基于镜像原理对导电平面半空间并矢格林函数的研究

海 波，雒向东

（1.兰州城市学院 信息工程学院，甘肃兰州 730070；2.甘肃高师学报编辑部，甘肃兰州730070）

在求解电磁场各类边值问题时，并矢格林函数方法是一种有效的方法.利用该方法解决电磁场边值问题关键是要获得具体的并矢格林函数关系，在研究复杂多面导体边界电磁场边值问题时，获得导电平面半空间并矢格林函数关系是非常重要的，它对于解决此类问题具有重要应用价值.但导电平面半空间并矢格林函数关系详细推证文献较少，该文基于镜像法原理，利用自由空间并矢格林函数关系，详细推证导电平面半空间并矢格林函数关系，获得了该表达式的完整形式，其研究结果可为导电劈等电磁场边值问题的解决提供方便.

1 镜像原理

镜像法是依据唯一性定理求解具有理想导体边界电磁场边值问题的一种方法.其基本原理就是用原有源的镜像来代替理想导体边界对场的影响，因为理想导体边界上电场强度切向分量等于零，所以原有源与虚拟镜像源应当保证在原来理想导体边界上电场强度的切向分量等于零.图1 画出了与理想导体边界平行或垂直放置的电流源和磁流源的镜像元.根据镜像法原理，与理想导体平面边界平行放置的电流源，其镜像元方向与其相反；与理想导体平面边界垂直放置的电流源，其镜像元方向与其相同.对于磁流元，其镜像正好与电流源的情况相反[1].

图1 电流源和磁流源镜像示意图

2 自由空间并矢格林函数

电型和磁型并矢格林函数满足（1）（2）式[2]，

对（1）式两边取旋度代入（2）式得

对（2）式两边取旋度代入（1）式得

式（3）和（4）为并矢形式的波动方程.求解这两个方程有好几种方法，下面就借助位函数这种方法求解[3].

依据时谐场位函数理论[4]，对有源区域非齐次矢量波动方程

从源出射波的矢势表达式为

若采用关系

表示ex1指向的无穷小电偶极子的电流分布，则可得

由位函数表示的电场公式[4]

将（8）式代入（9）式得

这里Ge01（R，R′）表示指向的源在自由空间的电型矢量格林函数.同样，对于指向的源和指向的源分别得到

式（13）中

G0（R，R′）为三维标量波动方程的自由空间标量格林函数[5].

3 半空间并矢格林函数

将上半空间内原并矢电流源的自由空间电型并矢格林函数和原电流源在下半空间的镜像所产生的自由空间电型并矢格林函数相叠加，就可求得导电平面半空间的第一类电型并矢格林函数，图2（a）和（b）表示原问题和它的等效问题.

图2 原问题和等效问题示意图

图2（a）表示的上半空间内并矢电流源产生的自由空间，电型并矢格林函数由式（13）给出，其中

原电流源在下半空间的镜像并矢源在位置矢量为R 点产生的自由空间并矢格林函数为

于是导电平面半空间并矢格林函数为

（17）式也可改写为

（13）式也可写为

因此导电平面半空间并矢格林函数为

可以证明在位于z=0 的导电平面上

若引入辅助单位并矢

将式（23）带入（25）式

这就是第二类磁型并矢格林函数的表达式.

4 结束语

文中利用镜像法研究了导电平面半空间并矢格林函数[6-7]，利用此方法还可以推广到导电劈等情况，只要劈角π/n 的n 是一整数.当n=1 时，它就是上面讨论的平面导体面的情况[8].当n 是大于1 的整数时，镜像的个数是有限的，此类边值问题的第一类电型并矢格林函数理论上可以用同样的方法得到，具体研究文献较少，因此还可做进一步的研究.