浅谈运用“割”“补”策略解图形面积问题

李亚军

摘要：求解图形的面积问题是初中数学平面几何问题中的常考题型，解有关不规则几何图形的面积问题时，通常会利用割、补、拼、凑等手段将其转变为可计算的常见规则图形.割、补的手段是几何学中的重要方法，在面积和体积问题中出现的次数尤为多.本研究就“割、补”策略在解答平面图形的面积方面的运用作了深入仔细的分析探讨，通常结合轴对称、中心对称、函数图象、旋转等知识解答问题.

关键词：解题策略;图形面积

1 策略一：割

所谓“割”，即是对原图形添加适当的辅助线，将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），并利用各個图形的面积和进行求解.使用“割”策略求解的关键在于合理将原图形进行分割，使得分割后的每个图形的面积都易于求解.除此之外，还需要对各个基本图形的面积计算公式了然于心，即可保证正确求解.

例1 已知⊙O是△ABC内切圆，D，E，F分别是BC，AC，AB边上的切点，如果BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，求△ABC的面积.

分析：本题不知道三角形的高，所以无法直接运用三角形的面积公式求解，而找出三角形的高具有一定难度，且耗费时间较多.若采用“割”的手段，以圆心O作为三角形顶点，以⊙O的半径作为三角形的高，分别求出△AOB，△AOC，△BOC的面积即可顺利求解.

解：如图1，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，把△ABC分割为△AOB，△AOC，△BOC三个部分.

∵D，E，F是切点，

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∴OD=OE=OF=r.

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=12AB＼5r+12BC＼5r+12AC＼5r=12AB+BC+CA＼5r=12a+b+cr.

注意：可以借上述结论求任意一个三角形的内切圆的半径.当已知一个三角形的面积为S以及它的三边长a，b，c时，则r=2Sa+b+c成立.

练习1 如图2所示，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径等于2，则阴影部分的面积为.

分析：本题阴影部分面积的求解，考查的是勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，以及对扇形面积与弓形面积的理解.正多边形与圆是解题的关键.

解：如图3所示，由圆的对称性与割补法可得，阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积.

∵大圆的半径等于2，∠ACB=90°，AC=BC，

∴AB=4，AC2+BC2=16.

∴AC2=8.

∴阴影部分的面积S=π×22-AC2=4π-8.

2 策略二：补

所谓“补”，是指通过对原图形添加辅助线的方式将原图形转变为规则图形，使问题简单化，进而利于求解的策略.一般来说，需要“补”的图形都不规则，不易计算，因此需要将其“补”成一个规则图形帮助求解.“补”的关键在于根据原图形的特点将其添补成一个常见的且易于求解的图形，最后利用相关图形的面积公式相加或者相减即可得解.如例题2.

例2 如图4所示，将一个边长等于 3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中的阴影部分面积为平方单位.

分析：本题要结合旋转的性质和正方形的性质求解，旋转变换前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.将原正方形ABCD旋转后得到的阴影部分的图形极其不规则，不易直接计算其面积，“割”的手段也不甚好用，但添加辅助线可将其转变为等腰直角梯形，利用已知条件和公式可轻松得出阴影部分的面积.

解：如图5，设DC与B′C′交于点E，连接AE.由旋转的性质可知，∠BAB′=30°.

∵AD=AB′，AE=AE，∠D=∠B′=90°，

∴△AB′E≌△ADE.

∵∠B′AD=∠DAB-30°=60°，

∴∠B′AE=∠DAE=30°.

∴DE=tan 30°＼5AD= 33× 3=1.

∴S四边形A′B′ED=2×12× 3×1= 3.

综上所述，阴影部分的面积为3- 3.

练习2 如图6所示，边长等于1的两个正方形互相重合，若摁住其中一个不动，使另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积为.

分析：本题考查正方形的性质和图形的旋转变换，可将AD′延长作辅助线，由于原图形旋转了45°，因此AD′的延长线经过点C，再用△ABC的面积减去△CD′E的面积即可.

解：如图7所示，连接D′C，设BC与C′D′交于点E.

∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转了45°，

∴点D′位于正方形ABCD的对角线AC上.

∴∠D′CE=45°.

∵∠AD′E=90°，

∴∠ED′C=180°-∠AD′E=180°-90°=90°.

∴△CD′E是等腰直角三角形，即CD′=D′E.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得

AC= AB2+BC2= 1+1= 2.

∴CD′=AC-AD′= 2-1.

∴两个正方形重叠部分的面积S=S△ABC-S△CD′E=12×1×1-12 2-12= 2-1.

3 策略三：割补并举

当单独使用“割”或者“补”都不能顺利求解时，就可以利用割补并举的方式求解，这种策略在等积变形中最常见.割补并举是指将原图形上的某一部分切割下来放到其他合适的位置上，使其成为一个较为规则的图形，进而简化求解.运用此策略根据图形的特点进行灵活割补，结合题目已知条件计算求解即可.

例3 如图8所示，图中的三块阴影部分由两个半径等于1的圆和其外公切线分割而得，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两个圆的公共弦长等于（  ）.

A. 52      B. 62

C.12 25-π2

D.12 16-π2

分析：本题只利用“割”或者“补”较难求解，既需要“割”又需要“补”.根据已知条件可得圆的面积恰好等于矩形ABCD的面积，在此基础上结合垂径定理即可解得公共弦长.

解：由图形割补可知，圆的面积等于矩形ABCD的面积.

所以π×12=2AB，

即AB=π2.

根据垂径定理可知，公共弦EF=2× 12-π42=2× 16-π24=12 16-π2.

故选正确答案：D.

练习3 如图9所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8 cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长上点C′处，求AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（结果保留π）.

分析：本题可将△A′BC′中阴影部分割补到△ABC中，将原阴影部分转变为一个规则的环形，再利用大扇形的面积减去小扇形的面积即可得到所求阴影面积.

解：由题意可知，点A走过的路径为弧AA′，且其所对的圆心角为∠ABA′=180°-∠A′BC′=180°-60°=120°.

∴弧AA′的长为120×2π×8360=16π3.

在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=8.

∴BC=12AB=4，∠ABC=60°.

∴AC= AB2-BC2=4 3.

又∵△ABC旋转到△A′BC′，

∴∠A′BC′=∠ABC=60°.

因此，阴影面积S=120360π×82-120360π×42=643π-163π=16π（cm2）.

在初中数学知识中，内角和定理、勾股定理等常用割补法证明，解答与梯形有关的问题也可利用“割”“补”的策略进行求解.总而言之，“割”“补”的方法在解题中十分常见，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益，也有助于培养学生的化归思想.

参考文献：

[1]杭永根，陈德前.图形面积问题[J].中学数学教学参考，2016（Z2）：104-108.

[2]章杰，叶昌.初中数学从“解构”到“重构”的问题链教学设计[J].湖州师范学院学报，2022（2）：112-116.