GeoGebra软件与人教数字教材融合：缘起、功能与展望

陈晓娣

《教育信息化2.0行动计划》提出，“要坚持信息技术与教育教学深度融合的核心理念，发挥技术优势，变革传统模式，推进新技术与教育教学的深度融合”。现行的义务教育和高中课程标准均明确提出信息技术与学科深度融合的要求。数字教材是技术与学科深度融合的产物，随着技术发展，第三代人教数字教材不断改进，将支持师生探究解决问题的专业数学软件GeoGebra作为学科工具，并嵌入基于GeoGebra制作的数字资源。GeoGebra融入数字教材促进了数学学科教学方式变革。为探索数学数字教材研发新路径，笔者梳理GeoGebra融合应用的脉络，并结合“一元三次函数的图象和性质探究”案例分析GeoGebra资源应用范式，以期在数字教材用户体验、内容规范适用、可审可控等方面不断优化。

一、缘起：遴选建设数字教材的学科工具

教育技术研究要深入学科，只有应用为特定的学科量身定做的学科教学软件才能真正展现信息技术的效果[1]。

（一）初期借助单一功能软件开发数字教材

自2013年起，第二代人教数字教材各学科陆续开发上线，数学学科内嵌的动画均是用Flash等软件制作的动画，它们能形象地模拟展示函数、图形等的动态变化，帮助师生解决一些简单的探究问题。伴随着互联网的发展和智能移动终端的普及，Flash动画不能满足跨平台多终端播放要求，且存在插件停止更新的问题，使用率越来越低，逐渐被淘汰。

此外，画板类的软件在几何教学中应用较多。例如，几何画板作为一款专业的数学软件，凭借其强大的平面几何功能在数学教学中广泛应用，也常用来研究函数及图象变化问题。后来，用户使用正版几何画板软件需要付费。该软件在代数和概率统计等领域功能欠缺或不够强大，不能脱离软件环境开启。受诸多因素影响几何画板应用前景也不容乐观。

出于上述考虑，人教数字教材开发团队期待“合适”的数学工具和可跨平台运行的动画资源，以更好地搭建信息技术与学科融合的桥梁。

（二）跨平台多功能动态软件与人教数字教材完美结合

2011年，GeoGebra软件进入中国。它是一款跨平台的动态数学软件，将几何（含3D）、代数、表格、概率统计等汇集成一个易于使用的软件包，支持多个区域同时显示并联动。为了适用移动端支持内存系统运行，GeoGebra开发者按功能拆分推出了多款App，还增加了GeoGebra AR。目前， GeoGebra支持导出png、html等格式文件，适用多种应用场景，并设置了GeoGebra的脚本和Java Scrip的高级选项，支持用户进一步开发、探索、应用。

数字教材研发团队考察研究后，大胆创新人教数字教材与学科工具的结合方式，将GeoGebra软件作为嵌入人教数字教材（数学）的学科工具，用于开发相关资源。2018年7月16日开始上线运行融合了GeoGebra的第三代人教数字教材。实践证明，新工具新资源的应用能够更好地支持合作、探究等教学活动。

二、功能：工具与资源一体、开放与封闭相结合，促进教学方式变革

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，“利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构”。融合纸质教材、数字资源、阅读工具、数据分析等功能于一身的人教数字教材，在教育信息化进程中发挥着“基础资源、基础应用、基础连接、基础服务”的作用。数字教材与GeoGebra的结合将发挥“1+1>2”的效能。

（一）数字教材与GeoGebra结合，助推信息技术与数学课程深度融合

数学教材作为数学课程呈现的载体，在信息技术与数学课程的融合方面应当发挥更重要的作用。GeoGebra软件功能强大，2019年版的人教A版、B版两套高中数学教材均以它为载体，介绍如何利用信息技术开展相应的教学活动。GeoGebra作为学科工具嵌入数字教材，用户在安装数字教材时即可选择安装，并直接在数字教材页面调用、操作，也可以将自制的*.ggb类型资源上传数字教材，在教材中打开、演示、调整、保存资源文件，避免切换界面。

GeoGebra与数学课程深度融合具有如下优势：动态呈现，协助学生观察分析及归纳；互动教学，激发学生的数学兴趣；自主探究，提升学生数学思维能力，发展学生数学学科核心素养。例如，教学函数知识时，教师可用GeoGebra快速画出函数图象，通过改变参数值，引导学生比较、分析函数图象变化规律，研究函数的性质等。又如，教师讲授立体几何时，可用GeoGebra全方位展示立体图形，为学生理解和掌握图形几何性质（包括证明）提供直观依据；教学平面解析几何时，通过GeoGebra的演示，引导学生研究动点轨迹及参数的变化对方程所表示的曲线的影响等，深度理解曲线与方程的关系。如果学生有平板电脑等终端，教师还可以组织学生直接应用数字教材上的GeoGebra软件进行自主探究。以上种种，都有力地说明在教学过程中恰当使用GeoGebra软件可以促进信息技术与数学教学深度融合。

（二）GeoGebra助力数字教材数学课程资源开发

有了现代化教学手段并不等于拥有了现代化教育，技术本身只是工具，好的教学设计才是灵魂[2]。若想把“冰冷的美丽的”数学学术形态转化为“火热的思考”的教育形态，需要教师对数学课程内容进行挖掘与开发。

数字教材开发者依据纸质教材内容，在纸质教材编者的指导下，结合教师教学实际，基于GeoGebra设计制作配套数字资源，涵盖《义务教育数学课程标准（2022年版）》四个模块、《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修五个主题等多个领域的知识点或解决问题方案，供广大师生使用。开发团队制作的这些资源，既体现了必要的教与学过程，又实现了个性化的跳转、选择。对于高学段，开发的资源功能更强：能保证函数图象绘制、图形间位置关系、数据统计分析等的精确性，逻辑关系的严谨性等，实现数学的动态变化及推理演绎过程可视化，支持交互式、多样化教与学。

（三）坚持封闭与开放相结合的原则促进教学方式变革

教材作为国家教育目标的重要承载体，既要不折不扣地体现国家意志，又要有利于教师对教材进行二次开发，给教学留出发挥、调整的空间。要处理好国家统一要求与教学灵活性之间的关系[3]。人教数字教材开发团队坚持封闭与开放相结合的原则，实现两者的辩证统一：设置了既有利于保护版权，又能支持教师个性化二次加工的GeoGebra资源。实践表明，数字教材可以较好地解决教材的稳定性和开放性的矛盾[4]。

数字教材开发者通过研究分析，预判学生学习的路径及突破重难点的方式方法，通过技术手段将用GeoGebra制作好的资源加密后内嵌在数字教材中。用户可以随意操作，但只要关闭退出，资源本身不会被修改，这就是封闭。

用户使用GeoGebra软件功能，进行个性化操作与修改，点击保存按钮即可将形成的新的动态图形、图象、数据等作为个性化的资源储存在数字教材的个人空间以备后用，这就是开放。

例如，针对人教A版高中数学必修第二册第132页拓广探索栏目第9题，即研究正方体中几条面对角线之间的关系，数字教材开发者制作了“研究正方体的线线关系.ggb”资源（如图1），支持用户自行操作体验将展开图还原成正方体的过程，探究线线关系。此外，对于该资源开发者还设置了线段端点在所在面的边上自由移动的功能，便于用户研究更多个性化的面上的线线关系。如果教师想让学生进一步研究更多的线线关系、线面关系，可以点击右键，调用出GeoGebra的属性界面（如图2），将一些点的属性修改成其他面的点[如将E点的定义从“描点（q4）”改成“描点（q3）”，再移动点E到图上的A点处，F点也变换位置]，如果点击“关闭”按钮，数字教材上的资源不会被改变，而点击“保存”按钮，就会形成个性化资源存储在个人收藏夹，研究的问题变成探究更多新的线线（体对角线和面对角线）关系。

从传统课堂到“应用课件”再到“无课件课堂”，工具应用不断步入新境界，这也是技术与教学深度融合的发展方向。有了这样的封闭和开放功能，教师完全可以实现教育技术应用层面的预设与生成相融合，而基于此创新教学模式具有重大的理论价值和实践意义。

（四）案例简析

三次函数f （x）=ax3+ bx2+cx+d是典型的多项式函数，其图象及性质的研究内容丰富，常作为与导函数有关的教材例题、习题、考题。由于三次函数含有的参数多，且图象随参数变化复杂，致使师生不能像一般初等函数那样通过描点画图作简图来探究相关性质。教师使用融合了GeoGebra的数字教材，能够很好地解决图象绘制和研究性质等问题。基于此，人教A版高中数学选择性必修第二册第五章中的习题5.3第13题和信息技术应用栏目均提到用信息技术研究三次函数的图象和性质（参数a、b、c、d对图象的影响等）。

通常，师生是按如下做法探究三次函数图象和性质：在GeoGebra中直接输入f （x）=ax3+bx2+cx+d后，界面自动出现参数a、b、c、d四个滑条，通过改变滑条改变函数的图象形状和位置，使用GeoGebra的切线、极值点等功能研究相关的性质。以上操作存在的缺点是坐标系的单位长度不能随着参数改变而变化，会出现图象在当前界面显示不完整的情况，不利于很多性质的直观呈现。

数字教材开发者利用GeoGebra的功能，设计制作了包含“图象与对称性”“单调性与最值”“切线问题”三个自由跳转模块的“三次函数的图象与性质”动画资源（如图3）。用户拖动滑条改变参数，坐标系的单位长度会随之变化，图象始终能在当前界面以对称中心对称的形式呈现，并通过动画效果演示对称翻折变换。该动画支持函数、导函数、表格数据联动，用以展示单调区间、最（极）值点、零点等之间的关系。在切线问题模块中，该动画还拓展了点在曲线外的情况，并且给出相关的结论及证明。这样的设计不仅为师生研究三次函数的图象及性质提供了探究环境，而且明确了思路和方法，并扩大了研究问题的边界。

三、展望：出版规范与用户体验的平衡兼顾

数字教材不同于一般的数字出版物和数字资源库，它具有教育、出版、技术三重属性。GeoGebra作为一款专业的数学软件，从技术上解决了数学教学相关问题，且科学应用必然促进数字教材对教育的赋能，但它的一些功能设置会对数字教材的出版管理有一些影响。

（一）离线与在线问题

一般用户如脱离GeoGebra软件环境打开GeoGebra资源，必须以html格式上传到官网或其镜像网站，这显然不能脱离网络环境。数字教材的开发要考虑网络不发达地区的实际情况，要支持离线使用，这对GeoGebra资源的输出方式提出了新的挑战。

目前，人教数字教材嵌入GeoGebra输出H5动画，有离线版和在线版两种方式。离线版：需要在数字教材中捆绑离线阅读器插件，会增加用户安装空间，并需后台定期升级。在线版：需要访问官网或镜像网站上的js文件（即在线版阅读器插件），对网络环境有所要求。如此，开发者将离线和在线的选择问题转变为占用空间和强制网络环境间的取舍问题。随着5G技术的发展，高速的网络必然成为不可或缺的教育教学环境支撑，GeoGebra输出成H5动画并顺畅在线浏览将越来越近。

（二）专业、开放的软件环境与教材出版规范及可审可控问题

GeoGebra作为专业的数学软件支持用户开展解决问题等探究活动，但它在文字呈现、排版等方面功能稍弱，如涉及复杂的文字属性及排版设置，需要借助LaTeX语言命令控制。例如，用户要设置表示点的字母B为斜体，需要用“$B$”或“$%n$”表示（第二种设置方式可以将名称和标题保持同步修改）。用户要将“服从标准正态分布”中的“标准正态分布”字体颜色设为蓝色，则需要用“服从＼textcolor{blue}{标准正态分布}”表示。另外，GeoGebra仅有“衬线”和“不衬线”两种字体，目前不支持其他字体的导入，因而无法满足用不同字体区分不同内容的需求。用户无法直接自如地输入和排版，使用软件仍存在一些困难。数字教材开发者需要在专业数学软件和教材出版格式规范之间进行适当取舍。

2022年4月，《数字教材 中小学数字教材出版基本流程》《数字教材 中小学数字教材元数据》《数字教材 中小学数字教材质量要求和检测方法》三项国家标准一起发布，并于2022年11月起正式实施。对于借助GeoGebra软件开发的资源，其图形或数据随用户操控的实时变化，以及靠算法程序控制的编码不可外显等问题，相关内容依据这三项标准是无法进行人工或机器审核的，那么数学学科的开放探究、动态变换类资源是否开发，是否可审可控，也需要开发者评估把握。

选择专业的数学软件、开放的探究环境教学有利于数学实验活动的开展，但是用纸质教材的规范和标准来审核数字教材中的动态变化的资源（包含文字内容呈现效果、动态变化的数据或图形位置关系等）是否合理，如何取舍、调整，是未来要研究的重要课题。

人教数字教材（数学）与GeoGebra的应用目前属于起步和爬坡阶段，二者从相遇到相知，从磨合到协同发展，已经取得一定的成效，要实现完美结合和普遍应用还需要不断探索。笔者期待在加强资源设计及解读、教与学方式的研究等相关的应用培训和实践后，逐步建立数字教材+GeoGebra生态圈，挖掘和壮大两者的用户群体，使其成为推动实现数学教育现代化的主力军。此外，从数学工具角度看，GeoGebra只是其中有代表性的一种，期望其他同类数学工具快速成长，为数学教学及数字出版提供新的或更多的选择。

参考文献

[1] 张景中，葛强，彭翕成．教育技术研究要深入学科[J]．电化教育研究，2010（2）：8-13.

[2] 张志勇.GeoGebra环境下基于 APOS理论的数学教学研究[C]// 全国数学教育研究会2012年国际学术年会论文集，2012： 1225-1246.

[3][4]申继亮.新时代教材建设面临的挑战、问题和趋势［J］．课程·教材·教法，2019（9）：7-9.

（作者系人教数字出版有限公司高级编辑）

责任编辑：祝元志