证明不等式的三个办法

周必辉

证明不等式问题常与其他章节的知识相结合，备受出题人的青睐，经常出现在各类试题中.证明不等式的方法很多，如三角代换法、换元法、反证法、放缩法等.本题重点谈一谈如何运用放缩法、换元法和反证法来证明不等式.

一、采用放缩法

运用放缩法证明不等式的关键在于对不等式进行合理的放缩.运用放缩法证明不等式的一般步骤为：

①分析待证不等式的结构特点，②将待证不等式进行整理、放縮，常见的放缩形式有：<<，>b >a >0，m >0;③利用不等式的传递性证明结论.一般地，若 a >b，b>c， c >d，则 a >d .有时可寻找一个中间量b，使得a >b，从而将问题转化为证明 b >c 即可.

例1.已知 an = + +…+ ，证明： 2<an <2 （n ∈ N*）.

解析：解答本题需分两步，分别证明<an和 an <，可将放大为，讨论与 an 、an 与 n（n +1）的大小关系，便可利用不等式的传递性证明结论成立.

证明：∵> =n ，

∴ a >1+2+3+…+n =

∵<

∴an < + +…+

=+ +…+  =

综上可知，<an <对所有正整数n都成立.

二、换元

有些不等式较为复杂，为了简化不等式，可将原不等式中的某个代数式用新变量替换，这样就将不等式转化为关于新元的不等式，从新的角度寻找到解题的思路.在换元的前后，要注意确保新旧变量的取值范围一致.

例2.已知 x +y+z =a ，且 x ， y ， z ∈ R，证明： x2+y2+z2≥ .

证明：由 x +y+z =a ，可设 x = +α，y = +β，z = -（α+β），（α，β∈ R），

∴ x2+y2+z2= è（æ）+αø（ö）2+ è（æ）+βø（ö）2+ ë（é）-（α+β）2

= a +α2+β2+（α+β）2，

而α2≥0，β2≥0，（α+β）2≥0，

∴ x2+y2+z2≥ a

∴不等式 x2+y2+z2≥ 成立.

解答本题主要采用了换元法，分别令 x =+α， y = +β，z = -（α+β），这样便将目标式转化为关于α、β的式子，再根据完全平方式为非负数的性质证明不等式成立.

三、利用反证法

运用反证法证明不等式，需首先假设原命题不成立，然后以此为条件，根据相关的公理、定理、公式等进行推理、运算，得出与已知条件、公理等相矛盾的结论，从而说明假设不成立，证明原不等式成立.

例3.对于任意a，b，c∈（0，1），证明：（1-a）b，（1-b）c， （1-c）a 中至少有一个小于或等于.

解析：“（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 中至少有一个小于

或等于4”包含多种情况，如果从正面求证较为繁琐，其反面情况较少，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 都大于，就可采用反证法来进行证明.

证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 都大于，

则 b -ab > ，c -bc> ，a -ac >，

将上述三式子相乘得（1-a）a（1-b）b（1-c）c>，因为（1-a）a ≤ è（æ） ø（ö）2= ，

同理可得：（1-b）b ≤ ，（1-c）c ≤ ，

所以（1-a）a（1-b）b（1-c）c ≤ ，

因此，假设不成立，原命题（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个小于或等于4成立.

放缩法、反证法和换元法都是证明不等式成立的常用方法，其中换元法最简单，放缩法和反证法对同学们分析问题、解决问题的能力有更高的要求.在解题时，可首先考虑运用换元法，再考虑运用放缩法和反证法.

（作者单位：云南省曲靖市民族中学）