立足问题情境 凸显核心素养——从几何求值问题谈起

王玉宏

(江苏省扬州市教育科学研究院, 225000)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确指出:数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用,并凝练提出六个数学核心素养,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[1].几何求值问题以几何图形为情境,融几何、代数与关系为一体,很好地体现了现代数学的本质,能够突出数学学科核心素养.

在数学教学中,考试评价的导向作用是明显的,引领一线的数学教学.本文以几道几何求值试题为例,分析其如何指向核心素养考查及其教学启示,以期发挥考试评价的导向作用,对深化课程改革、落实核心素养发挥作用.

一、剑指核心素养的几何求值问题梳理

几何求值问题大致可分为几何定值问题和几何最值问题.

1. 几何定值问题

(1)灵活运用方程模型，解决几何求值问题

例1如图1,圆心O在直角梯形ABCD的大底上,半圆与AB,BC,CD相切,已知∠ADC=30°,圆的半径为R,求梯形的面积S.

例3如图3,已知∆ABC的内切圆半径为3,且AB=BC,顶点B到圆心O的距离为6,内切圆与腰AB,BC的切点分别为M,N.求MN的长.

试题评析以上三例均以圆和三角形、四边形的边相切为背景,线段的和差关系、余弦定理、勾股定理、相似三角形是探索求解问题思路的思维基础，布列方程实现了形向数的转化,考查学生自觉应用方程模型解决边长求值问题的意识和能力,发展了学生的直观想象素养.

(2)综合运用推理计算，解决几何求值问题

例4如图4,已知圆内接梯形ABCD中过点A的直径AO⊥CD,过点C作CM⊥AD于点M,交圆于点N,若CM∶MN=5∶2,求角α的大小.

2.几何最值问题

(1)灵活运用基本不等式，解决几何最值问题

例5等腰梯形的底角为60°,面积为2dm2,求最小周长的梯形的高和周长.

思路简析设梯形的腰长为a,上底长为b,则周长l=2acos 60°+b+2a+b=3a+2b.

例6若等腰梯形的大底长为m,底角为45°,高为h,且m+h=a,求其面积S的最大值.

试题评析例5例6以等腰梯形为背景,考查学生自觉应用基本不等式解决最值问题的意识和能力.基于梯形相关的基础知识和基本技能,希望学生能够在熟悉和关联的情境中,设置寻找量的关联,用代数语言合理地表达已知量和未知量,自觉关联 “基本不等式”,应用基本不等式等环节步步推进,层层深入,合理选择运算方法解决问题.有效考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

(2)灵活运用函数模型，解决几何最值问题

试题评析本题以周长取最大值为过渡性结论引导问题求解，揭示了动态几何的本质，对学生的逻辑推理素养提出较高要求.虽然运动过程中一个量的变化必然带来其它量的变化，其中必然存在着函数关系，但此关系的建立仍需准确利用平面几何中全等形的性质、三角形中位线的性质等，几何情境仍是产生解题活动的重要条件.综合利用图形的数量的关系，在将几何与函数建立联系并求解过程中，函数关系要学生自主发现，函数模型要学生自主建构，最后自觉应用函数问题，直观想象素养的考查也达到了较高水平.

二、上述几何求值问题的教学启示

1. 以学生核心素养发展为目的，精心设计问题情境

问题情境指个体面临的数学问题和它所具有的相关经验所构成的系统.合适的问题情境,既要紧扣教学目标、适合学生的认知水平,靠近学生的最近发展区,又要具有较丰富的数学信息,形式尽可能地生动直观,易于理解.从数学内部看,几何、代数是现代数学问题的天然情境来源,如本文前述的问题均以数学内部的平面几何知识为情境；从外部看,日常生活、自然科学、社会科学等都可以成为数学问题的情境来源.比如,近几年高考题经常以数学历史和文化为背景设计考题就是有益的尝试.当然,问题情境应该要激发外部问题和内部知识经验条件的恰当程度的冲突,使之引起最强烈的思考动机和最佳的思维定向为基准.从落实学科核心素养的角度,又要注意在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程.汪秉彝等于2000年在中国贵州地区开展了“设置数学情境——提出数学问题”教学的实验工作,积累了丰富的经验,可以借鉴.

2. 以学生自觉运用情境为目标，深化问题情境教学

数学核心素养是学生在一定情境下自主运用相关数学知识技能和思想方法解决实际问题的关键能力和思维品质,情境是学生核心素养形成、发展和表现的载体.在目前的数学教学中,学生在课堂学习中所获得的知识和技能,之所以无法迁移到实际应用中去,原因之一就是缺少数学和实际应用的链接.

生活中,在交警的指挥下不闯红灯是不能真实体现行人的文明素养的,只有在夜深人静、无人看管的情境下依然在自觉地等红灯,才能真实体现行人的文明素养.由此说明,情境和自觉是素养外显展示的关键.同样的道理,自觉应用是学生核心素养真实表现的关键.因此,问题的设计不应铺垫、暗示过多,应有利于学生真实展示自主检索、选择所学知识技能和思想方法解决实际问题的能力,如以例7函数建模为例,未来生产生活或科学研究中遇到实际问题,不会有人告诉或指令学生“这个问题里面有函数关系”“这个问题要先建立××与××之间的函数”,学生遇到实际问题时首先要能自主发现实际问题中变量之间的依赖关系,从而主动构造函数去解决问题[2],这样才能真正培养、真实测评学生的数学建模素养.

3.发挥几何学的育人功能，充分开发数学问题的几何情境

平面几何作为数学的一分支,她的包罗万象性、综合性、趣味性、思考性等足以体现数学的内涵和博大精深.很多国家出现几何运算化的同时,却增加了几何问题的出现频率.俄罗斯莫斯科大学的入学考试,五道高考题中总有一道是以平面几何面目出现的综合问题.日本从东京大学的入学试题中,平面几何与三角、代数的综合问题也出现很多.事实上,从生活的角度来看,人们接触更多的数学对象属几何范畴.从上面的几道指向核心素养考查的几何求值问题可以看出,数学情境特别是几何情境是核心素养考查的重要载体,数学教学要重视几何情境的设计和应用.在初中数学平面几何逻辑推理要求有所降低的背景下,加大平面几何在高中学段教学中的权重、考试中提高几何的运用频率,有意识地以“平几”为情境命制综合问题,无论对提升学生综合运用数学的能力,还是对引导一线教学落实数学核心素养都是有益的.