梁拱组合连续刚构公路桥拱梁活载分承比研究

徐 岩

(中铁第四勘察设计院集团有限公司,武汉 430063)

引言

梁拱组合连续刚构桥是一种新颖的梁-拱协同受力的组合体系桥梁，拱肋与梁刚性连接形成的自平衡体系一方面极大地减小了刚构桥主梁内的弯矩，使得梁拱组合体系刚构桥可能成为解决大跨径连续刚构桥长期下挠的一种有效方案，并且梁拱墩交接处拱的水平推力与梁的轴向拉力相互平衡，使得桥墩不会承受过大的水平力，适合在软弱地基上建造。同时，梁拱组合刚构桥优美的结构外形和优异的经济指标也极大地增强了其在200～300 m跨径范围内的竞争力[1-2]。

目前关于梁拱组合桥的研究多集中于简支梁拱组合桥及连续梁拱组合桥吊杆张拉力的确定及优化方法[3-5]，虽然也有部分学者对梁拱组合结构在不同拱梁刚度比、边中跨比和吊杆刚度等体系构造参数下的整体受力性能及梁拱结合处的局部力学行为进行了研究[6-11]。但这些研究多是针对某一具体工程背景且采用有限元数值模拟开展的[12-15]，有限元数值模拟虽然能准确求解特定结构的荷载响应和最优构造尺寸，但无法给出关键构造参数的解析解，桥梁设计工程师也不能对数值模拟结果推广使用，并且不适合概念设计阶段的估算。

梁拱组合连续刚构桥的拱、梁中的恒载内力分配比例主要由吊杆初始张拉力决定，而吊杆初始索力的确定涉及合理成桥状态的定义和吊杆施工索力张拉策略。活载直接作用于梁拱组合刚构桥成桥后的结构体系上，梁、拱内力分配比例依赖于构件的刚度关系，分配机制更为复杂。故推导均布荷载作用下梁拱组合桥的解析计算公式，定量阐述其拱-梁协作机理，有利于设计者进行合理的概念设计。目前已有学者利用力法推导了简支梁拱组合桥及连续梁拱组合桥的解析计算公式[16-17]，但针对梁拱组合连续刚构桥尚未涉足。本文推导了下承式3跨梁拱组合连续刚构桥在均布荷载作用下梁、拱活载分配比例的解析计算公式，探讨了其梁拱协作机理，明确了梁拱弯曲刚度比与既定荷载内力分配比例的匹配关系，得到了梁拱截面最优弯曲刚度比及最优拱肋截面刚度的参数表达式，有利于设计者把握这类桥型的整体受力特点，在概念设计阶段拟定出更加合理的结构参数。

1 解析计算公式推导

假设3跨梁拱组合连续刚构桥边跨跨径为l，中跨跨径为L，桥墩高度为h，矢高为f，均布荷载q作用于中跨主梁上，计算简图如图1所示。

图1 3跨梁拱组合连续刚构桥计算简图

为方便梁拱组合连续刚构桥活载内力效应解析公式的推导，特作以下假定对结构进行适当简化：(1)仅考虑结构的弹性变形；(2)拱轴线形为抛物线，且为坦拱，即f/L≤1/5；(3)忽略除拱肋外其他构件的轴向压缩变形；(4)所有吊杆的间距相同，且与主梁、拱肋同为等截面构件；(5)所有吊杆的吊杆力相等，均为T。

作用于梁拱组合连续刚构桥主梁上的活载q，其传递方式主要有两种：一种是通过主梁直接传递给桥墩，假设这部分荷载大小为q1；另一种是通过吊杆将荷载传递给拱肋，再由拱肋传递给桥墩，假设这部分荷载大小为q2，同时，荷载在传递过程中，会在主梁中产生轴向拉力。因此，主梁荷载分担比例可定义为q1/q，拱肋荷载分担比例可定义为q2/q。

中跨梁拱组合体系在如图1所示的竖向均布荷载作用下会发生如图2所示的变形，其中f1为变形，u为拱肋挠度，v为主梁挠度。假定吊杆伸长量为w，由变形前后主梁、拱肋、吊杆的位移关系可知，在梁拱组合体系纵向的任何位置，均满足变形协调关系式v=u+w。

图2 梁拱组合体系变形示意

传统力法在求解梁拱组合体系桥时至少需要建立n+3个力法正则方程(n为吊杆数量)，计算过程非常复杂。为解决该问题，假想将吊杆切断，并将均匀的吊杆力等效成如图3所示的膜张力t施加在结构中，即t=T/a(a为吊杆间距)。

图3 等效膜张力计算简图

运用结构力学知识建立力法正则方程，得到多余未知力后，联立变形协调方程即可求得等效膜张力t，计算结果如式(1)～式(3)所示。

(1)

α=(3+2η)φkba+2η(φ+2kca)

(2)

β=(3+2η)φkba+4η(3φ+kca)

(3)

式中，kba=kb/ka，为梁拱截面弯曲刚度比，kb=EbIb，ka=EaIa；kca=kc/ka，为墩拱截面弯曲刚度比，kc=EcIc；kna=(L2kn)/ka，为拱肋压弯等代刚度比，kn=EaAa；ksa=(L3ks)/(aka)，为吊杆拱肋等代弯曲刚度比，ks=EsAs；ξ=f/L，为矢跨比；Φ=h/L，为桥墩高度与主跨跨径比；η=l/L，为边中跨比；Ea、Aa、Ia分别为拱肋的弹性模量、截面面积、截面抗弯惯性矩；Eb、Ab、Ib分别为主梁的弹性模量、截面面积、截面抗弯惯性矩；Ec、Ac、Ic分别为桥墩的弹性模量、截面面积、截面抗弯惯性矩；Es、As、Is分别为吊杆的弹性模量、截面面积、截面抗弯惯性矩。

在上述公式中，并未出现均布荷载集度q，这是因为在推导过程中假设q=1 kN/m，故所求膜张力t亦为拱肋荷载分担比例。基于上述第一项假定，结构处于弹性工作阶段，满足荷载的叠加原理，在相应公式前乘以q即可得到均布荷载q的力学效应。

2 解析计算公式验证

以某公路(120+250+120) m三跨下承式梁拱组合连续刚构桥为依托，该桥拱轴线为二次抛物线，矢高为50 m；主梁及拱肋均采用C60混凝土，薄壁墩采用C50混凝土，吊杆采用抗拉强度为1 860 MPa的整束挤压式钢绞线拉索体系，间距9 m，共27根。由于实际结构中主梁和拱肋为变截面形式，无法直接使用前文中的解析公式，故需要将实桥中的变截面形式按照刚度相等的原则等效为等截面的形式。拱肋、主梁、吊杆、薄壁墩截面参数如表1所示。

表1 基础模型截面参数

根据上述构造、材料参数建立Midas/Civil有限元模型，并在主梁中跨施加均布荷载q=1 kN/m作为基础模型，使用公式(1)和Midas/Civil分别求解基础模型中拱肋分担的荷载比例，结果如表2所示(修正前)。为了更好地验证本文公式的正确性，调整模型参数求解不同梁拱刚度比、边中跨比、吊杆间距、矢跨比条件下拱肋分担的荷载比例，据此检验本文公式的计算误差。

考虑到Midas/Civil计算的最短4根边吊杆与其余中吊杆的吊杆力差异明显，故表2中拱肋荷载分担比例t为扣除最短的4根边吊杆后其余吊杆力的平均值除以吊杆间距得到。

表2 不同结构参数下解析解与数值解的误差

经比较，公式(1)的解析计算结果与Midas/Civil数值解有15%左右的误差。经分析，产生这种误差的原因主要有：(1)认为所有吊杆的吊杆力相同，但边吊杆与中吊杆在均布荷载作用下的吊杆力差异明显；(2)将吊杆力假定为膜张力(均布荷载)施加在结构中，与集中荷载作用下结构的内力及变形存在一定差异；(3)基于坦拱假定进行解析公式的推导，即近似认为cosθ=1(θ为拱轴线上任一点切线与x轴的夹角)，使拱肋的轴力及弯矩与实际情况差异较大；(4)未考虑主梁及桥墩的轴向变形，使得虚功原理计算得到的体系虚应变能偏小。

为提高解析公式的计算精度，主要从两个方面进行修正，一是针对“坦拱假定”，梁拱组合连续刚构桥一般属于“刚梁柔拱”结构，拱肋刚度相对较小，其轴向变形和轴向应变能占比较大，“坦拱假定”认为cosθ=1，这显然将导致拱肋中的轴力以及积分长度减小，从而使得力法基本方程中正则系数的推导过程中所用的体系虚应变能偏小。鉴于此，为弥补拱肋这部分被低估的应变能，通过在拱肋截面轴向刚度和弯曲刚度中引入如式(4)、式(5)所示的修正系数m、n，即令kn=EaAa/m，ka=nEaIa，将计算得到的拱肋虚应变能放大，以此来修正误差；由于“刚拱柔梁”、“刚拱拱梁”、“刚梁柔拱”的拱梁组合体系桥在受力上差异显著，故需要使用不同的修正系数，参考文献[18]将kba=20作为两者的界限取值，这也是式(4)、式(5)中修正系数m、n在kba=20出现突变的原因所在。二是在考虑第一项修正系数的基础上，将本文解析公式的计算结果与大量有限元方法的计算结果进行比较、分析、拟合，引入一个综合修正系数，通过对其取不同的值，比较修正后计算公式的误差，最终确定综合修正系数为1.3。

(4)

(5)

同时考虑坦拱假定修正系数以及综合修正系数后，即kn=EaAa/(1.3m)和ka=1.3nEaIa，本文解析公式的计算误差如表2所示(修正后)。可见，表2中给出的13个计算模型涵盖了拱梁刚度比常用的取值区间(0.05～400)，经过修正后解析公式与数值解的误差均在±5%范围内，因此可以认为本文的解析公式及其修正方法对梁拱组合连续刚构桥是普遍适用的。

3 基于灰色关联分析法的拱肋荷载分担比例影响因素分析

由式(1)可知，拱肋荷载分担比例t的影响因素主要有7个，分别为高跨比Φ、边中跨比η、矢跨比ξ、拱肋压弯等代刚度比kna、梁拱截面弯曲刚度比kba、墩拱截面弯曲刚度比kca、吊杆拱肋等代弯曲刚度比ksa。为进一步明确拱肋荷载分担比例t的主要影响因素以进一步对公式(1)进行简化，采用灰色关联分析法进行分析。

按照灰色关联度分析法的步骤，将拱肋活载分担比例t作为参考数列，将影响拱肋荷载分担比例t的7个参数在其工程常用范围内均匀地取10个值计算拱肋活载分担比例t，并将求得的t作为比较数列进行灰色关联分析。各影响因素取值情况如表3所示，取值依据如下。

(1)预应力混凝土连续刚构桥墩高与主跨之比一般要求大于1/10。已查文献中墩身最高的连续刚构桥为贵州毕节至威宁高速赫章特大桥，墩高达到了195 m[19]，故表3中高跨比的取值范围为1/10～1。

(2)3跨下承式连续梁拱组合桥，合理矢跨比为1/5～1/8，合理边中跨比为0.4～0.5，对于梁拱组合连续刚构桥，实际工程中经常出现矢跨比小于1/5及边中跨比小于0.4的情况，如中卫“V”形连续刚构-拱组合桥矢跨比为1/3.6[20]，重庆菜园坝长江大桥边中跨比为0.24，故表3中矢跨比的取值范围为1/3.5～1/8，边中跨比的取值范围为0.20～0.65。

(3)“刚梁柔拱”的界定值可取为kba≥20，“刚拱柔梁”的界定值可取为kba≤1/20，对于重庆菜园坝长江大桥，其拱梁刚度比约为1/333[18]，故表3中kba的取值范围为1/20～350。

表3 各影响因素的取值情况

将参考数列及各比较数列无量纲化后，首先计算各比较数列与参考数列的灰色关联系数，然后将得到的灰色关联系数求平均，便得到各比较数列与参考数列的灰色关联度，结果如表4所示。

表4 各比较数列与参考数列的灰色关联度

从表4可以看出，公式(1)中7个参数对拱肋荷载分担比例t影响的敏感程度由高到低为ksa>kba>ξ>kna>kca>η>Φ，因此，可以认为ksa及kba是影响拱肋荷载分担比例t的关键因素。

t随kba的增大而减小，但kba超过300后拱肋荷载分担比例t受kba的影响不再显著，如图4所示，此时拱肋也会承担相当一部分荷载(至少在30%以上)，这体现了拱肋对于改善主梁受力的显著作用。当主梁截面刚度小于拱肋后kba≈1.0，表明此时拱肋将承担几乎全部活载。

图4 t-kba关系曲线

图5 t-ksa关系曲线

从表4可以看出，相对于ksa和kba，Φ、η、kca、kna、ξ的变化对t影响并不明显，因此可将其看作常量以进一步简化公式(1)。首先分别将表4中Φ、η、kca、kna、ξ不同取值下得到的t求平均，并以此为依据初步确定Φ、η、kca、kna、ξ5个参数的具体取值，然后将简化公式的数值解与大量有限元方法的计算结果进行比较，进一步调整各影响因素的取值，最终确定Φ=1/6、η=0.455、kca=43、kna=30 000、ξ=1/5。简化后拱肋荷载分担比例t的计算公式如式(6)所示，其中γ为修正系数，其取值如式(7)所示，需要说明的是采用简化公式计算时也需利用式(5)将ka进行放大。

t=

(6)

1.3 观察指标 ①围术期指标。观察两组手术时间、术中出血量、术后肛门排气时间及住院时间。②生化指标比较。观察两组手术前后血清孕酮、VEGF和INH-A水平。③术后并发症。观察两组手术后感染、阴道流血、腹痛及发热等并发症发生率情况。④术后受孕情况。观察两组术后受孕情况，包括：宫内妊娠、不孕及异位妊娠等。

(7)

为了验证公式(6)的正确性，在表2的结构参数下计算了简化公式的误差，并与公式(1)的计算误差进行比较，结果如图6所示。可见，由简化公式计算得到的t的误差基本在10%以内，与公式(1)相比，虽然误差有所增大，但仍然能够满足梁拱组合连续刚构桥初步设计阶段估算的精度要求。

图6 不同结构参数下简化公式的计算误差

4 既定拱肋荷载分担比例下梁拱截面弯曲刚度比的求解

梁拱组合连续刚构桥中拱肋的存在既能提高结构自身刚度，又能分担一部分活载，而在选定拱肋分担活载比例的情况下如何设计拱肋的截面刚度成为设计中最为关注的主要问题之一，根据式(6)，拱肋荷载分担比例t与梁拱弯曲刚度比kba之间的函数关系可表示为

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

式(8)明确了拱肋分担荷载比例t与kba之间的匹配关系，可用于控制拱肋承担的荷载大小。由图4可知，当kba较大时，t随kba的变化逐渐趋于稳定，若以Δ=F(kba+16)/F(kba)为目标函数，认为当Δ≥0.98时，kba对t的影响不明显，由此可得到梁拱组合连续刚构桥梁拱截面最优刚度比。

根据式(6)，拱肋荷载分担比例t与拱肋截面刚度ka之间的函数关系可表示为

(12)

其中

A3=230L3kbks

(13)

A4=1.3×104L3ks

(14)

(15)

(16)

A7=1×106akb+1.5×104L3ks

(17)

若以Δ=F(ka)/F(1.1ka)为目标函数，认为当Δ≥0.98时，继续增大ka，对t的影响不明显，由此可得到梁拱组合连续刚构桥拱肋截面最优刚度，如式(18)所示。

(18)

当主梁截面刚度kb、吊杆轴向刚度ks、吊杆间距a、主跨跨径L已知时，由式(18)可确定拱肋截面最优刚度，此时认为当ka大于该值时，拱肋对于主梁荷载的分担作用及跨中下挠的改善作用不再发生显著变化。根据表1中结构参数所定义的基础模型，由式(18)可得到该桥最优的拱肋截面刚度ka=1.56×108kN·m2，此时拱肋分担了约60%的活载。

5 结论

本文将吊杆力等效为膜张力t作用于梁拱闭合体上，通过求解力法方程推导了3跨梁拱组合连续刚构桥中梁、拱分担荷载比例，并提出了既定拱肋荷载分担比例下梁拱截面弯曲刚度比的解析公式，计算精度能满足概念设计阶段估算的精度要求。研究主要结论如下。

(1)梁拱组合连续刚构桥中梁、拱分担荷载比例的解析计算公式能够帮助设计人员更加深入理解该类桥型的拱-梁协作机理，从力学的角度分析对拱肋分担的荷载比例进行控制，使得结构更加经济、合理。

(2)影响拱肋荷载分担比例t的关键因素为梁拱截面弯曲刚度比及吊杆拱肋等代弯曲刚度比，在刚梁柔拱的假定下，拱肋至少能承担30%以上的活载；当主梁截面刚度一定时，拱肋分担的荷载比例随拱肋截面刚度的增加而增加，但当拱肋分担的荷载比例超过60%后，继续拱肋截面抗弯刚度已不能大幅提高其分担的荷载比例。

(3)本文推荐的解析公式(18)可以非常方便地实现既定拱肋荷载分担比例下拱肋截面抗弯刚度的求解，从而为梁拱组合连续刚构桥拱肋截面的初步设计提供参考。