基于Levenberg Marquardt 的数控机床主轴负载振动的非线性拟合

林海森 邹朝圣 廖妮兰 廖城鸿

（厦门万久科技股份有限公司，福建 厦门 361021）

生产制造，从早期的人工、机械、半自动化和自动化，到信息化、数字化,再到现在的智能制造，其发展趋势已势不可挡，而且智能制造也是全球制造业发展的趋势[1]。智能制造离不开数控机床，在我国“智能制造2025”的环境下，数控机床主轴振动信号的采集、监控与分析已经成为了行业热议的话题。如苏健[2]等提出基于三次样条函数的 FFT 优化算法，研究了机床主轴的振动信号；万海波[3]等基于 HHT 的主轴振动信号，实时监测振动信号的时频分布；董鑫[4]等利用谱图小波阈值降噪、逆变换，分析了滚刀主轴振动信号。研究数控机床主轴振动量，将数据可视化对于智能化生产与管理具有十分重要的意义。

数控机床加工时，其主轴振动量与主轴转速、进给速度和切削量这3个变量因素息息相关，而三者与主轴振动量是非线性关系，寻求关系函数需求解非线性方程。当前求解非线性方程组最常用的经典方法为牛顿法(Newton)方法，高斯牛顿法(Gauss-Newton)方法，列文伯格-马夸尔(Levenberg-Marquardt，L-M)方法等，其中L-M算法介于牛顿法与梯度下降法之间的一种非线性优化方法，具有梯度法和牛顿法的优点[5-6]。

L-M算法与最小二乘方法关系密切，能有效解决多元非线性曲线拟合，估算函数的未知参数，在工程应用中很有实用价值。其使用信赖域，修正阻尼因子u，当u很小时，步长取牛顿法(Newton)的最优步长，当u很大时，步长取梯度下降法（Gradient Descent）的最优步长，得到合适的值，在迭代更新过程使方程有效收敛，最终达到求解结果[6-7]。

本文使用三维度的速度传感器(VB-300)分别收集数控机床主轴负载时的振动速度量与主轴转速、进给速度和切削量3个因素的关系数据，以L-M算法为基础，进行多元非线性曲线拟合求得最终关系函数，实现数控机床主轴负载时振动量的估测，以及对加工过程中出现异常的报警。

1 检测系统方案设计

本文选取速度传感器(VB-300)，具有三维度的速度检测，用于采集机床主轴振动信号，速度传感器安装于机床主轴右侧，不影响加工，其整体布局效果如图1所示，系统框架图如图2所示。

图1 速度传感器布置

图2 系统框架图

2 多元非线性拟合

2.1 主轴振动与因变量关系

数控机床主轴负载时，其振动幅度与主轴转速x1、进给速度x2、切削量x3的变量因素相关，当变量因素都不变的情况下，加工过程中随着时间t的变化，主轴在3个方向的振动值Y在应许的容差内波动，呈现水平分布，如图3所示。

图3 主轴振动与时间关系图

为了便于推算拟合的函数关系式，根据主轴负载时的振动数据，分别取3组数据进行拟合，可得数控机床的主轴转速x1、进给速度x2、切削量x3与主轴振动幅度关系分别呈现指数函数关系（y=eAx+B）。同时，考虑拟合效果，主轴转速数值缩小1 000倍进行拟合，即取7.2～9.6 r/min，其曲线分布如图4～6所示。

图4 主轴转速与主轴振动值关系图

2.2 基于L-M的多元非线性曲线拟合

本文基于L-M算法，分析了机床主轴负载时的振动与主轴转速x1、进给速度x2和切削量x3三者的关系，估测主轴的速度振动值。确立初始函数关系的主流程，如图7所示。

图7 确立函数关系式流程图

图5 进给速度与主轴振动值关系图

图6 切削量与主轴振动值关系图

多元非线性曲线拟合实现过程如下：

（1）求取参数 β=(β1,β2,β3，β4,β5)的初始函数Yi=f(Xi,β)，结合上述2.1内容中确定的不同变量的关系函数模板，进行“加、减、乘、除”方式组合，

确立初始函数关系式为

以下以Yi=f(Xi,β)进行表示计算。

（2）初始给定一组数量为m的经验数据(Xi,Yi)，0

（3）求取最优参数β，可由偏差ri(β)的 平方S(β)和最小求得，用最小二乘法方式表示有

（4）由于雅克比矩阵

根据一阶泰勒展开有

结合式（1）有

（5）L-M算法使用了一种带阻尼的高斯－牛顿方法，式（2）引入阻尼项，有

其中：I为单位矩阵，正阻尼因子ui=||ri(βk)||2全局收敛[8]，0

（6）求偏差的最小值，则对式（3）求偏导，并令为0，则有

（7）若 ||gi(βk)||∞≤ε1则退出迭代，否则继续，常数值 ε1=10-15。

（8）若 | |Δβ||2≤ε2(||βk||2+ε2)，则退出迭代，否则继续，常数值ε2=10-15。

（9）更新 βk+1=βk+Δβk。

（10）计算增益比

（12）重复（6）到（11）的步骤，直至迭代结束。

2.3 异常报警监测

本文通过拟合的曲线进行估测主轴的振动值，与实际值比较，当超过应许的容差时，判断为异常，主轴停止并报警处理，保证机床加工的稳定性。实现异常报警的程序流程图，如图8所示，其中n1为每组数据的数量、n2为数据异常的数量。

图8 异常判断流程图

3 实验结果

根据上述步骤，拟合曲线方程为确立初始函数关系式为

本文相关测试设备组成如表1所示，其测量的振动值对应的容差参考值如表2所示，其他变量条件：

表1 主要设备

表2 容差参考表

主轴转速7 200 r/min≤x1≤9 600 r/min；进给速度100 mm/s≤x2≤ 400 mm/s；切削量0.1 mm≤x3≤0.5 mm。

随机选取3组数据进行估测比较，其实验结果如表3所示。

表3 实验数据表

综上所述，在数控机床主轴负载时，有：

（1）主轴转速间隔800取一组，共4组；进给速度间隔100取一组，共4组；切削量间隔0.1取一组，共5组。三者之间自由组合，共80组，保证数据的可靠性。

（2）容差值与主轴振动幅度值正相关，可减少误差放大，提高数据估测的准确性。

（3）随机性抽取多组数据验证，合格率超过97%，保证数据估测的有效性。

因此，本文所述算法能很好地拟合估测主轴振动量与主轴转速、进给速度和切削量三者的关系，保证数控机床加工的稳定性。

4 结语

本文基于Levenberg Marquardt算法，多元非线性拟合，确立主轴转速、进给速度和切削量三者与机床主轴速度振动量的函数关系。在数控机床加工中，实时监测主轴振动状态，判断主轴是否异常和刀具是否断裂，保证数控机床加工的稳定性，提高生产效率。实验结果表明，该方式能有效地预估主轴的速度振动量，准确率超过97%。同时，对于后续数控机床主轴的平衡性、撞击和刀具寿命管理等有很大的参考价值。