如何证明不等式

李欣 谢春暖

在学习中，我们经常会遇到不等式证明问题.此类问题─般侧重于考查同学们的逻辑推理和综合分析能力.证明不等式的方法有很多种，如构造函数法、基本不等式法、比较法、综合法、放缩法等.本文重点谈一谈证明不等式的三种常用方法：比较法、综合法、放缩法.

一、比较法

比较法常用于证明不等式以及比较两个数的大小.比较法主要有两种：作商比较法和作差比较法.在运用比较法证明不等式时，需首先观察不等式左右两边的式子，若两边的式子为多项式，可采用作差比较法来求证;若为单项式，可采用作商比较法进行证明.然后，将左右两边的式子作差或作商，将所得的差与0比较，商与1比较.

例1.已知正数a，b，c成等比数列，证明： a2-b2 +c2≥（a-b+c）°.

证明：将不等式两边的式子作差得：a2-b+c2-（a -b+c）= 2（ab-ac-b +bc）=2b（a-2b+c），

. a.b，c成等比数列，.. a-2b+c=（a - c）o，.. 2b（a - 2b+c）=2b（√a -√c）=0 ，

即a-b+c2≥（a-b+c） .

在运用作差比较法证明不等式时，若A-B>0 ，则A>B ;若A一B<0 ，则A<B .在运用作商比较法证明不等式时，对于同号的A、B，若A>1 ，则A>B ;若B1，则A<B.

二，综合法

综合法适用于证明一些形式较为复杂的不等式.综合法是指由题目的已知条件出发，根据不等式的基本性质，利用相关的定理、公式等进行分析、推理，直至证明不等式成立.运用综合法证明不等式的一般思路是：①结合不等式的基本性质等对原不等式进行整理、变形;②根据已知条件和不等式的基本性质进行合理的分析和推理，最后证明不等式成立.

例2.已知a，b，c e（0，+o），证明： a8+b+c≥ab c+abc3+ a2bc3 .

证明：由题意可知，a，b，c e（0，+ oo） ，

则3a°+3b +2c≥aR+a3+a+b3+b+b+c *+ c 8%（a）（6）（c"） =8ab'b ，

同理可得：3a8+2b3+3c8≥8a bc3，2a8+ 3b8++3c8≥8a2bc，

将上述三式相加得：8a3+8b8+8c8≥8a bc2+a b c+8a2b c，

化简得： a8+b+c≥ab c+a'b c'+a'bc，因此，原不等式成立.

解答本題，首先需明确目标不等式两边式子的特征，然后运用基本不等式的变形式：a，+a，+a+…+a m≥"aa ;a4…a，以及不等式的可加性来证明结论.运用综合法证明不等式，要着重分析已知条件与求证目标之间，或不等式左右两边的式子之间的差异与联系.合理进行转化，选择恰当的公式、定理等进行求证.

三.放缩法

放缩法是指将原不等式进行适当的放大或缩小，并利用不等式的传递性证明不等式成立.常用的放缩方式有运用基本不等式、增减项、利用函数的单调性等.在放缩的过程中要把握放缩的“度”，不能“放”得过大，也不能“缩”得过小.

例3.已知a，b，ceR’，证明：（c + a）（a +b）

（a+ b）（b+c）+.（a+c）（ct1.

证明：将（a√b+c +bva +c +cva+b）'> a（b+c）+b（c + a）+c（a + b）+ 2ab 、（b+ c）（c + a）> a（b+c）+b（c +a）+c（a + b）+ 2abc=（a +b）（b+c）（c + a），

开方得：ab+c +b√a+c+cva+b>.（b+c）（c + a）（a + b） ，

因此，不等式（c + a）（a+b）J（a+ b）（b+c）

不等式的右边为常数，需对不等式左边的式子进行变形、放缩，通过活用完全平方式、基本不等式，并根据不等式的传递性进行放缩﹐得到ab+ c +ba+ c +cva+b>（b+ c）（c + a）（a + b），从而证明不等式成立.

不等式证明题一般难度较大，同学们需灵活运用不等式知识和相关的定理、公式等对不等式进行变形、整合，才能顺利解题.在变形、整合的过程中，要明确不等式的结构特征，建立已知条件与求证目标之间的联系，合理运用比较法、综合法、放缩法来证明结论.

（作者单位：山东省垦利第一中学）