隐性课程资源的发展与应用

吕时英

摘要：随着时代的发展，教学资源日益丰富，如教材、参考资料、多媒体、工具书等显性资源深得师生的关注.但还有一种珍贵的隐性课程资源常被忽略，那就是知识的背景、文化元素、生成元素等，充分利用这些隐性资源可拓展学生的思维，帮助学生获得良好的数学思想，为核心素养的形成奠定基础.

关键词：隐性课程资源；特点；知识背景

新课标对课程资源有着明确的定义，这个定义仅局限于课程的显性层面，如文本资源、多媒体、社会资源、生成性资源或环境与工具等，而对于数学课程的隐性资源却没有明确的定义或描述，如我们常接触的文化元素、逻辑元素、生成元素等.这些隐性资源在我们日常的教学实施过程中，却客观、真实地存在.为此，笔者作了一定的探索，以期与同行交流.

1 隐性课程资源的发展与特点

美国教育学家杜威早在《经验与教育》中就提到过“连带学习”，提出学习者在学习中会不由自主地产生一种情感态度与价值观.随后，杰克逊（P.W.Jackson）在他的《班级生活》中首次提出“隐性课程”一词.之后，我国在《教育大辞典》中对此给出明确定义：隐性课程资源是指在课程计划及学校政策中没有明文规定，而又真实存在的非正式或无意识的教学资源，它与“显性资源”呈相对的关系.

隐性课程资源的主要特点：①具有普遍性、持久性与弥漫性；②对教学会产生积极或消极影响；③对学生会产生有意识与无意识的辩证统一性影响；④对课程会产生学术性与非学术性辩证统一性影响；⑤实现课堂可预期与不可预期的统一；⑥这种资源广泛地存在于家庭、学校与社会中.

从这些特点来看，我们在课堂教学实施过程中，除了要运用好显性课程资源之外，还要注意优化学生的学习与生活环境，重视学生学习过程中的心理状态，充分利用好这些隐性课程资源，完善学生的思维品质与人格，为发展学生的核心素养奠定基础.

2 隐性课程资源的开发与利用

2.1 依托知识背景，形成数学眼光

数学知识的形成，都是源自现实生活中事物的抽象，每个知识背后都有庞大的生活作为形成背景，这些生活背景则构成了良好的隐性课程资源.数学源于生活，而又应用于生活的特点，决定了教育者应充分挖掘和利用好这些资源，让学生学会用发展的眼光看待自己的生活与整个世界，实现数学问题与生活问题的灵活转化.

例1如图1，一辆汽车前后两个轮胎的圆心连线，恰好是该车底盘所在的直线，已知该车前后两轮胎的半径都是60 cm，圆心距PQ为260 cm，前轮的圆心为点P，它与底盘最前端点M相距80 cm，若该车准备驶过一个高80 cm的台阶（OA）.

（1）如图2，想确保汽车前轮顺利通过台阶，可建斜坡AB，则该坡角α最大可设置多少度？

（2）在（1）的基础上，不考虑车尾，该车是否可以顺利通过？

这是很多人在生活中都会遇到的问题，学生对这个场景有着深刻体验.要让初中阶段的学生将这个具体的生活问题直接转化为数学问题并顺利解决，的确存在一定的难度.而生活问题又是隐性课程资源的重要来源之一，因此教师在这方面应多加引导，帮助学生一起将鲜活的生活实例抽象、提炼成课堂中的数学知识.如此不仅能有效地提升学生的转化思想，还能培养学生用发展的眼光看待这个美妙的大千世界.

2.2 领悟知识文化，获得数学思想

我们都有这样的体会：所学知识若一直没机会使用，时间久了就会生疏、遗忘，但学习过程中形成的数学思维、推理方法、研究模式以及看待问题的眼光等，却不会因为时间的推移而发生变化，它就像根植于我们大脑中一样，永不褪色.因此，数学教学不仅仅是知识的传授，更重要的是能力、思想方法的培养，这才是促进一个人形成终身可持续性发展的保障.

初中阶段接触到的数学思想比较多，分别有化归、函数、方程、整体、分类讨论、数形结合以及猜想论证等.其中，最基本且中学生接触最多的是数形结合思想.代数与几何是构成初中数学的两个模块，教学中将抽象的数与直观的形有机结合于一体，可帮助学生建构更为完善的认知体系.数学文化体现了知识的形成与发展过程，它是学生形成良好数学思想的催化剂.

例2如图3，抛物线y=12x2+bx－2与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，已知A（－1，0）.

（1）写出该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）猜想△ABC的形状，并证明；

（3）若点M（m，0）为x轴上的动点，当CM+MD的值最小时，求m的值.

这是一道综合性较强的题目，学生乍眼看到此题都觉得难度很大.其实，本题隐含着一个重要的解题资源，即“将军饮马”.若朝这个方向去思考，本题倒也没有想象中的那么难.

分析：（1）先将点A的坐标代入解析式，求出b值，可得抛物线的解析式；再用配方法获得顶点D的坐标.

（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ABC为一个直角三角形.即先由抛物线的解析式获得点B和点C的坐标，以此推算出AB，BC，AC的长度，可得AB2=AC2+BC2，由此可证.

（3）以x轴为对称轴，作点C的对称点C′，连接DC′并与x轴相交于点M，依照“两点之间，线段最短”，可知CM+DM的值最小.只要求出直线DC′的解析式，即可求得点M的坐标，此时m的值也就自然揭晓了.

一道看似复杂的综合题，挖掘出其中隐含的资源（将军饮马），问题则迎刃而解.这是典型的数学文化对数学解题产生的深远影响.历史上，经典的将军饮马问题不仅促进了数学史的发展，还让学习者从中获得相应的数学思想，这种数学思想为解决各种问题提供了帮助.

2.3 感受知识形成，拓展数学思维

知识的形成需经历一个过程，此过程中会涉及到例题拓展、变式训练以及错题训练等，这些都是课堂重要的生成性资源，也是典型的隐性课程资源.只要教师做个“有心人”，注重知识的挖掘，即可让这些过程性资源成为良好的教育资源，为数学思维的拓展奠定基础.

例3已知点M为正方形ABCD的BC边上任意点（不含B，C），点P为BC延长线上的点，点N为∠PCD角平分线上的点.如果∠NMA为直角，求证：MA=MN.

教师引导学生进行证明：如图4，在AB边上截取EA=MC，连结EM.根据题设条件可知∠BCD=∠B=90°，AB=CB，则∠CMN=180°-∠AMN－∠BMA=180°-∠B-∠BMA=∠MAB=∠MAE.

到此步，接下来的证明并不困难，教师鼓励学生自主完成.在学生顺利解题后，为了拓展学生的数学思维，要求学生以此题为母胎，自主编制变式问题.学生提出：

变式1如图5，将原来的四边形改为“正△ABC”，点N为∠PCA的角平分线上的一点，当∠NMA=60°时，MA=MN的结论成立吗？为什么？

该生话音刚落，就有学生提出新的问题.此时，课堂探究气氛尤为浓厚，整个课堂处于研讨的高潮阶段，新的课程资源也由此生成.

变式2如果将原题中的正方形改为“正n边形ABCDE……”，当∠NMA为多少度时，MA=MN的结论依然成立吗？

变式训练的应用随着新课改的推进，越来越受到广大师生的关注，它对课堂生成性资源的积累与创设具有重要影响，这不仅是一种知识的拓展，还体现了思维的灵活性.学生先从表层创设生成，由表及里，再从解决问题的策略上进行化归.学生在丰富的变式构建中拓宽视野、优化思维，为创新能力的形成奠定基础.

总之，隐性课程资源存在于课堂的每个角落，作为教师应意识到它的重要性，从它的特点出发，结合新课标的要求，营造良好的课堂氛围，让学生在数学知识的背景中，形成良好的思维品质与世界观，在充满文化底蕴的数学史中，获得良好的数学思想.