“知三求一”归类，助力“解三角形”问题

史红静 王得勇

解三角形问题是高中数学的一个重要知识，它主要考察的是学生利用“正弦定理”、“余弦定理”、以及“三角形面积公式”，求解三角形的各个量。它培养学生的“数学抽象”、“逻辑推理”和“数学运算”三大数学核心素养。如何正确选择定理，是成功解题的关键。

一、用“方程”的思想看正弦定理与余弦定理

在△ABC中，A、B、C所对的边记为a、b、c.

解三角形中3条边和3个角共有6个量，我们不难发现，无论是正弦定理还是余弦定理，从方程的角度去看各个等式，它如果可解就需要“知三求一”。这6个量的“知三”的情况可分成六类，由下面的表1来描述：

有了上面的分类，学生求解简单的解三角形问题只需要三步走：第一步，数清需要求解的三角形是否已知3个条件？条件不足的时候，需要暂缓求解该三角形，努力寻找三个条件，该三角形才可解;第二步：给三个条件溯源，看它们的形式隶属于表1中的哪种类型？（一般来说，出现两个已知角，只能采用正弦定理解决。）确定它是否可解？若可解，锁定哪个定理解决？第三步：应用定理的正确形式，成功解题。下面，用例题1进行实例说明。

注意：类型③，已知两个角及其一角的对边应用定理前，先用和角公式求第3个角的正弦值，再应用定理。

分析（1）：

第一步：为了求cos∠BDC的值，先观察∠BDC所在的△BDC的6个要素只给出了边CD的值，不足三个条件，因此不可以直接求解;

第二步：利用已知条件AB∥CD将求cos∠BDC等价转化为cos∠DBA的值，在∠DBA所在的△DBA中，符合已知三个条件;

第三步：△DBA中已知两角∠A、∠ADB和∠ADB所对的邊AB的值，故符合表1中的类型③，可利用正弦定理求解△DBA.

分析（2）：

第一步：为了求BC的长，先观察BC所在的△BDC的6个要素，现在已经有了两个：边CD和cos∠BDC的值，不足三个条件，因此仍然不能直接求解;

第二步：由（1）的探究，可知△DBA可解，而△DBA与△BDC共用边BD，因此可先在

△DBA中求出BD的长度，这个三角形知道三个角及一个边，符合表1中的②③，用正弦定理求BD的长度;

第三步：此时，△BDC中获得了3个要素：CD、BD及其夹角cos∠BDC的值，因此符合表1中⑤，用余弦定理求BC的长度;

求解简单的解三角形问题按照三步走的模式去思考，会帮助学生明确每一步的求解目标，提高解题的效率。

二、一项有趣的数学调查实验研究

不难发现，除了第④类：已知两个角及其一角的对边的问题，可以选择正弦定理或余弦定理以外，其它类型均只有一种求解方案。我们选取了同类条件只是数值不同的两个问题，在两个教学班进行了检测，获得了如下的统计数据（见表2）.

对比表2中的测验题目1和2，不难发现，尽管两道题目条件形式完全相同，都隶属于表1中的类型④，可采用正弦定理或余弦定理解决，但题目1中的数在运算过程中不太好运算，所以明显余弦定理要简单很多，学生也大多数采用了余弦定理去解题。而题目2中的数字在运算过程中，产生了特殊角：30°和90°，利用直角三角形的性质，可极大的减少运算量，提高解题速度，要求学生对特殊角的三角函数值要非常熟悉。通过检测，我们也发现会有接近四分之一的学生利用了这一特点，选择了正弦的定理解题。

解三角形的核心观点是“边角互化”，判断三角形是否可解的依据是“知三求一”（不含已知三个角）[1-3]，同学们要根据已知三个条件的形式，利用表一选择正确的定理求解，方向感会更强，提高解题效率。

参考文献：

[1]俞世平.解三角形的五种视角[J].中学生数学，2020，No.633（09）：3-5.