以应用为导向的离散数学教学改革与实践

曾 亮

(广东理工学院 基础课教学研究部，广东 肇庆 526100)

离散数学是一门研究离散量的结构及其关系的学科，也是计算机科学与技术、网络工程、软件工程等计算机相关专业的重要专业基础课程。该课程的目标是培养学生的逻辑思维能力、创新能力和应用知识解决实际问题的能力，为数据结构、数据库原理、编译原理、操作系统、系统结构、人工智能等后续核心课程提供了程序设计所需要的数学理论基础。因此，离散数学教学在计算机相关专业的人才培养中具有重要作用[1]。广东理工学院是一所应用型本科高校，自2015年新增计算机科学与技术专业以来，根据专业人才培养的需要开设了离散数学课程。近几年，新增了软件工程和网络工程两个专业，三个计算机相关专业都在第四学期开设离散数学课程。现阶段，本校离散数学课程在教学内容、教学模式、教学方法和考核评价等方面还处于探索阶段，当前教学中存在的一些问题亟待解决。另外，学校在以实践应用为特点和出发点的应用型人才培养模式中，要求教育不仅要考虑到学科的发展，还要兼顾社会的需要。因此，以培养学生应用意识和实践能力为目标的离散数学教学改革刻不容缓。通过借鉴国内外应用型本科院校的先进经验，从教学内容、教学模式、教学手段和评价体系等方面提出离散数学教学改革的具体措施。

1 离散数学课程教学中存在的问题

1.1 教学课时量偏少

离散数学的基本内容包括数理逻辑、集合论、图论、代数系统等四大部分，涵盖了计算机领域可能涉及的大部分数学知识。例如，数理逻辑部分与人工智能课程密不可分，集合论部分与数据库原理课程密切相关，图论部分与数据结构课程密切相关[2]。教学时数从原有的64学时压缩至48学时，与其他一般本科学校相比，课时总量偏少。由于该课程包含了较多的数学分支内容，概念和公式较多，导致一些重要的教学内容被放弃，授课过程中很难挤出时间将理论与实践很好地结合，教学效果不理想。

1.2 教学方法和手段单一

部分教师在授课过程中片面追求数学的理论性和逻辑性，没有体现其在计算机学科中的应用，导致学生在学习过程中感觉抽象难懂和枯燥乏味，甚至出现厌学的情况。部分教师教学手段单一，仍采取纯板书的形式授课，不能充分利用多媒体技术、线上MOOC或SPOC、网络平台等资源。与其他应用性很强的专业课相比，这种教学方法和手段显得过于枯燥，容易挫伤学生的学习兴趣和积极性。

1.3 学生的数学基础和数学素养普遍不高

本校为民办本科类院校，创办时间不长，在社会上的影响力有限，所招收的学生大部分在本科分数线附近。这部分学生的数学基础普遍不够扎实，自学能力偏差。由于离散数学中的很多内容与其他数学理论课类似，需要学生具备较好的逻辑思维能力，尤其是数理逻辑和代数系统部分，因此有很大部分学生在学习过程中容易产生厌学情绪。对计算机相关专业二年级学生的数学基础和数学素养情况开展问卷调查，共有510名学生参与了调查。调查发现，认为自己的数学基础一般的占49.8%，认为比较薄弱的占31.6%；在观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力、自学能力、表达能力等智力因素方面，认为自己学习容易分神的占60.2%，认为学过的知识记不住的占50.6%，认为自学效率很低的占49.4%；在学习需要、动机、兴趣、毅力、情绪等非智力因素方面，认为自己学习情绪不稳定、兴趣时有时无的占62.6%，毅力差、不能坚持学习的占40.4%，会主动学习的仅占29.8%。

2 离散数学教学改革与实践

2.1 合理设置教学内容

离散数学涉及的内容较多，主要包括数理逻辑、集合论、二元关系、图论和代数系统，本校的教学时数仅为48学时，教学时数偏少，所以在课堂教学中很多内容要有所取舍，既要考虑专业对课程内容的后续需求，也要考虑内容之间的合理衔接。根据本校实际情况做出了教学内容及相应学时安排，如表1所示。

2.2 改变教学模式，提升实践应用能力

传统的教学模式是“概念→定理→证明→例题”，这种纯数学的教学方法忽视了其应用背景和实用性。许多学生认为学习这门课枯燥难懂且毫无用处，也体会不到对计算机编程的作用。为此，我们改变传统教学模式，实施逆向案例教学模式，即“提出问题→分析问题→引入概念→抽象建模→设计分析→程序设计”模式[3]，其中问题来源于专业案例或者实际问题。通过精心选择和设置一些有趣、实用的问题，不仅可以激发学生的学习热情，而且可以引导他们解决更困难、更深层次的问题，使其在解决这些问题的过程中找到快乐和成就感，从而培养学生的探究性学习习惯，提升知识迁移的能力[4]。任课教师需要熟悉所要讲授的内容并掌握学生的学习情况，精挑细选出适合的应用问题。例如，在讲解数理逻辑中的逻辑演算法前，可以提出以下问题：

表1 各单元教学内容与学时分配Tab.1 Teaching content and class time allocation of each unit

在某次学术会议的茶歇阶段，三名参会人员根据张教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：甲说张教授不是南京人，是上海人；乙说张教授不是上海人，是南京人；丙说张教授既不是上海人，也不是杭州人。听完以上三人的判断后，张教授笑着说，他们三人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。

在讲解集合论中的容斥原理前，可提出以下问题：10个小朋友爱吃香蕉或苹果，其中有8个爱吃香蕉，5个爱吃苹果，问几个小朋友既爱吃香蕉又爱吃苹果？

在讲解图论中图的连通性前，可提出经典的渡河问题[5]：一个船夫要把一只狼、一只羊和一捆菜运过河对岸去。由于船很小，每次船夫至多只能带一样东西。另外，如果人不在旁边时狼就要吃羊，羊就要吃菜，问这个船夫怎样才能将它们运过河去。

讲解完相应知识点后，提供解决问题的算法或程序，将学习离散数学与提升学生程序设计能力相结合，不仅可以增强学生的学习兴趣和编写程序的能力，而且可以使学生认识到离散数学对后续专业课程的重要性[6]。为此，设计了部分程序题供学生课后学习。每道程序题分难度等级，并设置相应的分数作为平时成绩的一部分，部分程序题如下：(1)编写一段程序，测试P和Q的两个逻辑表达式是否逻辑等价；(2)已知集合A和B，编写程序求A与B的笛卡尔积；(3)编写一段程序，判定关系是否是自反的、反自反的、对称的、反对称的、传递的；(4)若R是A上的关系，编写程序求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包；(5)给定n个权，通过编写程序方式构造一棵最优二叉树。

2.3 多种教学手段相结合

现阶段，部分教师依然采用“粉笔+板书”的传统教学手段。黑板板书能够充分展示出数学思维的推导过程，也能让学生有充分思考的时间，跟上教师节奏，但学习效率较低，在有限的时间内很难展示较多的内容。缺少图形或动态展示会使课堂不够生动，课堂氛围较为枯燥，不利于提高学生的学习积极性。多媒体技术能够弥补纯板书的缺陷，“板书+多媒体”成为当前课堂教学的主流教学手段，利用多媒体展示定义、定理、图形和程序运行，板书演示证明推导的过程。例如，在图论的教学中，通过动画演示路径、回路、简单路径、基本路径和圈之间的联系与区别，通过程序演示最短路径算法等。利用智慧教学软件“雨课堂”同步发送课件、实时考勤和实时发布习题，方便了学生查看历史PPT内容，减少考勤时间，提高课堂效率，实现师生的线上实时互动，使课堂氛围更加活跃[7]。

在现代信息技术引领下的高等教育课堂中，线上线下混合教学模式受到许多教师的青睐。这种教学模式具有几大特点：一是信息空间与真实物理空间的有效融合，二是体现出浅层学习与深度学习的融合，三是学习时间和地点被有效拓展。利用MOOC、SPOC网络平台等优质教学资源，设置课前自主完成的部分学习任务，课堂教学根据线上学习反馈情况，进一步巩固所学内容，对知识做进一步的应用性拓展，提升数学素养。录制重要知识点或习题的讲解视频，发布至网络平台上供学生课后学习巩固。例如，不定期录制讲解视频，发布在学生群体关注度较高的“哔哩哔哩”网站上，受到学生的一致好评。

2.4 改革评价体系，增加实践能力考核

本校离散数学课程的原评价体系是按照平时成绩(考勤和课后习题作业)占40%和期末闭卷考试成绩占60%计算综合成绩的。课后习题作业和考试内容围绕所学基础知识进行设置和考核。这种方式只能检测学生对基础知识的掌握程度，不能反映学生的实践应用能力。为增强学生的实践能力，采用以下几个方面的考核：考勤(利用雨课堂平台签到)占10%、课后习题作业占10%、实践大作业(程序设计题)占10%、课堂表现(设置抢答环节)占10%、期末考试(增加应用题)占60%。这种考核方式不仅可以增强学生在课堂学习中的参与性，还能增强程序设计能力，改善学生“平时不重视学习，考前突击应付”的陋习。

3 结语

在当前就业形势下，如何培养具有一定理论基础和熟练掌握计算机操作技能的应用型人才，是应用型本科高校制订人才培养方案时需要深入思考的问题。离散数学作为一门计算机相关专业的核心基础课程，由于其课时的有限性和理论的抽象性给课程教学带来了很大挑战，需进一步改革和创新教学体系。通过合理设置课程内容、创新教学模式、有效融合多种教学手段和改革评价体系，使学生在有限的课时内不仅能够掌握离散数学的基础知识，还能提高程序设计能力和应用实践能力。随着计算机科学技术的不断发展，离散数学课程也需要不断改革与探索，进一步提高教学水平和人才培养质量。