基于回归分析的颜色与物质浓度辨识研究

乔桂香

（陇南师范高等专科学校 初等教育学院，甘肃成县 742500）

1 问题的提出

比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了.如果能够建立颜色读数和物质浓度的数量关系模型，人们就只要输入物质浓度颜色读数就能够获得待测物质的浓度.为此，要解决以下3 个问题[1]：

（1）根据附件Data1.xls 中5 种物质在不同浓度下的颜色读数，探讨依据这5 组数据能否确定颜色读数和物质浓度之间的数量关系，如何评价这5 组数据优劣.

（2）根据附件Data2.xls 中提供的数据，通过二氧化硫在不同浓度下的R，G，B，H，S 颜色读数建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析.

（3）运用（1）和（2）建立的数学模型，探讨颜色读数和物质浓度的数学模型，评价颜色数据量和颜色维度之间的关系.

对于上述问题，已有不少研究者运用不同的方法建立了数学模型予以解决.韦碧鹏等[2]运用多元线性回归模型进行了研究；田茹会[3]、景亚琴[4]利用Excel软件，通过多元回归分析的方法进行分析和建模；年福耿等[5]利用平均相对误差分析、Pearson 相关性建立了多元非线性回归模型对问题进行了研究；冯娜[6]运用差平方和、多元线性规划的方法进行研究；王庆[7]利用Logistic 变换建立了广义线性模型进行了研究.本文则运用Excel 软件对数据进行拟合，并运用回归分析方法，建立与上述研究不同的数学模型，并解决了问题中的其他问题.

2 模型假设及符号说明

模型假设：不同浓度下采集的多组数据可以自由组合为一组浓度数据，不受其他条件影响；图像数据为同一条件下采集，除拍摄条件外不受其他条件影响；溶液是稳定的，模型中不考虑各种化学反应因素的影响；符号说明：R，G，B，H，S 是五种颜色代码，r2是相关系数.

3 模型的建立与求解

3.1 颜色读数和物质浓度之间的数量关系

3.1.1 五种物质的颜色读数和物质浓度数据分析

根据文献[1]附件Data1.xls 中给出的数据，利用Excel 软件对数据进行处理，并对数据进行曲线拟合，得出5 种物质浓度与R，G，B，H，S 之间的关系.

（1）溶液1：组胺

数据分析：图1 表示了组胺两组浓度与R，G，B颜色值的拟合曲线，其中红色值R 的两组曲线（R1，R2）高度重合.说明，不同颜色组对物质浓度颜色值的影响不大，所以选取一组数据进行分析.选取数据R2、G2、B2、H2、S2 做离散点图（图2），分别拟合出下列函数：

图1 组胺浓度R，G，B 图

图2 组胺浓度H,S 图

结论：对于组胺溶液来说，不同浓度对颜色的影响很大，每种颜色值都可以拟合出一个拟合度很高的一元一次或一元三次函数，说明该种物质适合比色法检测.

（2）溶液2：溴酸钾

数据分析：图3 表示溴酸钾两组浓度与R，G，B颜色值的拟合曲线，从红色值R 两组曲线（R1，R2）来看，两组曲线高度重合，说明不同颜色组对浓度颜色值影响不大，选取一组进行分析.

图3 溴酸钾浓度R，G，B 图

选取R2、G2、B2、H1、S1 做离散点图（图4），分别拟合出下列函数：

图4 溴酸钾H,S 图

结论：对于溴酸钾溶液，不同的浓度对颜色的影响很大，每种颜色值都可以拟合出一个拟合度很高的一元三次或四次函数，说明该种物质适合比色法检测.

（3）溶液3：工业碱

数据分析：图5、图6 表示工业碱两组浓度与R，G，B，H，S 颜色值的拟合曲线，从图形曲线来看，两组曲线拟合程度比较低，说明不同颜色组对浓度颜色值影响比较大.

图5 工业碱R，G，B 浓度

图6 工业碱H，S 图

结论：对于工业碱溶液，不是任何浓度下都影响颜色变化，只有在高于浓度阈值时浓度才影响颜色值，也就是这种溶液用比色法检测要有一个最小阈值.

（4）溶液4：硫酸铝钾

数据分析：图7、图8 表示了两组浓度R，G，B颜色值影响离散点拟合曲线，从两组曲线（R1，R2）来看，两组曲线高度重合，说明不同颜色组对浓度颜色值影响不大，所以选取一组进行分析.

图7 硫酸铝钾浓度R、G、B 图

图8 硫酸铝钾H，S 图

由图7、图8 中的R，G，B，H，S 曲线可以看出，硫酸铝钾溶液浓度2 ppm 和5 ppm 情况下在R，G，B，H，S 的值非常相近，几乎相同：2 ppm（156，106，34，102，199），5ppm（155，107，34，101，198）.但是2 ppm以前曲线变化趋向明显，利用曲线可以拟合出一个拟合函数.

由此说明，硫酸铝钾溶液在高于一定浓度时，浓度对颜色影响不明显，即在高于一定浓度时，无法用比色法检测，也就是这种溶液用比色法检测要有一个最大阈值.

结论：对于硫酸铝钾溶液，不是任何浓度下浓度都影响颜色的变化，只有在低于浓度阈值时浓度才影响颜色值，也就是这种溶液利用比色法检测有一个最大阈值[8].

（5）溶液5：奶中尿素

数据分析：图9、图10 表示了三组浓度下R，G，B，H，S 颜色值影响离散点拟合曲线，从整体来看R，G，B 颜色曲线走向趋势较为平缓，不同浓度下R，G，B 颜色值接近（以图11 中R 颜色值为例），说明奶中尿素不同浓度对R，G，B 颜色影响不大，也就是灵敏度不高.

图9 奶中尿素H，S 图

图10 奶中尿素R，G，B 图

图11 二氧化硫浓度R，G，B 图

结论：对于奶中尿素溶液，不同浓度下浓度对颜色值的影响变化不大，也就是灵敏度不高，利用比色法检测可能有一定的难度.

3.1.2 五种物质的颜色读数和物质浓度关系分析

（1）五种溶液浓度对颜色的影响程度各不相同.

（2）组胺和溴酸钾溶液浓度对颜色的影响情况基本相近，灵敏度高，每种颜色值离散图都可以拟合出一个拟合度很高的函数表达式，适合运用比色法检测浓度.

（3）工业碱浓度对颜色的影响有一个最小阈值，大于阈值时比色法才有效.

（4）硫酸铝钾浓度对颜色的影响有一个最大阈值，小于阈值时比色法才有效.

（5）奶中尿素浓度对颜色的影响灵敏度不高，不太适合比色法检测.

3.1.3 比色法检测物质浓度的准则

通过分析得出4 条准则：

（1）不是所有物质浓度检测都适合比色法，有些物质浓度对颜色变化影响不大；

（2）有些物质适合比色法检测，效果较为明显；

（3）有些物质浓度对颜色影响有一个最大或最小浓度阈值或同时具有最大和最小阈值；

（4）比色法检测物质浓度对物质的浓度和物质种类有一定的要求.

3.1.4 数据优劣性评价

（1）从以上结论得出五种数据中组胺和溴酸钾的数据较为准确，数据具有较高的规律性，通过各种离散图可以拟合出一个拟合度很高的函数表达式.

（2）工业碱和硫酸铝钾的数据较为准确，在阈值范围内通过各种离散图可以拟合出一个拟合度很高的函数表达式.

（3）奶中尿素的数据对比色法来说准确度不高.

3.2 二氧化硫溶液浓度的颜色读数和物质浓度的数学模型

3.2.1 二氧化硫溶液浓度比色法检测属性分析

根据文献[1]附件Data2.xls 中给出的数据，利用Excel 软件对数据进行处理，并对数据进行曲线拟合，得出二氧化硫浓度与R，G，B，H，S 曲线之间的关系（图11、图12）.

数据分析：由图11、图12 可知，二氧化硫的浓度变化与R，G，B，H，S 颜色值具有高度的吻合性，因此二氧化硫的浓度适合用比色法检测.

图12 二氧化硫浓度H，S 图

3.2.2 二氧化硫浓度与R，G，B，H，S 颜色值关系的数学模型

根据文献[1]附件Data2.xls 中给出的数据,利用Excel 软件对数据进行处理，分别做出二氧化硫的浓度与R，G，B，H，S 颜色值关系的散点图（图13-17）.

图13 R-浓度图

图14 G-浓度图

图15 B-浓度图

图16 H-浓度图

依据图13-17 数据拟合曲线，得出二氧化硫浓度对R，G，B，H，S 颜色值影响的函数表达式：（为便于理解，图中的y，x 均替换为下列各式中的p 和r，g，b，h，s）

R 值与浓度的拟合函数为

图17 S-浓度图

3.2.3 二氧化硫浓度与R，G，B，H，S 颜色值关系数学模型的误差分析

表1 为上述函数式（1）（2）（3）（4）（5）与附件Data2.xls 中实际数据的相对误差.从表1 得知，相对误差在0.06 以下.

表1 二氧化硫浓度与R、G、B、H、S 颜色值关系模型的误差

3.3 颜色数据量和颜色维度之间的关系评价

根据问题（1）和（2）的图表分析可知：

（1）数据量越大则建立的数学模型越接近真实值.数据量大，函数曲线与数据离散图的吻合性越高，相对误差较小，否则相反.

（2）颜色维度对模型影响极大，因为颜色维度之间具有关联性，单个颜色维度无法确定溶液浓度，也无法建立模型.

4 结束语

为了研究颜色读数和物质浓度之间的数量关系，运用Excel 数据处理软件，对问题中给出的5 种不同物质颜色读数和浓度之间的关系进行数据拟合和回归分析，得出了5 种物质运用比色法检测浓度的适宜性和使用的条件.同样地，运用数据拟合的方法建立了二氧化硫在不同浓度下的R，G，B，H，S颜色读数和物质浓度的一元多项式数学模型.研究从多角度对问题进行分析，给出分析结果，准确性高；运用数学软件Excel 对数据进行分析和处理，操作简便，适用性强.该模型建立的方法具有较大的普遍性，便于应用到类似实际问题的解决中.