求解多元变量最值问题的三种思路

邱信林

多元变量最值问题具有较强的综合性，涵盖的知识点较多，因而可从多个不同的角度来寻找解题的思路.常用的解题思路有换元、利用基本不等式、构造几何图形、运用导数法等.本文重点探讨三种求解多元变量最值问题的思路.

一、换元

由于多元变量问题中有多个元，不方便处理，所以在解题时，可根据已知关系式或函数式的特征，选择合适的式子用新元替换，这样便将多元变量问题转化为关于新元的函数或者不等式问题，利用函数的图象和性质、不等式的性质求得最值.

例1.已知函数 f（x）=x2+2x -1，若 a <b <-1，且 f（a）=f（b），求 ab +a +b 的最值.

因为 f（a）=f（b），

由图可知，a<- -1<b <-1，

且（a +1）2+（b +1）2=4.

则 ab +a +b =a +1（b +1）-1=2 sin 2θ-1.又-< sin θ<0，即θ∈（π，），

则2 sin 2θ-1∈（-1，1），

所以ab +a +b 的最大值为1，最小值为-1.

解答本题，主要运用了三角换元法，将 a、b 用sinθ、cos θ替换，从而将双变量最值问题转化三角函数最值问题，再运用正弦函数的有界性求得最值.

二、运用基本不等式

基本不等式是解答双变量最值问题的重要工具.在解答多变量最值问题时，可灵活运用基本不等式：a +b ≥2 及其变形式： ≤ ≤ 、a1+a2+…+an ≥nn，将目标式进行变形，利用一些配凑技巧，如添减项、凑系数、配方等，构造多个式子的和或者积，并使其中之一为常数或者定值，即可运用基本不等式来求得最值.

例2.已知 a 为1+2b 与1-2b 的等比中项，求a +2b 的最大值.

解：由题意可知： a2+4b2=1，令 x =a ，y =2b ，且x，y均大于0，可得 x2+y2=1，

所以a +2b = x +y ≤2 =2≤ 4≤ = ，当且仅当 x =y = 时等号成立.

对比 a2+4b2=1和a +2b 可以发现，a2的系数为1，b2的系数为4，b 的系数为2，因此对双变量作换元处理，两次运用基本不等式求得最值.在多次运用基本不等式求最值时，要注意检验幾次运用基本不等式时等号成立的条件是否一致，确保取等号时不等式成立.

三、采用构造法

构造法是指根据已知的条件和目标式的结构特征以及它们之间的联系，构造出满足题意的新模型，并通过研究新模型解答问题.运用构造法解答双变量最值问题，需根据题意或代数式的几何意义，构造出方程、函数、不等式、几何图形等，从新的角度来寻求解题的方案.

例3.已知a， b ∈ R，a ≠0，曲线y = 与y =ax+4b +1在区间[3，4]上至少有一个公共点，求 a2+4b2的最小值.

分析：该问题可以转化为方程 =ax +4b+1在[3，4]上有解，而方程（x2-1）a +2x ∙（2b）+x -2=0可以视为点（a， 2b）的轨迹，a2+4b2表示原点到直线的距离的平方，求得该距离的最小值即可.

解：曲线 y = 与 y =ax +4b +1有公共点，则方程 =ax +4b +1在[3，4]上有解，

将方程化简可得（x2-1）a +2x ∙（2b）+x -2=0，该方程可以视为点（a， 2b）的轨迹，

则a2+4b2表示原点到直线的距离平方 d2，

由 d = 得a2+4b2=d2=（）2， x ∈[3，4].令 t =x -2，t ∈[1，2]，所以 =（t + +4）2.

设ft=t + +4，t ∈[1，2].由 f ′t=1- <0，得ft在[1，2]上单调递减，所以fmaxt=f1=10，则当 t =1时，a2+4b2的最小值为 .

总之，第一、二种思路较为简单，且用得较多;第三种思路较为灵活.在求解多元变量最值问题时，需先分析目标式的结构特征，将其与已知条件关联起来，合理换元、配凑、构造，再灵活运用换元法、基本不等式、构造法即可.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）