有关gk同余式的证明

张 勇,刘建新

(1. 南京工程学院数理学院, 江苏 南京 211167；2. 南京工程学院图书馆, 江苏 南京 211167)

1 研究背景

组合同余式研究一直是组合数论中的重要研究课题之一.实际上,同余式可以看成是有限域或者交换环上的等式.组合同余式主要研究具有组合意义的特殊序列(如二项式系数、Stirling数、gk数等)的算术性质.到目前为止,很多经典同余式应用广泛.例如Fermat小定理、Wilson定理、Lucas同余式、Wolstenholme定理等,有的已经被推广到模素数高幂次,而这种模高幂次同余式又常被称为超同余式.因此,对超同余式的研究成了组合数论中有一定难度的课题.

对大于3的素数p,文献[3]证明：

(1)

证明的关键是两个同余式：

(2)

(3)

(4)

在式(4)中,g0=1,令m=r=1,则式(4)退化为同余式(1).本文主要研究同余式(4)的特殊情况.

定理1对大于3的素数p和正整数r≥2,有：

(5)

为了证明定理1,需要辅助性引理.

引理1任给素数p>3,对于任何整数a、b和正整数r、s,则

(6)

同余式(6)被称为Jacobsthal二项式同余式.对于素数p≥5,文献[5]和文献[6]独立地将同余式(6)推广至a、b为非负整数情形.a、b为负整数情形是在文献[7]中推广的.

证明:根据组合数定义和引理1,有：

在文献[8]中有：

(7)

结合以上的性质,证明引理2.

引理3任给素数p>3,对任何正整数r>1有：

证明:

2) 当r≥3时,令s=kp+l.任给s∈{0,…,pr-1-1},有pr|p2r-1H2s.则：

p2r-1H2pk+2l=

p2r-2H2k+1(modpr+2)

通过引理2容易得出：

因此:

所以:

依此类推：

从而引理3成立.

引理4任给素数p>3,对于任何正整数r有

证明:设k=ps+t.一方面,根据同余式(7)可知：

由引理2推出：

联合式(2)和式(3)得到：

由引理3推出：

(H2s-Hs/2)≡0(modpr+2)

根据引理2可知：

H2s)(modpr+2)

根据引理2和引理3可知:

0(modpr+2)

联合引理3和上面的结论可知：

0(modpr+2)

综上所述,证明了引理4.

定理1的证明：文献[3]证明对任何整数n有:

(8)

(9)

令x=n，由式(8)和式(9)可推出：

(10)

由此而得：

在式(10)中,令n∈{pr-1,pr},得出：

(11)

把同余式(11)右边的第一个求和分成整除k与不整除k两种情况:

最后,只需要证明:

(12)

联合引理4即可证明定理1.

2 结语

本文研究孙智伟教授在文献[4]中提出的超同余式猜想,即证明了一个关于gk同余式的特殊情况.通过分拆方法展开证明,分成整除k和不整除k的求和类型.本文对进一步完全证明这个同余式且深化该方向的研究有一定的研究意义.