中，数域的扩充顺序是：自然数（N）、整数（Z）、有理数（Q）、实数（R）、复数（C），在自然数范围内，加法、乘法都具有封闭性，即任意两个自然数进行加法和乘法运算，其运算结果仍然是自然数。然而，自然数集中的减法运算不具有封闭性，“小数”减“大数”的结果在自然数中找不到，这就要求数域必须扩充，补充了“负数”，这时数域就从自然数扩充到整数，因此，从运算的角度看，“负数”是减法运算的一种结果。

在整数集中，加法、减法和乘法都具有封闭性，但是除法不具有封闭性，比如“6÷3=2”运算结果依然是整数，而“3÷6”运算结果在整数集中找不到。因此，为了解决除法运算的封闭性，数域必须再一次扩充，补充了“分数”，数域就从整数扩充到了有理数，从运算的角度看，分数是除法运算的一种结果。至此，在有理数集中，“加减乘除”四则运算都具有封闭性，四则运算畅通无阻，至于数域后来还进一步扩充到实数和复数，那是为了解决“开方”封闭性的问题。

封闭性是数学运算的本质属性，在运算教学中，我们不应仅仅教学运算表面的算法，而应结合具体内容，通过巧妙设计，让学生体会运算的封闭性，感悟运算本质，发展数学核心素养。

二、让学生感悟运算的整体性

在小学数学中，加法、减法、乘法和除法四则运算，根据运算的级别分类，加法和减法为一类，它们是一级运算；乘法和除法为一类，它们是二级运算。根据运算结果的特点分类，加法和乘法为一类，它们的运算结果都是越来越大；减法和除法为一类，它们的运算结果都是越来越小。从表面上看，它们是四种完全不同的运算，这是一种初步感知。从本质上看，它们是一个有机整体，不同运算之间有着密切的联系，这是对运算整体性的一种感悟，这种感悟有助于提高学生的运算能力，促进学生形成和发展数学核心素养。

首先，运算的整体性表现为不同类型的运算之间存在互逆的关系，比如，加法和减法是两种互逆的运算，乘法和除法也是两种互逆的运算。如果运算过程体现在数线上，那么加法是向前跳“几格”，减法是向后跳“几格”，乘法是向前跳“几个几”，除法是向后跳“几个几”。

其次，运算的整体性表现在相同类型的运算之间存在简化的关系，乘法是加法（加数都相同）的一种简便运算，比如，2+2+2=6，即3个2相加可以写成3×2=6。除法也可以看成减法（减数都相同）的一种简便运算，比如，6-2-2-2=0，即6包含3个2可以写成6÷2=3。

最后，运算的整体性还表现在不同类运算可以互相转化，最终四种运算归为一种运算——加法，这就是四则运算的奇妙之处，减法运算可以转化成加法运算，法则是“减去一个数就等于加上这个数的相反数”，如3-2=3+（-2），乘法运算可以转化成加法运算，如3×2=2+2+2，除法运算可以先转化成乘法运算再转化成加法运算，法则是“除以一个数就等于乘以这个数的倒数”，如3÷2=3×[12]=[12]+[12]+[12]。这样，减法、乘法和除法运算最后都转化成了加法运算，这就是四則运算从“分”到“合”，最后归为一个整体的奇妙之处。

三、让学生感悟运算的一致性

整数和小数的四则运算具有高度一致性，这是由整数和小数表示形式的统一性所决定的。整数和小数本质上都是采用“十进制”记数法，它们的数位和进率体现出高度的一致性，整数部分的起始数位是“个位”，小数部分的起始数位是“个分位”，这里“个位”和“个分位”重叠。因此，整数和小数的数位就以“个位”为中心，左右两边完全对称，左边是十位、百位、千位……，右边是十分位、百分位、千分位……。正因为整数和小数表示形式的完全统一，因此，整数和小数的四则运算高度一致。比如，整数加减法“相同数位对齐，从个位加起”和小数加减法“小数点对齐，从低位加起”，它们本质上是一致的，小数乘除法可以直接转化成整数乘除法进行计算。

分数与整数、小数，虽然数的表示形式完全不同，但是运算的算理却体现出高度的一致性。比如，整数加法1+2=3的道理是：1个1加2个1等于3个1，3个1就是3；小数加法0.1+0.2=0.3的道理是：1个0.1加2个0.1等于3个0.1，3个0.1就是0.3；分数加法[14]+[24]=[34]的道理是：1个[14]加2个[14]等于3个[14]，3个[14]就是[34]；异分母分数[12]和[13]不能直接相加，因为它们分数单位不同，要通过通分使分数单位相同才能再相加，这些都是数的加法运算本质一致性的具体体现。

（作者单位：泉州师范学院教育科学研究所）

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