.怎样由递推关系式求数列的通项公式

郁桂萍

由递推关系式求数列的通项公式问题常以填空、选择题的形式出现，难度一般不大.解答此类问题，需灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质等.下面，重点谈一谈由递推关系式求数列通项公式的几种方法.

一、累加法

当遇见形如an +1=an +f（n）的递推关系式时，可由 f（1）+f（2）+…+f（n）得到 an =（an -an -1）+（an -1-an -2）+…+（a2-a1）+a1（n ≥2），将各式子累加，便可求得当 n ≥2时数列的通项公式.对于 n =1的情形，需单独讨论.若当 n =1时的结果满足当 n ≥2时数列的通项公式，则用当 n ≥2时的式子表示数列的通项公式;如不满足，则需将数列的通项公式分段表示.

例1.已知数列an，a1=1，an =an -1+ （n ≥2）， 求数列an的通项公式.

解：由 an =an -1+  ，

可得 an -an -1= = - （n ≥2），则 an =（an -an -1）+（an -1-an -2）+…+（a2-a1）+a1

= - + - +…+ - +1- +1

=2-

本題中的 a1=1，满足当 n ≥2时数列的通项公式，所以可以将对当 n =1时的讨论省略.

二、累乘法

当遇见形如 an  =f（n）的递推关系式时，可以令 n =1，2，3， …，n ，再将 n 个式子累乘，得到 an =an -1∙an -2∙…∙a1∙a1（n ≥2），即可求得数列的通项公.

例2.已知数列an中，a1=1，前 n 项和Sn = an ， 求数列an的通项公式.

解：当n>1时，an =Sn -Sn -1=n + an - an -1，整理得 an -1= n -1，于是 a1=3，a2=2，a3=3，…， = ，= ，将以上 n -1个等式相乘，整理得 an =∙∙∙…∙∙ = .

综上可得，数列an的通项公式为an = .

累乘法的本质是通过约分来化简乘积，因此在遇到分式递推关系式时，要注意将分式变形为前后项的分子、分母能够约分的形式，这样才能简化运算，快速求得 an 的表达式.

三、构造法

有的递推关系式较为复杂，此时，可将递推关系式进行合理的变形，如引入待定系数、取倒数、取对数等，构造出辅助数列，便可将求数列的通项公式问题转化为求等差、等比数列的通项公式问题.

例3.在数列an中，an+1=3an +2，a1=1，求数列an的通项公式.

解：设 an+1=1+λ=3（an +λ），

则 an+1=3an +2λ，由an +1=3an +2可得λ=1，所以 an+1+1=3（an +1），

所以an +1是首项为a1+1=2，公比为3的等比数列，

所以 an +1=2∙3n -1，即 an =2∙3n -1-1.

对于形如 an +1=Aan +B 的递推关系式，可引入待定系数，设 an +1+λ=Aan +λ，再根据递推式求得λ的值，便可构造辅助数列{an +λ}，根据等比数列的通项公式解题.

例4.若数列an中，a1=2，an+1= ，求数列an的通项公式.

解：由 a1=2，an+1= ，可得 = + ，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以 = +（n -1）= n ，故 an = ，n ∈ N∗.

对于形如 an = kan -1+b ，an∙an -1=an -1-an 的递推关系式，可以运用取倒数的方法来构造辅助数列，求得数列的通项公式.相比较而言，累加法、累乘法较为简单，构造法较为复杂.在由递推关系式求数列的通项公式时，要将递推关系式进行合理的变形，将其整合为 an +1=an +f（n）、的形式，然后选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）