基于数形结合思想培养初中学生数学核心素养

张霞霞

进入新时期，我国社会对人才类型的需求更加倾向于逻辑强、思维灵敏的复合型人才，而思维的培养不是一蹴而就的，需要长期的引导和科学的运用。初中阶段作为思维初步成型且不断发展的重要时期，需要融入素质教育理念，帮助学生形成良好的思维逻辑，从而在学习和思考问题时能游刃有余。在实际应用过程中，数形结合能帮助初中生形成思维建模，具有一定的逻辑性和系统性，与核心素养的培养理念相一致。

一、数形结合在初中数学中的教学原则

（一）双向性原则

双向性原则是落实数形结合法的基础性原则，需要教师针对某一抽象的数学问题进行几何分析，实现互补，将复杂的代数关系转换成图形，再针对其内涵进行精准解读；同时，利用几何图形来重新缕清代数关系，降低数学知识点的难度，形成系统化的解题思路，既要做到“以形助数”，又要做到“以数思形”，久而久之形成抽象思维，培养核心素养，这类方式主要见于初中数学完全平方公式和几何图形类知识点。

（二）由繁化简原则

由繁化简原则，顾名思义就是利用数形结合，将抽象的内容进行直观演示，在“数”与“形”的变换中更加清晰、具体地展示图形，将烦琐且长篇幅的数字关系逐一转换成图像语言，加深记忆，在脑海中形成思维建模，简化分析流程。在由繁化简的过程中需要注意数形结合方式的运用，若题目过于烦琐，可以用图形来加以解读，若是图像不细致，则要利用数字关系解读图形，切忌本末倒置。

（三）等价性原则

等价性原则要求教师在解读几何性质与代数时要充分反映二者的关系，确保做到无偏差、互补。在初中数学中有很多图形关系和动点问题，或一些示数不规范，使图像理解存在歧义的现象，导致学生思维空白。基于等价性原则的数形结合法能有效弥补这一缺陷，确保几何关系与代数关系所表达内涵的一致性，降低解题失误率。

二、数形结合培养核心素养的途径

（一）导入数形结合思想完善思维

数学核心素养的培养是新时期初中数学教育的一项重点任务，这一过程中要求教师将侧重点放在思维方面的培养上，然而核心素养的养成需要长期的积累与循序渐进的引导，因此教师可以在教育初始阶段引入数形结合思想，提升学生认知，在其脑海中构建一个完整的轮廓，再进行接下来的针对性引导，重塑思维逻辑，形成完善的知识网络体系，在学到新知识时能自然而然地利用数形结合法进行思维转换。

代数是初中数学中比较基础的部分，但其知识点在后续教学中所涉及的部分很多，需要教师打下良好基础。例如，在华师大版初一数学第二章“有理数”的学习过程中，首先需要详细讲解有理数、无理数、整数、正数、负数等内容的具体概念。为了在学生思维中建立数形结合思想的基础，教师可以运用具体图像来帮助其强化理解，适当融入以往教学过程中的知识点，如小数、整数、分数等。在授课过程中可以采用问题式引导，根据图1横轴示数的内容提出以下问题：0点两边的数值有什么区别和共性？a与b之间存在多少有理数，多少整数？|a|与|b|谁大？A和B谁大？

图1 横轴示数

有理数中比较容易混淆的知识点在于数值的正负性比较和绝对值比较，通过数形结合的方式能有效规避这类问题，让学生了解和掌握数形结合的基本运用方式，提升思想认知，若遇到类似问题能巧妙运用数形结合思想，从而掌握有理数、正负数的规律。

（二）由“数”到“形”的分类讨论法

逻辑思维能力是数学核心素养的重点部分，而数形结合思想理念正是培养逻辑思维的最佳路径。现阶段，核心素养的培养理念已经在各个中学普及，但部分初中教育工作者在授课过程中仍旧存在偏离理念、过于重视成绩的现象，导致教学质量和效率始终保持在原本水平，无法实现突破。此外，还存在不知如何深度落实数形结合思想的现象。基于此，可以选择最基本的分类讨论法来落实数形结合理念，从“数”到“形”优化课堂内容，不仅能提高学习效率，还能培养数学核心素养。

函数是初中生公认的一大数学难点，很多学生对其望而却步，甚至一看到有关函数的题目直接跳过，畏难心理较重，而初中数学中关于函数的知识占比很大，造成的直接影响就是数学成绩一落千丈，还有部分学生会因此厌倦数学科目，而数形结合思想刚好可以打破这一教学困境。以华师大版初中数学“二次函数”为例，首先需要明确二次函数的难点是哪部分，从而对症下药，一般情况下基础二次函数的难点在于规定某一范围，求取最大最小值的部分。例如，这道题目：已知-1≤x≤a（a为大于-1的常数），求函数y=x2的最大值M和最小值m。在解题之初需要教师带领学生进行详细分析，首先，需要明确二次函数y=x2的图像；其次需要明确能够决定y=x2变化的因素在于“a”的取值范围，判断最值时可以借助函数图像，并将几个数值节点“-1”“0”“1”视为关键点，可以归纳出四个范围，即“-1≤a≤0”“01”；最后，需要秉持直观性原则画出图像进行分类讨论（如图2）。

图2 二次函数图像

根据函数图像能让学生清楚地了解到a的不同范围会得到不同的结果，为了确保不会出现漏项的问题，教师要按照图像依次进行分类讨论：

（1）-1≤a≤0时，当x=-1时，y最大为1，当x=0时，y最小值为a2；

（2）0

（3）a=1時，当x=-1或1时，y最大为1，当x=0时，y最小为0；

（4）a>1时，当x=a时，y最大为a2，当x=0时，y最小为0。

综上，能够直观地向学生传达解题思路，在其脑海中形成完整的思维逻辑，再遇到类似的题目时他们也会采用同样的方法来进行作画。在此过程中需要强调最后的总结部分，确保不要丢项漏项，书写时务必将图像与分类讨论项对照，注明各个图像范围所对应的内容，尤其区分“＜”“≤”“=”以及范围的正负性。

（三）由“形”转“数”的图像解析法

除了由“数”转“形”外，教师还可以举一反三，利用由“形”转“数”方式来帮助学生提升思维灵活性。对初中生来说，几何类图形具有一定的抽象性特点，往往伴随着长篇幅的定义，经常出现点位混乱的现象，导致思维模棱两可，无法形成完整的记忆链。以往几何图形类教学只是在黑板上画出图形进行讲解，有时涉及的图形很多，让人眼花缭乱，分不清线与线的具体关系，基于此，数形结合思想刚好能起到辅助作用。

由“形”转“数”的图像解析法主要针对一些复杂的图形问题，可以合理引入直角坐标系来直观展示图形之间的数量关系，做到化繁为简。以此题为例：在矩形ABCD上的CD边存在一点P（与C、D点不重合），连接A、P两点形成线段AP，并过点A做一条垂直线与CB延长线交于点Q，连接PQ，选PQ的中点为M。在此图中AD=10，AB=a，PD=8，a的值会发生大小变化，M点位置也会随之变化，当点M落在矩形ABCD外部后，求取a值范围。

根据材料内容可以发现题目十分烦琐，若直接画图可能会更加混乱，思维无法拓展，尤其涉及动点知识，因此可以以直角坐标系为基础完成图像的绘制，从而直观地展示数字关系（如图3），建立以B点为0轴的坐标系，BA为y轴，BC为x轴，根据题意可知A为（0，a），P为（10，a-8），AP的斜率kAP=-4/5，因此可以得出AQ的函数表达式y=4/5x+a，由于AQ与X轴相较于点Q，因此Q坐标为（-4/5a，0），M作为QP中点，坐标为（5-2/5a，a/2-4），当点M落在矩形ABCD外部时处于第二象限，可列出关系式5-2/5a<0和a/2-4>0，最终解得a>12.5。

图3 利用直角坐标系绘制的几何图形

数形结合的图像解析法能化繁为简，更加清晰地展示图形之间的函数关系，尤其针对一些比较复杂的动点问题很有成效，同时还能起到调动兴趣、引领思维的作用，使其思维始终贯穿于课堂，即使在中途存在思维偏离的现象，也能根据图像及时回到课堂，跟上教师思路，培养数学核心素养。

（四）信息技术引导思维建模

相比于以往的教学模式，数形结合更加注重数学建模思维的培养，通过图形与数值转换的方式强化对知识点的理解，从而让学生深度了解图形关系，在脑海中建立系统的解题思路和学习体系，在遇到新问题时能根据数值自然而然地带入。仍以上述的动点问题为例，初中生的抽象思维尚未成熟，在利用由“形”转“数”的过程中很难在脑海中形成动态的模型，教师可以利用信息技术的可操作性将标准坐标输入在教学系统中，通过动点的移动感受其与之相关点的动态轨迹，从而在头脑中形成思维建模。

除了解决实际问题外，还可以将其运用于教学中，例如，在教学华东师大版初中数学九年级“与圆有关的位置关系”时，由于教材中的关系类型很多，且图形变换中涉及的数值也很多，若仍旧采用“黑板+粉笔”的方式会浪费更多课堂时间，且不符合由繁化简原则，无法直观地展示动态变化过程，在绘制的过程中学生思维也会出现中断，导致教学效果不佳。基于此，教师可以采用信息技术的可操作性来进行数形结合引导，利用多媒体技术展示动态的效果，为了提升整体效果，可以选择坐标轴的方式。以“圆与直线的位置关系”为例，在授课过程中教师可以在课件中作出直角坐标系和圆，将圆心点放在y轴上，圆的半径为r，圆心点到垂直于x轴的距离为d，通过对d输入不同数值来展示圆和直线的位置关系，并让学生观察规律。此外，还可以利用教学软件形成动态的移动轨迹，当到达临界点时停顿，引导学生分析影响直线与圆关系的因素，并归纳为以下几点：1.当d>r，直线和圆相离；2.当d=r，直线和圆相切；3.当d

（五）数形结合培养数据分析能力

初中阶段是养成良好数学思维的重要时期，教育工作者在选择教学方法时务必要结合该阶段学生的思想规律，从实际情况出发。数据分析能力要求学生具备认真的态度和缜密的思维，确保在书写过程中不会出现遗漏现象和书写错误现象，一般情况下被统计的数据会相类似，直接排列数值会造成视觉疲劳，导致最终结果偏离正确答案，尤其是带有小数点的数据，因此可以采用绘制统计图表的方式直观展示数值的变化趋势。在实际授课过程中，教师可以以组为单位开展统计活动，将学生分为3～4个小组，每组人数控制在8～10人左右，为了突出学生的主体地位，可以采用组内合作的方式，通过讨论选择一个话题进行组内统计，如短跑成绩、掰手腕坚持的时间、平板支撑坚持的时间等，尽可能选择能够以秒为计数单位的内容，以此来调动课堂氛围，提高学生的课堂参与度，使学生快速进入课堂状态。在完成统计图后需要计算平均数、中位数、众数、方差、标准差等。通过这种方式能直观地看到数值的差异，引导学生注意细节变化，以数形结合的方式提升初中生的數据分析能力，做到认真仔细，避免出现丢项漏项的问题，间接培养数学核心素养。

总的来看，数形结合对初中生来说是效率较高的教育方法，对数学核心素养的培养具有一定的促进作用，通过图像引导、思维导图、对比等方式强化理解，提高记忆效果。作为新时期的数学教育工作者要不断创新思维，探索更有深度的教学模式，加强思想引导，充分利用客观条件采用多样化的教学手段，帮助学生养成良好的学习习惯和思维能力。

（宋行军）