四个结论“玩转”分组分配问题

陈雪梅

(甘肃省清水县第六中学,741400)

排列组合教学中的不同元素与相同元素的分组问题是高中数学的一个难点,很多同学在解决这类问题时要么束手无策,要么一做就错.本文将通过一些具体的例子,介绍如何利用四个相关结论解决这类问题.

一、不同元素的分组问题

例1将a,b,c,d四个不同的小球平均分成两组,有多少种不同的分法?

变式1将a,b,c,d四个不同的小球分成三组,其中一组两个小球,其余两组各一个小球,有多少种不同的分法?

变式2将a,b,c,d四个不同的小球分成两组,其中一组1个小球,另一组3个小球,有多少种不同的分法?

通过以上例题与变式,我们不难概括得到如下结论:

变式3将a,b,c,d四个不同的小球装在甲、乙两个不同的盒子中,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?

(1)每盒各两球;

(2)一盒一球,一盒三球.

分析求解这类问题可以分两个步骤:先分组后分配.

结论2一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,采用的方法是先分组后分配,则不同分法为分组方案数乘以不同对象数的全排列数.

以上是我们以不同的小球分组问题为例总结的解题方法,同学们可以以此为模板解决所有不同元素的分组分配问题.

高考链接

1.(2020年全国高考题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每位同学只去1个小区,每个小区至少安排1位同学,不同的安排方法有______种.

分析此题为不同元素的分组分配问题.4名同学分3组,其中一组两位同学,另外两组各一位同学,然后再分配给3个小区即可,可以按我们上面总结的结论1与2为模板直接解答.

2.(2021年全国高考题)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到一个项目,每个项目至少分配一名志愿者,则不同的分配方案共有( )

(A)60种 (B)120种

分析本题实质是将5个不同元素分配给4个不同对象,每个对象至少分配一个元素的问题.

二、相同元素的分组问题

例2把4个相同的小球装在3个不同的盒子中,每盒至少一个,有多少种不同的装法?

通过这个例子,我们可以总结出如下解题方法:

“你可找对了，这个就是我这批货里最特别的了。这个叫电色假玉。是把劣质玉电镀上一层翠绿色的外表，让人难辨真假。遇上这种伪玉，就需要你仔细去观察了。”老道把玉举到近前，“因为电镀时会留下裂纹，电色假玉上面会有一些绿中带蓝的小裂纹。行家称这个为‘蜘蛛爪’。但是这些花纹不起眼，一般用这个就足够骗过大多数人了。”

利用此结论,大家可以解决“相同元素分组且每组至少1个型”的分组问题.例如:

练习有6个大学保送名额,计划分到4个班级,每班至少一个名额,有______种不同的分法.

变式4把四个相同的小球装在3个不同的盒子中,允许有空盒,则有多少种不同的装法?

练习求方程a+b+c+d=15的自然数解的个数.

分析本题可转化为将15个小球装在4个不同盒子中,允许有空盒时,有多少种不同装法的问题,所以可用结论3或4解答.

值得注意的是,结论3和结论4只适用于相同元素分配给不同对象的问题,对于相同元素分配给相同对象的问题,元素数量较少时,可用列举法,但元素数量较多时问题会很复杂,限于篇幅,本文不再提及.

通过上面的例1例2及其变式,我们可以发现在解决这类问题时,应先搞清楚是不同元素的分组问题,还是相同元素的分组问题；如果是不同元素的分组问题,就要注意是均匀分组还是部分均匀分组还是全部非均匀分组.另外，还要注意是只要求分组,还是分组后再分配问题;若是相同元素分配给不同对象问题,就看是“至少一个型”,还是“允许0型”,再选用相应的结论进行解答.