矩阵相似对角化教学设计

王北平

摘要：本文通过对传染病传播的预测，引入矩阵相似对角化的概念，进一步讨论相似对角化的方法，最后利用矩阵相似对角化的知识来对传染病的传播做预测。

关键词：矩阵;相似对角化;特征值;特征向量

引言

线性代数是高等院校开设的一门重要基础课程，这门课具有较强的理论性、抽象性和逻辑性。在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科。但在线性代数的教学中，存在的一个很大的问题就是实际应用太少，学生学习起来初步感受就是概念多，推理论证多，后期不免会出现枯燥、乏味、学习兴趣不高等现象。为了激发学生的学习热情，使学生对这门学科产生浓厚的兴趣，在教学中，教师需要结合理论知识讲一些实际应用，通过解决实际问题，使学生更好地理解与掌握相关知识点。本文介绍矩阵相似对角化在教学过程中的一个实际应用。

一、问题引入

2020年春节期间一场突如其来的疫情席卷全球—新冠肺炎，各国都进入了紧张的防疫阶段。值得骄傲的是中国在习近平总书记的带领下，在全国人民的共同努力下疫情得到了基本控制，通过此次疫情，相信全世界都感受到了中国的强大，并且都为自己是一个中国人而感到骄傲和自豪。下面我们来看一下类似这样的传染病是怎样传播的，我们又是如何对其进行预测的？

假设发现疫情初始有10%的人感染，若每天有20%的健康者被感染，30%的患者被治愈，则3个月后健康者与患病者所占的比例各是多少？（暂不考虑出生率和死亡率）

分析：根据题意，设第0天（即初始）健康者与患者的占比分别为，且 ;第1天健康者与患者的占比分别为，写成矩阵形式为;第2天健康者与患者的占比为，写成矩阵形式为，进而得;以此类推，第天健康者与患者的占比为，得到.

此时问题转化为如何求矩阵方幂的问题，我们知道对于一个对角矩阵，它的方幂是很容易计算的，因此我们给出矩阵对角化的定义.

二、理论构建

定义 设为阶方阵 ， 若存在可逆矩阵使，则称矩阵使是的相似矩阵，或说矩阵与相似. 对进行的运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.

三、应用及推广

当然对于生活中比较严重且大规模长时间的传染病，我们不仅要考虑每天患病者和健康者的死亡率而且还要考虑到每天健康者的的出生率，因此对于引例我们有以下两个思考。

思考1：每天患病者的死亡率为30%，求传染病的发展趋势？

通过计算此种情况下，即说明经过足够长的时间健康者与患病者所占比例都趋于零。

思考2：每天健康者的出生率为25%，健康者的死亡率分别为5%和10%，求传染病的发展趋势？

通过计算此种情况下，即说明经过足够长的时间健康者与患病者所占比例将趋于无穷，所以必须及时采取有效的防疫措施。

四、小结

本次课我们设计了一个生活实例，使学生比较直观的了解该课程的实用性，且能大大提高学生在今后学习中的积极性。在教与学的活动中，让学生体会理论与实际问题的差别，层层推进，即加深对理论的理解，同时也应用理论指导实践，以更好地解決实际问题。

参考文献：

[1] 同济大学数学系， 工程数学. 线性代数：第六版[M]， 高等教育出版社，2014.06

[2] 王小侠，李灿，王文成. 线性代数应用案例分析：第一版[M] ，科学出版社，2019.08