从问题生长，培养数学分类思想

李文明

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础， 比较是分类的前提， 分类是比较的结果。因此， 在培养分类思想上，应当突出“比较”二字。那么，如何“比较”呢？笔者认为，在教学中应当突出分类讨论中分类标准的“差异性”，比如：为什么选择这个时间段为变化后与变化前的界限？动态变化中，为什么找这个点为转折点？通过练习将分类标准的寻找变成学习的自动化过程，多训练几次，学生便可以在做中领悟到分类的道理。此外，培养分类思想的关键还在于教会学生如何思考问题。

现在的初中数学教学遵从生长数学的理念，就是让学生主动地在已有的知识体系上建立新知识的结构体系。俗话说，万事开头难。难就难在七年级的第一次分类讨论如何进行。在初中阶段，学生第一次用到分类讨论是在“绝对值与相反数”这一节，因此，教师要在这一节进行教学设计与思考，探讨分类讨论的具体形式以及思路方法，从而初步培养学生的分类讨论思维体系的建构。

下面，笔者以苏科版七（上）“绝对值与相反数”复习课为例，探讨如何从问题生长，培养学生的分类思想。

一、教学设计

1.问题呈现

例题：在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想。下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题。

【提出问题】已知三个有理数a、b、c， 满足abc

>0，求[aa]+[bb]+[cc]的值。

【解决问题】由题意，得a、b、c都为正数或其中一个为正数，另两个为负数。

①a、b、c都是正数，即a>0， b>0，c>0时，[aa]+[bb]+[cc]=[aa]+[bb]+[cc]=1+1+1=3；②当a、b、c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0，b<0，c<0，则[aa]+[-bb]+[-cc]=1-1-1=-1。

综上所述，[aa]+[bb]+[cc]值为3或-1。

【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）已知a、b是不为0的有理数，当[ab]=-ab时，[aa]+[bb]的值是；

（2）已知a、b、c是有理数，当abc<0时，[aa]+[bb]+[cc]的值为；

（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求[b+ca]+[c+ab]+[a+bc]的值。

2. 问题引导

如果一开始就让学生解决问题，学生会感到很困难，同时也说明这是一节“失败”的复习课。所以，在展示出例题以后，笔者先让学生将问题“放一放”，先考虑下面的问题：

（1）[2=]；（2）[-2=]；（3）[22]=；（4）[-2-2]=。

从建构主义的角度来说，学生学习的过程就是在脑海中建立一套体系的过程。从分类思想的培养来说，前两个问题是引导学生了解对于绝对值里面的数，不用考虑符号；后两道题则是引导学生对比、比较，让他们发现虽然两个数的绝对值一样，但做除法之后好像又不一样。这也是由特殊到一般的数学方法的渗透。

这时学生就会联想到一开始的问题并进行思考，但过一会儿又会意识到“好像懂但又解不出来”。这是因为他们没有理解“abc[>]0”这个条件。而这一个条件之所以“无用武之地”，是因为分类讨论思想还没有渗透到他们的心中，只是有提示了，他们才会想起来讨论。

所以，笔者给出另一组口答形式的问题来提示他们：

（1）2×3 ０；（2）2×（-3） ０；（3）（-2）×3 ０；（4）（-2）×（-3） ０；

这四个问题可以提示学生，“ab”大于零还是小于零，和a、b的正负情况有关。这时再次引导学生回过头来看例题的第一问该如何思考 。

到这里，学生就会知道，[ab]=-ab的意思就是 ab为非正数，进而得到 a、b的符号是一正一负，即a、b异号。引导至此，学生自然而然建构起初步的分类讨论的思想：要考虑正负情况。

此时，学生的知识树已经“生长”出了几根“枝叶”，第一问就可以让学生自主解决。为了加强学生对问题的分析解决能力，教师还应该渗透数学思想方法：“第二问与第一问的区别与联系是什么呢？”（这也是“比较”的一种具体表现形式。）

学生回答：“多了一个c。”这时教师要进一步引导：“第一问的思路可以推广到第二问吗？试试看！”这句话是为了渗透“由特殊到一般”的思想方法，也为了让学生体会解答题的一般解题思路：后面的问题一般都和第一问有关，甚至可以使用类似的思路来解答。在实际解题中体会数学思想方法是最直接、最有效的。

对于第二问，往往是数学能力中等偏上的学生能依靠第一问的提示完成解答。此时，其他学生需要的不是具体的解答过程，而是需要教师引导：“三个数相乘，什么情况为正？什么情况为负？”大多数学生便知道数的乘积的正负与乘数的正负情况有关。要想进一步深化分类讨论思想，教师还要在后续的教学中继续引导。

对于第三问，学生很难想到先移项，再依靠等号将b+c转化成-a，a+c转化成-b，a+b转化成-c。一方面，第三问多了一个条件，学生无所适从；另一方面，对等式进行移项转化，或等式两边同时加、减同一个数的方法，与前两问的解决方法完全不一样，并且在小学也没有用过。这里，就需要教师进一步引导：

（1）1+2+（-3）=；（2）1+（-4）+3=；（3）（-3）+1+2=。

这三问是引导学生思考、利用“a+b+c=0”这个条件的，但依然会有学生无法理解如何利用。故还需要教师适时引导：“同学们看看和为0的三个数有什么特征？”学生是可以看出来绝对值的关系对和的影响的，如果这时学生还没想到相反數，那么教师可以提示学生：“前两问我们对什么进行了讨论？”

至此，便是学生自主思考的时间，即“在做中学”。

在本节课快结束时，教师还要带领学生再次回顾本节课的重点，要让学生学会如何从题目中找到思考的方向。其中，分类讨论思想依然需要教师强调并设计针对性练习进行巩固。

二、教学反思

在数学教学中，提倡“生长数学”的建构主义方法研究。以一道题为例，要想串联起一整套的分类思想方法，重点在于对例题的解构，将例题分成一个个小部分，由易到难，逐步推进，让学生在一个个部分中体会数学思想。“在做中学”是培养学生分类思想的有效途径。教师要设计一个个“阶梯式”的小题，提示学生思考；建立奖励机制，鼓励学生往正确的方向思考；注重“以小见大”的题目布置，设计问题紧凑严密，逐步推进，像讲故事一样，将数学思想娓娓道来。

本节课的设计，主要围绕绝对值的討论进行。为什么绝对值的内容会出现分类讨论的问题？是因为“绝对值”这一映射是单射，这种非一一映射的对应在初中阶段不多出现。弄明白分类讨论产生的原因，对问题的讲解会更加接近本质，这里不再详细叙述。除了绝对值，平方根的内容也会出现单射，同样也需要分类讨论。那么，要想让学生了解、熟悉、理解这样一种单射，需要这类分类讨论的问题长期重复出现，还需要教师强调以及注重讲解中的思想渗透。

在初中阶段，学生第二次遇到分类讨论是在用一元一次方程解决行程问题时。行程问题是应用题里难啃的“硬骨头”。两物体相遇以后改变运动方向的问题，以及环形跑道的相遇问题，归根到底，都是对不同时刻的运动状态进行分类讨论的问题。对运动状态改变的时间节点进行讨论，可以和“绝对值与相反数”的内容进行类比思考。行程问题的分类标准是运动状态改变时的时间节点，而绝对值的分类讨论大部分都是对“正负”进行讨论。前者是实际生活中可以进行类比参照的，也是完全可以想象出来的分类讨论，而后者更偏于理论上的讨论，但是在分类讨论的种类分化上，本质是一样的，就是通过“比较”，找到问题中量的性质变化的临界点，进行划分。而这也和戴德金分割的思想一致，即将数集中的数进行分割，分割的标准就是数与数之间的“临界点”。

再回到教学中，教师设计好教学问题之后，课堂上还要给足学生思考的时间。教师不仅要引导，还要让他们主动跟着教师的思路走，所以，这就要求：题目的问题设计难度梯度合理，前后紧凑连贯；教师的威信度高，学生信服；教师的设问引导要有诱发性，学生愿意去思考。

（作者单位：江苏省溧水高级中学附属初级中学）