破解圆锥曲线中取值范围问题的三个“妙招”

徐应建

圆锥曲线问题的考查方式很多，如求圆锥曲线的 方程，求圆锥曲线上的点到直线的最小距离，求某个 动点的轨迹方程，求某个目标式的取值范围等.其中， 圆锥曲线中的取值范围问题较为复杂，且具有较强的 综合性，在解答时，通常需利用圆锥曲线的方程、几何 性质，并结合平面几何图形的性质、直线与圆锥曲线 的位置关系、方程的判别式、函数的单调性、基本不等 式等.下面，结合实例来谈一谈求解圆锥曲线中取值范 围问题的三种个“妙招”.

一、巧用判别式求解

圆锥曲线均为二次曲线，其方程也均为二次方程. 在求解圆锥曲线中的取值范围问题时，可通过联立方 程组、消元、换元、设元等方式，构造一元二次方程；再 根据直线与圆锥曲线的交点的个数，明确方程的解的 个数，建立有关判别式的不等式；最后解关于参数的 不等式，即可求得问题的答案.

例1

解：

要求参数m的取值范围，需先求出点A、B的坐标 以及直线 l 的方程；然后将直线与椭圆的方程联立，通 过消元，构造一元二次方程；再根据直线与椭圆有两 个交点，建立有关判别式的不等关系式 Δ > 0 ，即可得 到有关参数 m 的不等式.

二、根据函数的性质求解

有些圆锥曲线中的取值范围问题较为复杂，在求 得目标式后，仍无法求得其取值范围，此时，可将目标 式看作关于某个变量的函数式，对其进行适当的变 形，将其转化为一次函数、二次函数、对勾函数，以利 用一次函数、二次函数、对勾函数的单调性来求得函 数的最值，进而求得目标式的取值范围.

例2

解：

根据韦达定理和三角形的面积公式求得△ BOM 面积的表达式，可发现该式可变形为对勾函数的形 式，于是利用对勾函数的单调性求得函数的最值，进 而求得△ BOM 面积的取值范围.

例3

解：

根据已知条件，求得关于t的关系式后，构造出关 于 x0 的函数，便可将取值范围问题转变为一次函数的 最值问题，根据一次函数的单调性解题.

三、利用基本不等式求解

若 a、b > 0 ，则 a + b ≥ 2 ab ，该式称为基本不等 式.运用基本不等式求解圆锥曲线中的取值范围问题， 通常需在求得目标式后，根据其结构特點，将其进行 适当的变形，如凑系数、添项、去项等，以配凑出两式 的和或积，并使其中之一为定值，这样便可运用基本不 等式求得目标式的最值或取值范围.值的注意的是，在 求得最值后，还需验证等号成立的情况是否满足题意.

例4

解：

解答本题，需先通过向量运算，根据三角形的面 积公式求得 △ABO 与 △AFO 面积的表达式；再通过 化简变形，将该式化为两式之和，其积为定值的形式， 便可运用基本不等式，顺利求得 △ABO 与 △AFO 面 积之和的取值范围.

通过上述分析可以发现，求解圆锥曲线中的取值 范围问题，需根据已知条件和所求的目标式或关系式 的特点来构造一元二次方程、函数、不等式，将问题转 化为一元二次方程、函数、不等式问题，以利用判别 式、函数的单调性、基本不等式来求目标式的取值范 围.

（作者单位：安徽省桐城市江淮工业学校）