从“将军饮马”到阿氏圆探究线段和的最值

摘要：本文从“将军饮马”问题开始，探究了一般圆锥曲线问题中两条线段和的最小值问题，并通过构造椭圆系的方式研究了一般圆锥曲线条件下的最小值.最后，借助阿波罗尼斯圆的定义，解决了带系数的线段和的最小值问题.

关键词：阿波罗尼斯圆;将军饮马;圆锥曲线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0033-04

1 著名的“将军饮马”问题

传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天都从军营A处出发，先到河边C处饮马，然后再去河边的同侧B处开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海伦略加思索就解决了它.这就是著名的“将军饮马”问题.

将上述问题抽象出数学模型即为如图1中的问题：即在直线l上找一点C，使得AC+BC的值取到最小值.

该问题的解决方式也较为简单，如图2，作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，直线A′B与直线l的交点即为所求的点C′.图2

笔者根据该模型提出如下的几个思考：

（1）能否将直线l换成圆锥曲线呢？

（2）题目中的两个定点能否是任意的呢？

（3）当其中的某一条边增加了系数以后如何求解最小值呢？

關于第（3）个思考我们可以通过如下的背景进行理解：将军每天还是从军营A处出发，先到河边C处饮马，然后再去河边的同侧B处开会，因为马饮水前后的速度会有不同，假设v2=λv1，他应该怎样走才能使时间最短呢？翻译成数学模型即是计算

1v1（AC+1λBC）的最小值问题.接下来，我们逐步地对三个问题进行分析.

2 圆锥曲线中的最值问题

例1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，椭圆内一定点A（m，n），点P为椭圆C上一动点，则PF1+PA的最小值为2a-AF2.

解析如图3，根据椭圆的光学性质可知，由椭圆一个焦点射出的光线经椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点.连接AF2与椭圆相交，交点即为所求的点P.现证明其为最小值.

设点P1为椭圆上异于点P的任意一点.连接P1F1，P1A，PF2，AF2.

P1F1+P1A+AF2>P1F1+P1F2=2a（三角形两边之和大于第三边），

PF1+PA+AF2=PF1+PF2=2a，

即有P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2.

化简，得P1F1+P1A>PF1+PA.

所以利用光学性质所求的点P即为所求点.

所以PF1+PA的最小值为2a-AF2.

例2在抛物线C：y2=2px（p>0）中，焦点为F（p2，0），抛物线内一定点A（x0，y0）.点P为抛物线C上一动点，则PA+PF取到最小值x0+p2.

解析 如图4，结合抛物线的定义，PA转化为点P到准线l的距离.点A到准线的距离即为所求的最小值，其值为x0+p2.结合抛物线的光学性质可知，设一束光线由点F出发经过抛物线的反射后经过点A，则抛物线上的反射点即为点P.

图5

如图5，设点P1为抛物线上异于点P的任意一点.连接P1F，P1A.过点P及点P1分别作准线l的垂线，垂足为点P′，P′1.

根据抛物线的定义，得

P1A+P1F=P1A+P1P′1，

PA+PF=P′A.

结合图形信息，得P1A+P1F≥PA+PF恒成立，即可得命题成立.

例3已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点为F1，F2，双曲线右支内一定点A（m，n），点P为双曲线C上一动点，则PF2+PA的最小值为AF1-2a.

解析 根据双曲线的光学性质可知，由双曲线一个焦点射出的光线经双曲线反射后其反向延长线经过双曲线的另一个焦点.连接AF1与双曲线相交，交点即为所求的点P.其证明过程与上述例题相似，本文不再赘述.

总结与反思上述三个例题，分别将“将军饮马”问题中的“直线”换成了椭圆、抛物线以及双曲线.上述三个例题对定点的要求较高，其中均有一个定点为圆锥曲线的焦点，其解法的本质均是借助了圆锥曲线的定义，将其进行了等价转化，再利用两点间的距离或点到直线的距离求得最小值.如果是任意的两个定点以及任意的圆锥曲线该如何进行求解呢？笔者进行如下的尝试：

3 构造椭圆系求解一般的最值问题

本文所讨论的问题对于一般的圆锥曲线而言，运算难度较大，本文仅以如下的特殊模型来说明求解的方法：

如图6，已知点A，B的坐标分别为（-m，0），（m，0）.这两点之外有一圆锥曲线Γ（本文以圆作为代表），设点P为Γ上一动点，试求PA+PB的最小值.

解析以点A，B为焦点，构造椭圆系Ca：x2a2+y2a2-m2=1，当椭圆Ca与圆锥曲线Γ相切时，对应的切点即为所求的点P.

证明如图7，设点P1为圆锥曲线Γ异于点P的任意一点，连接P1A，P1B.设P1B与椭圆Ca的交点为Q，连接QA.

P1A+P1B=P1A+P1Q+QB>QA+QB=2a.（三角形两边之和大于第三边）

所以PA+PB的最小值为2a.

上述过程提供了求解最小值的思路，但在高中阶段，限于所掌握的运算手段，具体求解过程只能针对较为特殊的曲线以及特殊的点进行.

4 对于AC+λBC型最小值问题的思考与求解

在上文中，笔者分别通过椭圆、抛物线以及双曲线进行了举例说明.其求解的主要思路是借助定义将其中的一边进行了转化，“圆”也可实现边的转化，此时可借助阿波罗尼斯圆的性质，将一条边转化为另一条边的λ倍再进行求解.我们先通过如下例题了解此类问题的考查方式.

例4（2021年佛山高二期末试题第16题改编）如图8，已知点A（47，0），B（0，3），圆O：x2+y2=4，设点P为圆O上的动点，求3PA+2PB的最小值.

分析所求式為3PA+2PB=3（PA+23PB）.若其中23PB可转化为点P到另一定点的距离，则可将原问题转化为圆上一点到两定点的距离之和的最小值问题.本题是阿氏圆的逆向应用题，即通过点B及圆O求出另一个定点.

解析设点C（m，n），令PC=23PB，可求得点P的轨迹为

P：x2+y2-18m5x-18n-245y

=36-9（m2+n2）5.

令该圆与圆O重合，得

18m5=0，18n-245=0，36-9（m2+n2）5=4.

解得m=0，n=43.

即得点C的坐标为C（0，43）.

则原问题转化为3PA+2PB=3（PA+PC），根据两点之间线段最短可知3（PA+PC）≥3AC=32.

在上述解答过程中出现了三个方程，而仅有两个未知数，说明该题的构造过程有一定的确定性.比如将原问题转化为3PA+2PB=2（32PA+PB），能否找到一点D使得PD=32PA，且保证点P的轨迹为圆O呢？通过计算可知这样的点D并不存在.

我们可通过如下定义构造出阿波罗尼斯圆的方程：设点A，B的坐标分别为（m，0），（0，0），PA=λPB，则点P的轨迹为

Pλ：（x+mλ2-1）2+y2=（λmλ2-1）2.

为此，我们可构造出如下的题型：设点C（m，n）为圆Pλ外任意一点，设点P为圆Pλ上一动点，试计算PC+λPB的最小值.

根据上文的准备可知，λPB=PA，所以PC+λPB的最小值为AC.据此，我们可以命制出如下试题供读者练习：

例5已知点A（-3，0），C（-1，3），圆E：（x-3）2+y2=12，设点P为圆E上的动点，求2PC+PA的最小值.

答案：25.

总结与反思本题涉及的两个点的其中之一为阿波罗尼斯圆对应的一个点.那么对于任意两点及圆锥曲线能否求解对应的最值呢？为此，我们回顾上文中构造椭圆解决一般圆锥曲线条件下的最值方法.当构造的椭圆与圆锥曲线相切时，两者在此时拥有相同的公切线，我们可以借助光线的反射来解释最短距离问题.即假设从点A处发射出一束光线，经过圆锥曲线Γ的反射后恰好回到点B，则反射点P即为使得PA+PB取得最小值的点.笔者猜想对于PA+λPB的最小值，我们可以通过光的折射进行求解，即从点A处发射出一束光线，按照一定的比例经过圆锥曲线Γ的折射后恰好回到点B，则折射点P即为使得PA+λPB取得最小值的点.

参考文献：

[1] 程柳莎.将军饮马问题的变式探究[J].高中数学教与学，2020（21）：7-9.

[2] 荣贺，曲艺.与阿氏圆有关的广义将军饮马问题[J].数学通报，2018，57（08）：48-52.

[3] 黄金福.利用阿波罗尼斯圆解竞赛题[J].中等数学，2010（02）：5-9.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：郭海峰（1985.7-），男，陕西省咸阳人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]