列车荷载作用下准饱和地基波阻板隔振特性研究

宋永山，高 盟，陈青生

（1.山东科技大学山东省土木工程防灾减灾重点实验室，山东青岛 266590；2.山东科技大学土木工程与建筑学院，山东青岛 266590；3.华东交通大学江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室，江西南昌 330013）

引言

高铁建设快速发展，列车运行速度不断提高，其产生的环境振动污染也逐渐加剧，列车轨道及沿线地基隔振减振措施成为研究热点［1-4］。

波阻板（wave impedance block，WIB）作为一种有效隔振方法自其提出便受到了广泛关注。1991年，Schmid等［5］首次提出可以通过在一定深度处埋设刚性障碍物人工实现高铁振动影响的减小。并与刚性墙对高铁振动隔振效果比较，证明了该方法的有效性。Yang等［6］对弹性地基中列车荷载作用下空沟、填充沟、WIB隔振效果及其设计参数进行研究，发现WIB有良好隔振效果。高广运等［7］建立饱和地基2.5维有限元模型，分析空沟、混凝土墙和WIB隔振效果，同样得到WIB隔振效果最好的结论。为深入研究WIB隔振措施对高铁振动频带衰减影响，Takemiya等［8-9］建立WIB隔振数值分析模型，发现WIB对低于15.3 Hz的低频段有较好隔振效果。李志江等［10］对比弹性地基中实体WIB与蜂窝WIB隔振效果，认为蜂窝WIB隔振效果更好，但实体WIB对0～10 Hz的低频振动更有效。时刚等［11］建立弹性地基边界元模型，分析了WIB对Rayleigh波的隔振能力，并讨论了WIB埋深、厚度等参数影响。周凤玺等［12］建立弹性地基-饱和多孔介质WIB模型，分析了一种含液饱和多孔WIB的地基隔振性能。田抒平等［13-14］发展了一种带孔WIB填充Duxseal的隔振方法，分别建立二维均质、分层弹性地基边界元模型分析了隔振材料直径、厚度和埋深等对隔振效果的影响。WIB的隔振效果、参数设计等得到了充分研究，一些新兴WIB隔振材料也被发展。然而，这些研究往往将地基视为弹性或饱和两项介质，以简化复杂的动力问题，这与实际工程相差较大。

在实际工程中，由于地下水位开挖、渗水和地下水补给，地基多为孔隙中含有少量气泡的准饱和土［15］。Richart等［16］进行试验时发现饱和度对准饱和土中波的传播有重要影响。近年来，准饱和地基中振动传播理论逐渐发展。Vardoulakis等［17］基于固-流-气系统建立了准饱和介质场和动态本构方程以研究准饱和介质中简谐波振动响应规律，建立了VB理论；Bardet等［18］通过对比VB理论及Biot理论应用范围，发现VB理论在某些情况下会失效，因此基于Biot理论推导了准饱和介质中P波传播速度和衰减近似表达式；Yang［19］基于Biot理论推导斜向SV波在准饱和地基中传播方程，对其传播特性进行了研究。在国内，李保忠等［20］基于Biot理论，对准饱和介质中体波传播特性进行研究，并分析饱和度变化对横观各向同性介质中体波振动响应的影响，得到三种体波衰减受饱和度影响较大而SH波不受饱和度影响的结论；夏唐代等［21-22］同样基于Biot理论对准饱和介质瑞利波特征方程进行推导，发展了不同透水边界条件、饱和度变化对瑞利波传播速度、位移响应的影响。王滢等［23］推导准饱和地基中内源瞬态荷载动力响应解答，发现饱和度变化对内源爆炸荷载产生的衬砌位移、应力和孔压有较大影响。以上研究表明，地基饱和度变化对振动传播特性有较大影响，P波、瑞利波、体波等在准饱和介质中的传播特性研究不断完善，但高铁移动荷载产生的振动传播及隔振，因其复杂性及计算难度较大，相关研究还未见报道。

因此，建立准饱和地基-高铁列车-WIB隔振模型，推导准饱和地基2.5维有限元波动方程，分析高铁移动荷载作用下准饱和地基WIB隔振效果。基于Biot波动理论，考虑饱和度因素，建立准饱和孔隙流体平衡方程；主要理论分析过程包括利用Fourier变换得到载荷和准饱和地基频域控制方程，通过Fourier反变换得到地面振动的时域解。编制Fortran程序，计算不同列车速度下准饱和地基WIB隔振效果，分析饱和度对WIB隔振效果、隔振频率的影响。对饱和度95%的准饱和地基中WIB主要隔振设计参数埋深、宽度、厚度和弹性模量等进行了研究。

1 准饱和地基理论推导

1.1 准饱和土体基本方程

对于准饱和多孔介质，孔隙流体是水和空气的混合物，气泡以闭合形式存在于孔隙流体，因此可将其近似视为均质孔隙流体［19］。其体积模量可表示为：

式中：Kf为孔隙中混合流体体积模量；Kw为孔隙水体积模量；pa为绝对孔隙压力。对于孔隙度n和饱和度Sr可以表征为：

式中：Vv为孔隙体积；Vt为总体积；Vw为孔隙水体积。

由式（1）可知，饱和度改变对K f影响极大，因此饱和度对准饱和土的影响必须加以考虑，且有重要实践意义。根据Biot方程，可以得到准饱和介质中孔隙流体控制方程和平衡方程：

式中：p表示孔压；ρf为孔隙流体密度；u，W分别为固体骨架和孔隙流体的位移矢量，W表示固体骨架的体积应变和流体含量的增量W=n（u-w），kd为动力渗透系数。g=9.8 m/s2。

为求解控制方程，对式（3）、式（4）进行Fourier变换并考虑土骨架控制方程［7］，得准饱和地基频域内控制方程：

式中：F=（nkd）/（iωρf gn-ω2kdρf）；λ、μ为固体骨架Lame常数，λc=λ（1+2βi），μc=μ（1+2βi）；β为土体的阻尼系数；ρ为总密度；ω为圆频率；‘～’表示频域内的量。

1.2 边界条件

对准饱和土体边界条件，应考虑应力、位移边界条件、边界孔隙压力和流体流量，表达式包括：

（1）位移边界条件：

（2）应力边界条件：

（3）流势（不排水）边界条件：

（4）流量（排水）边界条件条件：

式中：vn，q分别表示流体的流速和流量。

1.3 轨道及荷载模型

将轨道简化为直接铺设在地基上的欧拉梁，并将其在高铁列车荷载作用下产生的微小变形看做整体变形，可得轨道的动力方程为：

式中：ur为轨道的振动位移；E I为轨道的弯曲刚度；m为轨道的总质量；fIT，p0分别为地基接触点的反力和外加荷载。p0δ(x-ct)为作用在轨道上的荷载。

对式（10）进行Fourier变换可得：

式中：上标x，t分别表示波数域和频域中的变量。

表示成矩阵形式为：

式中：U TT为轨道所处坐标系中3个方向的位移向量。

建立准饱和地基中列车模型如图1所示。列车荷载作用在轨道上，沿y轴正方向行驶。对于运行速度c，自振频率ω0的列车荷载，其在时域内表达式为：

图1 列车荷载模型图Fig.1 The train load model

式中：pn1，pn2分别为车体的前后轮对重；Li为车厢长度；an，bn分别为前后轴之间的距离；δ为Dirac函数。

变换到频域内，可表示为：

2 2.5维有限元推导

对式（5a）及式（7）应用伽辽金法，可得：

对式（15）第一项进行分部积分后带入物理方程，可得

将式（16）带入式（15），可得

整理式（17），可得

模型采用四节点等参单元离散，其形函数为：

单元变形可通过节点位移进行表示，如下所示：

式（18）沿y方向进行波数展开，得频域-波数域内表达式，用矩阵形式表示为：

式中，“—”表示波数域中的量，各矩阵具体表示为：

式中：*表示共轭；N为形函数；e表示个体单元；η，ξ为局部坐标；∣J∣为Jocobi行列式，其余表达式包括：

对式（5b）和式（8）同样应用伽辽金法得：

对式（22）进行分部积分并带入物理方程，可得

沿y方向进行波数展开后得：

各矩阵具体表示形式：

其中，BS=（-iξx∂/∂y∂/∂z）T，其余符号同前一致。因此，组成整体刚度矩阵：

3 模型验证

对准饱和地基2.5维有限元模型进行退化验证，当准饱和地基的ρf→0和n→0时，准饱和介质退化为弹性介质。建立横截面为100 m×20 m的半空间模型模拟地基，地基表面作用移动速度为60 m/s的点荷载。地基土参数包括土体密度2 500 kg/m3，剪切波速100 m/s，泊松比0.47，阻尼系数0.05。

如图2所示，对移动点荷载正下方1 m处水平方向与竖直方向位移进行监测，对数据进行归一化处理（乘以2πρVs2/p）并与Eason等［24］得到的解析解进行对比。结果吻合较好，证明了文中理论和模型的可靠性。

图2 2.5维有限元模型验证Fig.2 Verification of 2.5-dimensional finite element model

4 准饱和地基WIB隔振效果

建立列车-轨道-准饱和地基-WIB有限元模型，如图3所示。轨道为铺设在地基上的Euler梁，宽度B取为3 m，模型底部及四周边界采用人工粘弹性边界。假定垂直轨道方向截面连续，且每个截面上土体及结构材料特性一致。其中，轨道中心设置为坐标原点。2.5维有限元模型长为100 m，高为20 m，共划分为1 610个单元，1 704个节点，其中轨道中心位置网格划分进行加密，其余部分适当加粗。

图3 2.5维有限元模型Fig.3 2.5-dimensional finite element model

为分析准饱和地基饱和度变化及WIB参数对其隔振效果影响，以秦沈客运专线工程实例［25］进行算例分析。列车参数取国产“先锋号”的有关数据，拖车长为25.5 m，共2辆；动车长为26.6 m，共4辆，其中2辆动车和一辆拖车构成1个单元，列车总长158.4 m，共12个轮对，列车平均轴重12 674.46 kg。轨道弯曲刚度E I=13.254 MN·m2，重m=540 kg/m。WIB埋深k为1 m，宽度e为6 m，厚度t为1 m，弹性模量E为33 000 MPa。其余准饱和土体参数及WIB参数见表1。

表1 准饱和地基及WIB计算参数Table 1 Calculation parameters of nearly-saturated ground and WIB

为对WIB隔振效果进行评价，采用振幅衰减系数作为隔振效果分析重要指标，定义如下：

4.1 饱和度对x方向位移振幅衰减系数影响

列车速度一直是高铁振动的重要研究内容，因此算例中考虑不同列车速度下WIB隔振效果，包括低速30 m/s，基本运行速度70 m/s，高速运行速度300 m/s。并结合地基土剪切波速100 m/s，考虑产生共振的列车临界速度105 m/s进行分析。根据工程中对准饱和土（饱和度≥95%）的定义，分析饱和度为95%，96%，97%，98%，99%，100%时不同列车速度下准饱和地基中WIB隔振效果。其中，饱和度为100%时为饱和地基。

如图4所示，为准饱和地基中不同饱和度变化对WIB隔振系数AX的影响。当列车速度为30、70、300 m/s时随饱和度减小，波阻板隔振系数明显增大。列车速度为30、70 m/s时甚至出现AX大于1的情况，说明此时加入波阻板，对地面x方向位移幅值有增大影响，工程设计中应加以考虑。列车速度为30 m/s，距离轨道中心12 m处，饱和度为95%与100%时AX相差1.75倍，意味着将准饱和地基作为饱和地基进行计算时，将带来75%的误差。这与准饱和地基饱和度下降使高铁移动荷载产生的地面振动位移增大的现象一致。

图4 不同饱和度下WIB隔振系数A XFig.4 Isolation coefficient A X of WIB of different saturations

对于不同速度的列车荷载，随着列车速度增加，波阻板隔振性能越好，地基饱和度对波阻板隔振性能影响减小。波阻板的隔振原理可以表述为在软土地基中插入刚性基础后，振动波通过软土地基与波阻板的分界面时只有高于受约束的剪切频率才能在上部传播。也就是说波阻板存在截止频率，对截止频率以下的波有隔振效果。波阻板截止频率的计算可由式（26）得到：

式中：f表示波阻板截止频率；cp为上部土体压缩波的波速；h为上部土层的厚度。

高速的高铁列车产生振动加速度增大，在截止频率以下的振动加速度增大，使波阻板隔振效果增强。波阻板对于高速运行的高铁列车将有更好的隔振效果。列车速度为105 m/s时，波阻板隔振性能最好，说明此时不仅波阻板的截止频率起到作用，波阻板与地基形成复合地基，通过增大地基剪切波速还减小了高铁移动荷载与地基的共振作用。

4.2 饱和度对z方向位移振幅衰减系数影响

对于准饱和地基中波阻板对z向位移振幅衰减系数的影响，饱和度减小，波阻板隔振性能增强，如图5所示。从波阻板隔振机理的角度进行解释，波阻板具有良好隔振性能主要是由于其对波的反射、散射作用，并且定义了波阻抗比α研究隔振材料的隔振性能：

式中：ρ1v1为分界面上第1种介质的波阻抗；ρ2v2为第2种介质的波阻抗；ρ为介质的密度；v为波速。

在波阻板波阻抗不变的情况下，准饱和地基由于气体的存在使高铁列车移动荷载产生的地基中横向波速增大、纵向波速减小，从而导致了准饱和地基饱和度减小使波阻板横向位移振幅衰减系数增大、竖向位移振幅衰减系数减小的复杂变化。观察图5可知，当距离轨道中心距离小于3 m时，饱和度变化对z方向波阻板隔振性能影响较小。此时，在波阻板宽度范围内，列车移动荷载产生的竖向位移振幅的减小主要由波阻板的反射作用控制，研究表明，准饱和地基饱和度对波阻板反射作用影响不明显。地面振动响应位置超过波阻板宽度后，波阻板对z方向位移衰减效果随地基饱和度减小而增强。饱和度为95%时，隔振性能最好，从饱和地基减小至饱和度99%时波阻板隔振性能的增加远大于饱和度从99%减小至95%，这与王滢等［23］研究结果一致。

图5 不同饱和度下WIB隔振系数A RFig.5 Isolation coefficient A R of WIB of different saturations

4.3 准饱和地基WIB隔振频带研究

以70 m/s速度运行的高铁列车为研究对象，研究不同饱和度变化对WIB隔振频带的影响。图6～图9分别为距离轨道中心0、5、10、20 m（x=0 m，x=5 m，x=10 m，x=20 m），饱和度为95%，100%无WIB及有WIB地基地面振动的频谱曲线，以此分析WIB隔振后地面振动的频率分布。由图6可知，WIB对0-35 Hz频率有明显隔振效果，加速度值衰减明显。对比图6～图9中（a）、（b）不同饱和度的WIB隔振地基，对于无WIB的地基，饱和度减小，加速度呈现增大现象，而加入WIB后饱和度减小对隔振频率加速度有一定减小作用，这与上文结论一致。但WIB隔振后残余频带却随饱和度减小而增大，如图7所示，饱和度为100%时WIB隔振后频带为0～11 Hz，饱和度为95%时WIB隔振后频带为0～13 Hz。图8、图9显示WIB虽对低频隔振效果较好，但隔振后仍残留较多2～4 Hz频率。

图6 x=0 m处WIB隔振频谱曲线Fig.6 Frequency spectrum curve of WIB when x=0 m

图7 x=5 m处WIB隔振频谱曲线Fig.7 Frequency spectrum curve of WIB when x=5 m

图8 x=10 m处WIB隔振频谱曲线Fig.8 Frequency spectrum curve of WIB when x=10 m

图9 x=20 m处WIB隔振频谱曲线Fig.9 Frequency spectrum curve of WIB when x=20 m

4.4 准饱和地基WIB参数分析

根据以上研究发现，饱和度从100%减小至95%时WIB隔振效果呈递进关系，S r=95%时隔振效果与饱和时差别最大，因此分析饱和度为95%时WIB隔振效果。其中用k表示WIB埋深，e表示WIB宽度，t表示WIB厚度，E表示WIB弹性模量。研究WIB参数变化对隔振效果的影响，Woods［26］表明振幅衰减系数AR对WIB隔振具有较好评价效果，因此将其作为评价指标。

图10（a）为WIB不同埋深时隔振效果，由图可知，WIB埋深对WIB隔振效果影响较大，且并不是埋深越深WIB隔振效果越好，观察其变化规律可知，WIB埋深为1 m时隔振效果较好。图10（b）为不同WIB宽度时隔振效果，WIB隔振效果随宽度增加隔振效果增强，但WIB宽度达到6 m后隔振效果增加效果不再明显。图10（c）为不同WIB厚度的隔振效果，厚度为0.5 m时WIB隔振效果较差，厚度大于1 m后WIB隔振效果明显较好，AR值均低于0.4，当WIB厚度为1.5 m时隔振效果最好。图10（d）为不同弹性模量时WIB隔振效果，WIB弹性模量越大，WIB隔振效果越好。

图10 Sr=95%时WIB参数对隔振效果影响Fig.10 Influences of WIB parameters for vibration isolation effect when S r=95%

5 结论

文中基于Biot波动方程，推导准饱和土2.5维有限元波动方程，为工程计算高铁移动荷载作用下准饱和地基WIB隔振效果提供了更为合理的解决方案。通过数值算例研究了不同列车速度时饱和度变化对WIB隔振效果的影响，并分析了饱和度为95%的准饱和地基中WIB设计最优参数值。得到如下主要结论：

（1）准饱和地基中，高铁移动荷载作用下波阻板x方向位移振幅减振效果基本随饱和度减小而增大，S r=95%时相较于100%最大差值达1.75倍，将产生75%的误差。

（2）WIB对0～35 Hz频率有明显减小作用，WIB对加速度幅值隔振效果随饱和度减小而增强，但WIB隔振后距离轨道中心20 m处仍残留2～4 Hz频率。

（3）饱和度为95%的准饱和地基中，WIB参数变化对其隔振效果的影响主要表现为：隔振效果随WIB埋深增大呈现出先增大后减小的变化，埋深1 m时隔振效果最好；隔振效果随WIB宽度增大而增大，但宽度大于6 m后隔振效果变化幅度较小；不同WIB厚度，除0.5 m厚度外，WIB隔振效果均较好；WIB隔振效果随其弹性模量增大而增强。