有关直线方程的几类对称问题及其解法

王猛

直线方程中的对称问题主要有四种类型，（1）两条直线上的点关于点对称问题；（2）两条直线关于点对称问题；（3）两个点关于直线对称问题；（4）两条直线关于某条直线对称问题.通过对此类问题的研究，不仅可以深化学生对直线与直线、点与点、直线与点的位置关系的认识，还可以帮助他们沟通知识点间的联系，构建完整的知识体系.下面，主要对直线方程中的几类对称问题及其解法进行探讨.

一、两条直线上的点关于点对称问题

解答两条直线上的点关于点对称问题，关键要根据两点的坐标与其中点坐标之间的关系，利用中点坐标公式，建立方程组.若一条直线上的点为A1（x1，y1），另一条直线上的点为A2（x2，y2），A1A2中点的坐标为O（a，b），两点A1、A2关于点O对称，则

例1

解：

解答本题，需抓住关键信息“C、D分别在直线 l1 、 l2 上，且点C、D关于点A对称”，那么C、D分别满足直 线 l1 、l2 的方程，建立方程组求得点C的坐标，便可根 据直线的两点式方程求得直线 l 的方程.

二、两条直线关于点对称问题

若两条直线关于点对称，则两条直线平行.解答两 条直线关于点对称问题有两种思路：（1）对称点到这两条直线的距离相等，可根据两平行线之间的距离公式进行求解；（2）可在一条直线上选取一个点，并在另一条直线上找到关于点对称的点，将问题转化为两条直线上的点关于点对称问题来求解.

例2.已知直线l1：3x +4y -12=0，求这条直线关于点 P（1，3）对称的直线l2的方程.

解法1：

解法2：

本题还可以采用特殊点法来求解，在两条直线上 取两点 （4，0）、（0，3），分别求出它们关于 P（1，3） 对称的点， 再利用直线的两点式方程来求出直线 l2 的方程.可 见，解答两条直线关于点对称问题，主要的思路是把 线线之间的关系转化为点点之间的关系或点线之间 的关系来进行研究、分析.

三、两个点关于直线对称问题

两个点关于直线对称问题属于轴对称问题.解题时，需把握两点：一是两点的中点在对称轴上；二是这两点所在的直线与对称轴互相垂直.需根据中点坐标公式和直线的斜率公式，建立方程组，从而求得问题的答案.

例3.已知经过点 M（-3，4）的入射光线，被直线 l：x -y +3=0反射后经过点 N（2，6），求反射光线所在直线的方程.

解：

一般地，若点 P（x1，y1） 关于直线 l：Ax + By + C = 0 对 称的点为 P′（x2，y2） ，可连接 PP′交 l 于 M 点，则 l 垂直 平分 PP′ ，所以 PP′⊥ l ，且 M 为 PP′ 的中点，又因为 M 在直线 l 上，可得 ì í ? ? ? kl ?kPP′ = -1， A x1 + x2 2 + B y1 + y2 2 + C = 0. 此外， 也可以将两个点关于直线对称问题转化为点关于点 对称的问题，先利用直线的点斜式方程写出直线 PP′ 的方程，再求出直线 PP′ 与对称轴交点的坐标，最后 利用中点坐标公式建立方程即可.

四、两条直线关于某条直线对称问题

一般地，两条直线关于某条直线的对称问题，可转化为点关于直线对称问题.若直线 l1：ax + by + c =0与直线 l3关于直线 l2：dx + ey +f=0对称（两条直线 l1与l3不平行），则需首先将 l1与l2 的方程联立求出交点 P（x0 ，y0）；然后在 l1上任取一点（非交点） Q（x1，y1），根据点关于直线对称求出对称点Q′（x2 ，y2）；最后根据直线的两点式方程求出直线的方程.

例4.

解：

解答两条直线关于某条直线对称问题，基本思路是在已知直线上任取两个不同的点，求出这两点关于直线的对称点，再根据直线的两点式方程求出直线的方程.

例5

解：

画出相应的图形，便可快速明确直线之间的位置 关系，进而确定三条直线的交点、对称点，再根据直线 的斜率公式和两点式方程即可求得直线l的方程.

例6

解：

仔细观察，可发现直线 x + 2y - 1 = 0 和直线 x + 2y +1 = 0 的斜率相同，即两条直线平行，那么所求直线与 另两条直线也平行，其斜率相等，再根据点到直线的 距离公式进行求解即可.

在学习中，学生要学会不断总结规律，积累解题 经验，同时要记忆并运用一些二级结论，例如，（1）点 （x，y） 关于直线 x = a 对称的点为 （2a - x，y） ，关于直线 y = b 对称的点为 （x，2b - y） ；（2）点 （x，y） 关于点 （a，b） 对 称的点为 （2a - x，2b - y） ；（3）点 （x，y） 关于直线 x + y = k 对称的点为 （k - y，k - x） ，关于直线 x - y = k 对称的点 为 （k + y，x - k） ；（4）曲线 F（x，y）= 0 关于点 （a，b） 对称的 曲线方程是 F（2a - x，2b - y）= 0 ；（5）曲线 F（x，y）= 0 关 于直线 Ax + By + C = 0 对称的曲线方程是 F（x -（Ax + By +c）= 0，y -（Ax + By + C）= 0） 等.

（作者单位：江苏省南京市第十三中学）