基于改进双准谐振控制器的PMSM电流谐波抑制

朱 元，杨 刚，肖明康，陆 科

(1.同济大学 汽车学院，上海 201800；2.同济大学 电子与信息工程学院，上海 201800)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)自身拥有诸多特点，例如功率密度大、工作效率高、体积小、噪声小、无磨损以及响应速度快等，因此其被广泛应用于各行各业[1-2]。然而，PMSM中往往存在着大量的电流谐波，导致铁损大幅增加，造成高速时转子过热[3-4]，从而对电机的运行产生不利影响。

为了降低PMSM的电流谐波，国内外学者进行了大量的研究，这些方法大致可以分为基于电机设计和控制算法两类。第一类方法着眼于电机本体设计，主要是通过优化转子形状以及更好地安排定子绕组分布，来实现对于气隙磁场的改善，从而降低电流谐波[5-6]。但这种方法需要对电机本体进行优化设计，导致电机设计初期的复杂程度显著增加，并且在电机的生产加工过程中也需要更加精密的设备。另一类方法则是从控制算法的角度对电机谐波进行补偿或抑制。文献[7]通过电压前馈补偿来抑制电流谐波，即对特定次谐波做出特定倍角的PARK坐标变换，来提取电流的畸变量幅值，并基于PMSM基波方程和电流谐波频率反算出需要补偿的电压信号。文献[8]通过实时提取谐波电流，经PI控制器计算后得到谐波电压，并将其在线补偿到电压命令值中。文献[9]采用了一种闭环检测系统，该系统可以在几乎没有延迟的情况下更准确地提取谐波。然而，这些方法或是需要引入大量的新控制参数，导致设计过程高度复杂化，或是会引入多个矢量变换，导致系统内计算量显著上升。

谐振控制器在谐振频率处的增益理论上为无穷大，可以对某一特定频率进行控制，因此能在谐波抑制方面产生作用[10-12]。采用比例谐振的方法对PMSM的电流谐波进行抑制，不仅结构简单，而且能够取得一定的效果。但是在实际应用过程中，理想的谐振控制器可能会存在谐振频率的偏移，在高频下尤为明显。

本文针对此问题进行分析，采用准谐振控制器并对其谐振频率进行修正，同时引入相角补偿，改善高频下相位裕度不足的问题，并在此基础上，实现对于PMSM电流谐波的抑制。

为了实现对PMSM电流谐波的抑制，针对电流中含量较多的5、7、11、13次谐波，本文提出一种基于改进双准谐振控制器的电流谐波抑制方法。该方法在传统的PI控制器上并联改进后的准谐振控制器，不仅能够同时抑制5、7、11、13次谐波，而且针对常规的谐振控制器在应用中可能存在的问题进行了改进，通过仿真和实验对该方法的有效性进行了验证。

1 准谐振控制器及其参数设计

1.1 谐振控制器与准谐振控制器

在PMSM控制系统中，矢量控制系统通过对PI控制器进行设计，能够实现对于直流分量的无差值跟踪。然而，PI控制器在较高频率处的增益十分有限，如果单纯采用PI控制器，则只消除直流信号的稳态误差，而无法对控制闭环中的干扰进行有效抑制。为了对PMSM运行过程中产生的电流谐波进行抑制，本文采用在矢量控制PI的基础上再并联谐振环节的方案来抑制电流谐波。

对于理想的谐振控制器，其原始的传递函数：

(1)

式中：KR为谐振控制器的增益系数；ω0为谐振角频率。当其处于谐振频率处时，其增益满足：

(2)

因此，在谐振频率ω0处，整个谐振控制器具有无穷大的增益，而除此以外，谐振控制器几乎不会对信号产生影响。

对于采用谐振控制器的PMSM控制系统，其电流环结构框图如图1所示。

图1 电流环结构框图

图1中，Icmd(s)为电流指令值，Iout(s)为电流输出值，G(s)为控制器，由PI环节和谐振控制器并联组成，GI(s)为逆变器，Gp(s)为被控对象电机，E(s)为电机的反电动势。由图1可以得到整个电流环的闭环传递函数：

(3)

当理想谐振控制器处于谐振频率处时，可以认为G(s)为无穷大，此时式(3)分子的第二项就可以忽略，从而可以近似：

(4)

这说明当信号的频率与谐振频率一致时，不会存在稳态误差[13]。

事实上，理想的谐振控制器只对单一的谐振角频率起作用，而应用过程中由于采样等因素，实际与目标频率势必存在一定的偏差，此时谐振控制器的效果就不再明显。为此，需要对传统的谐振控制器进行优化，使其能对一定范围内的信号起作用，这也就是准谐振控制器，其传递函数：

(5)

式中：ωc为谐振带宽，其作用是增加频率响应的宽度，使得控制器能够对谐振频率附近一定范围内的信号也起到作用。图2为谐振与准谐振控制器的Bode图，相关参数满足：KR=500，ωc=10 rad/s，ω0=100×2π rad/s。

图2 理想谐振控制器与准谐振控制器Bode图

从图2可以看出，相比于理想谐振控制器，准谐振控制器的谐振带宽明显增大，在谐振频率附近也可以提供较大增益。

1.2 准谐振控制器参数设计

在对准谐振控制器进行改进后，系统中存在3个参数，分别为增益系数KR、谐振带宽ωc以及谐振频率ω0，ω0由目标抑制的谐波次数和电机的运行状态决定。因此需要对余下的两个参数进行合理选择，从而尽可能达到较好的控制效果。

在其他参数相同的情况下，通过改变增益系数KR的值，来探究准谐振控制器的性能。如图3所示，设定参数：ωc=10 rad/s，ω0=100×2π rad/s，同时令KR分别取10、50、200、500。

图3 不同增益系数下准谐振控制器Bode图

由图3可以看出，随着增益系数的增大，准谐振控制器在整个频率范围内的增益都会得到增加，且增益系数越大，系统对于高频扰动的抗干扰能力越好，但截止频率也会随之增大，系统的相位裕度也会相应减小，系统的稳定性将受到影响。然而，增益系数的变化对准谐振控制器的相频特性几乎没有影响，在实际运用中，应当根据高频电流谐波抑制的需要，合理选取增益系数。

设定参数：KR=500，ω0=100×2π rad/s，同时令ωc分别取5 rad/s、10 rad/s、20 rad/s、50 rad/s，可以画出谐振带宽不同时对应的准谐振控制器Bode图，如图4所示。随着谐振带宽的增大，准谐振控制器的增益和带宽都会增大，但是其在谐振频率处的增益与附近频率的增益差距越来越不明显，这就导致当ωc过大时系统的选频特性变差，从而影响到控制性能。而ωc太小，系统内的偏差可能会导致实际频率落在带宽之外，这又会影响系统对高频谐波的抑制效果。在实际运用中同样需要对ωc进行适当的选取。

图4 不同谐振带宽对应的准谐振控制器Bode图

2 改进准谐振控制器及修正方法

2.1 准谐振控制器的离散化

由于准谐振控制器本身是在连续域中进行设计的，所以在实际运用中，需要对其进行离散化处理才能够在嵌入式电机控制器中实现。为了便于对准谐振控制器进行离散化分析，将其在连续域下的结构表示为图5的双积分形式，其对应的传递函数可以写成：

(6)

图5 准谐振控制器结构框图

这样，只需对图5中的两个积分环节分别进行离散，同时为了避免代数环的存在，在反馈通道加入一个延迟环节，就能够实现对于整个系统的离散。

一般来说，常用的控制系统离散化方法及其对应关系如表1所示。

表1 常见的离散化方法及其对应关系

由于双线性变换法简单且准确度较高，大部分学者往往直接选择双线性变换法对连续系统进行离散[14-15]。而本文选择采用双后向欧拉的离散方法，将这两种离散方法对应的系统与连续系统放在同一Bode图下对比，如图6所示。可以看出，常规的双线性变换法和双后向欧拉法的幅频特性与连续系统基本一致。从相频特性的角度来看，采用双后向欧拉法得到的系统与连续系统更为接近，而双线性变换法相比于双后向欧拉法存在更大的相位滞后，并且这一点在高频情况下会更加明显。

图6 不同离散方法对应的准谐振控制器Bode图

为了保证系统在高频下能稳定运行，本文采用双后向欧拉法对准谐振控制器进行离散。考虑到为了避免代数环而在反馈通道中加入了延迟环节，最终离散后系统的传递函数如下：

(7)

2.2 准谐振控制器的相角补偿

在采用双后向欧拉法对准谐振控制器进行离散后，当谐振频率较高时，在高频处就会出现相位滞后的问题。除此以外，随着频率的提升，电机控制系统本身由于采样等因素也会引起相位滞后，且频率越大相位滞后的角度越大，比例系数约为1.5[16]。此时，仅仅对准谐振控制器的参数进行优化，很难对系统的稳定性产生显著的改善效果。为了增加准谐振控制器系统的稳定性，本文选择加入额外的相位角，从而提高整个系统的相位裕度，使得系统能够保持稳定。在加入相角补偿以后，式(7)可以被改写：

(8)

则该准谐振控制器的结构可继续改为图7的形式。

图7 加入相角补偿后的准谐振控制器结构框图

对相角进行补偿时，补偿角度满足：

(9)

式中：φ为最终补偿的相角。

正如前文所述，通过对准谐振控制器进行改进，在其中加入相角补偿，可以提高整个系统的相位裕度，从而使得系统不容易发散。设定其他参数：KR=500，ω0=100×2π rad/s，ωc=10 rad/s，同时令φ分别取0°、10°和30°，画出不同相角补偿下对应的准谐振控制器Bode图，如图8所示。

图8 不同相位补偿角度对应的准谐振控制器Bode图

由图8可以看出，在进行相位补偿以后，谐振频率点处的相位会增大，系统的相位裕度也因此得到增加。同时，在谐振频率点附近，加入相位补偿对于系统的增益几乎没有影响。

2.3 对于谐振频率偏移的修正

(10)

当n取1时，即可视为不修正。在同时考虑修正效果与系统计算复杂度的基础上，通常取n为3。则修正后的传递函数：

(11)

修正前后准谐振控制器的幅频特性如图9所示。从图9可以看出，未修正时，系统的谐振频率点会产生较为明显的偏移，而对其进行修正后，偏移得到了明显的改善，几乎可以忽略不计，可以认为该偏移得到了较好的修正。

图9 偏移修正前后准谐振控制器幅频特性图

3 基于双准谐振控制器的电流谐波抑制策略

在PMSM的运行过程中，从d,q坐标系来看，除了存在较多的6次谐波以外，12次谐波的含量往往也不能忽略不计。然而，单一的准谐振控制器只能对特定频率处的谐波分量起到抑制效果，而无法对一个较宽频率范围内的谐波都起作用。为了能够对多个阶次谐波同时进行抑制，本文将不同频率的准谐振控制器并联，从而实现对于电机5、7、11、13次电流谐波的同时抑制，其控制框图如图10所示。其中，R1和R2分别为针对不同频率的改进准谐振控制器。

图10 采用改进双准谐振控制器的PMSM控制框图

给定电流指令值，相当于也给出了电流谐波为0的命令，则对于5、7次谐波和11、13次谐波，在d，q轴上分别采用6倍和12倍的基频作为谐振频率，分别满足：

(12)

(13)

(14)

式中：ud0和uq0分别为电流经过PI环节后的电压值。

为了证明双准谐振控制器对不同阶次谐波抑制的有效性，在MATLAB/Simulink环境下对本方法进行仿真验证。仿真用电机相关参数如表2所示。设定电机负载为20 N·m，转速设定为额定转速，即3 000 r/min，谐振控制器参数设为KR=40，ωc=10 rad/s。

表2 电机及其控制系统参数

图11是A相电流进行FFT分析的仿真结果。可以看出，在未采用准谐振控制器进行谐波抑制时，系统内存在较多的5、7次谐波；当仅采用6次准谐振控制器时，5、7次谐波的含量明显下降，这说明6次准谐振控制器可以对电流中特定频率的谐波进行较好的抑制，但同时发现，其他阶次的谐波相比未进行抑制时略有增大；当仅采用12次准谐振控制器时，得到的结果也与之前类似，即11、13次谐波可以在一定程度上得到抑制，而其他阶次的谐波略有增大；当采用双准谐振控制器时，5、7、11、13次谐波均能得到较好的抑制，这些都从仿真的角度说明了双准谐振控制器的有效性。

图11 3 000 r/min时谐波抑制前后A相电流仿真

4 实验及结果分析

4.1 实验平台介绍

为了进一步验证改进后的准比例谐振控制算法对于电机谐波的抑制效果，本文采用了台架实验来进行验证。图12为本文所采用的硬件平台以及相关环境。

图12 实验用PMSM及相关硬件平台

整个实验系统包含PMSM、电机控制器、直流电压源、测功机、旋转变压器、转矩传感器以及相关上位机等，电机相关参数如表2所示。实验过程中，给测功机一个固定的转速，从而拖动PMSM旋转。

4.2 电机台架实验验证

实验电机采用id=0的方法控制，通过给定电流iq的值来设定目标转矩。设定iq=40 A，转速为3 000 r/min,则电机实际上是处于目标转矩为17.5 N·m、转速为3 000 r/min的状态下运行。此时未采用准谐振控制器进行谐波抑制时的A相电流波形以及其FFT分析结果如图13所示。

图13 3 000 r/min时未进行谐波抑制的实验结果

从图13(a)中可以清楚地看出，在电流过零点处，由于死区等非线性因素的存在，电流波形的上升幅度变缓，不再呈现标准的正弦形式，存在较为明显的畸变。从图13(b)可以看出，电流中包含较为明显的5、7、11、13次谐波。

在相同的工况下，先后分别对6次和12次准谐振控制器使能，最后再对其同时使能，可以得到A相电流波形与其FFT分析结果，如图14所示。

相比于图13(a)，从图14(a)、图14(c)、图14(e)可以看出，在采用准谐振控制器进行谐波抑制以后，电流波形在过零点处更加顺滑，不再有明显畸变，而仅抑制11、13谐波的电流波形仍然存在一定程度的畸变，说明在原本的电流波形中，5、7次谐波的含量远大于11、13次谐波。显然，仅抑制5、7次谐波相比于仅抑制11、13次谐波，其电流波形更加平滑。对比图13(b)和图14(b)，采用准谐振控制器后电机的5、7次谐波含量分别从未进行谐波抑制时的2.775%和1.769%降低到了0.418%和0.278%，对应的高次电流谐波幅值分别从1.12 A和0.71 A降低到了0.15 A和0.12 A，但是仅对5、7次谐波进行抑制时，更高次(例如11和13次)的谐波含量会有较为明显的增大，而对比图14(b)和图14(f)可以看出，同时抑制5、7、11、13次谐波则可以得到较好的抑制效果。由于更高次的谐波原本占比就很小，即使有一定程度的增大也可以忽略不计。除此以外，单独对11和13次谐波进行抑制也能在一定程度上产生效果。

图14 3 000 r/min时进行谐波抑制后的实验结果

为了更明显地看出谐波抑制的效果，图14给出了从基波到45次谐波的FFT分析图象，可以看出，在更高阶次区域并不存在较为明显的谐波成分。而对于较低次的2、4次谐波，虽然其含量相比于进行谐波抑制后的5、7次谐波来说不可忽略，但产生原因为实验所用测功机转速本身不够稳定，导致在实验过程中存在较大的振动。且本次实验的硬件平台所能提供的PWM频率为10 kHz，使得系统载波比并非严格为3的奇数倍，导致PWM波形并非严格对称，这同样容易产生谐波。因此，这些因素的存在，使电流中仍有少量难以消除的谐波。

从以上实验结果来看，其结果在工况接近的情况下和电机的仿真结果相吻合，说明采用改进双准比例谐振控制器并联的方式能够对PMSM的电流谐波进行抑制，并且抑制效果较为明显。

5 结 语

本文针对PMSM运行过程中的电流谐波问题，提出一种基于改进双谐振控制器的谐波抑制方法，该方法能够对电机中的不同阶次的谐波进行有效抑制，并先后通过理论分析、仿真以及实验对其进行了证明，得出以下结论：

1)相比其他电流谐波抑制算法，基于谐振控制器的方法思路清晰、易于实现，并且在电机中能够稳定运行，具备明显的谐波抑制效果。

2)相比于常规的谐振控制器，本文采用修正后的准谐振控制器，在谐振频率处扩展谐振带宽的同时对谐振频率的偏移进行修正，使得控制器能够更好地跟随目标频率。

3)不同于采用常规的双线性变换法进行离散，本文采用双后向欧拉的离散方法，同时加入相角补偿，提高了高频下相位裕度，使得在准谐振控制器频率较高时也能具有较好的稳定性。

4)通过采用双准谐振控制器并联的方式，可以实现对于不同阶次谐波的同时抑制，相比于仅抑制5、7次谐波的方法具有更加明显的抑制效果。