巧构函数，妙证不等式

刘传美

不等式证明问题的考查方式灵活多变，难易程度 不一.对于较为复杂的不等式，如含有指数式、对数式、 高次幂、多个变量等的不等式，通常需运用构造函数 法进行求证.如何巧妙地构造出合适的函数模型呢？ 这是解题的关键.下面结合实例来探讨一下运用构造 函数法证明不等式的三个技巧.

一、移项作差

若要证明的不等式左右两边含有多项式，则需先 将不等式左右两边的式子移项作差，把不等式转化为 h（x） < 0 或 h（x） > 0 的形式；再将 h（x） 或其中含有變量 的一部分视为新函数，并根据函数单调性的定义，或 导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性； 最后求得函数的最值，证明 h（x） max < 0 或 h（x） min > 0 ，即 可证明不等式成立.

例1

证明：

所要求证的不等式左右两边均含有多项式，于是 将 不 等 式 两 边 的 式 子 移 项 作 差 ，构 造 出 新 函 数 g（x） = f （x） - x ，将问题转化为证明 -6 ≤ g（x） ≤ 0 ；再 根据导数 g'（x） 的正负值与函数的单调性之间的关系 判断出函数的单调性，求得函数的最值 g（x） ，即可证 明结论.

例2

证明：

所要求证的不等式左右两边的式子较为复杂，可 直接将其移项作差，构造新函数 h（x） = g（x） - f （x） ，将 问题转化为证明函数 h（x） > 0 ，再借助导数法求得函 数 h（x） 的最值，即可解题.

二、参数分离

有些不等式中的参数、变量容易分离，此时可采 用分离参数法，先将不等式中的参数、变量分离开，使 得不等号的一边含有参数，一边不含有参数；然后将 不含有参数的式子构造成函数，将问题转化为证明为 h（x） < a 或 h（x） > a ；最后根据函数的单调性，或运用 导数法求得函数在定义域内的最值，使得 h（x） max < a 或 h（x） min > a ，即可证明不等式成立.

例3

证明：

所要求证的不等式中含有参数，且参数容易分离出 来，于是采用分离参数法，将不等式变形，并将问题转化为 证明 a > x 2 - 2e x - 1；然后构造新函数 g（x） = 2e x - 1 x 2 （x > 0） ， 讨论其导函数的性质，求得其最值，即可证明不等式.

三、换元

有些不等式较为复杂，如含有根式、绝对值、双变 量、对数式、指数式，此时我们需引入新元，将不等式 中的某一部分用新元替换，将不等式转化为关于新元 的式子，再构造关于新元的函数式，讨论该函数的单 调性，即可根据函数的单调性来求得最值，从而证明 不等式成立.运用换元法证明不等式，主要是运用了代 数式之间的等价关系进行恒等变换，从而简化不等式.

例4

证明：

所要证明的不等式中含有双变量 x1 、x2 ，很难直 接证明不等式，于是根据②式的特点，引入新元t，令 t = x1 x2 ，并构造函数 h（t） ，便将问题转化证明 h（t） max < 0 . 运用换元证明不等式，需关注新旧元定义域的等价性.

可见，运用构造函数法证明不等式的关键是将不 等式进行适当的变形，以便构造出合适的函数模型.这 就需要根据不等式的结构特点和解题需求，进行移项 作差、分离参数、合理换元.

（作者单位：山东省聊城市茌平区杜郎口高级中学）