基于BP 神经网络的I 型金属夹芯板极限强度预测

卫钰汶，仲强，王德禹

上海交通大学 海洋工程国家重点实验室，上海 200240

0 引 言

在现代化船舶设计中，为使船舶能够装载更多的货物，增加其经济性，并使得船体结构能在保证应有性能的同时降低自身重量，对船舶轻量化提出了更高的要求。I 型金属夹芯板与传统的加筋板结构相比，在疲劳、耐撞击、抗爆炸冲击、减振降噪等方面具有优良的性能[1]，在海洋工程领域得到越来越多的关注。美国海军军舰的天线平台[2]、德国渡船和游船的甲板[3]等处都应用了金属夹芯结构。

有学者针对金属夹芯板的强度问题已展开研究。李政杰等[4]采用非线性有限元法对单轴压缩下I 型金属夹芯板、U 型金属夹芯板和加筋板的极限承载能力进行了对比分析，为金属夹层板面内承载性能研究提供了参考。洪婷婷等[5]采用非线性有限元法对金属夹层板在组合载荷作用下的极限承载能力进行了数值模拟，证明与传统加筋板相比，所设计的金属夹层板具有更好的极限承载能力。王果等[6]从建模方式、单元类型、网格尺寸、加载速率、初始缺陷等方面对夹层板面内连接结构进行了研究。Kozak[7]给出了钢夹芯板在面内载荷作用下的试验实例和数值模拟结果，并对其进行了比较，结果显示金属夹层板的截面几何性质对其在面内载荷下的响应影响较大。朱扬等[8]提出了夹层甲板板格结构强度计算的子模型方法并进行了验证，结果显示所提方法可以较为准确地评估结构强度特性。

近年来，人工神经网络由于其高度并行、容错性等优点， 被广泛应用于结构可靠性、强度预测等研究领域。Mesbahi 等[9]采用人工神经网络方法对单轴压缩下的加筋板极限强度公式进行预测，并与已有的经验公式进行比较，发现采用神经网络预测方法得到的结果比采用经验公式所得结果更加准确。王仁华等[10]运用神经网络方法对随机点蚀损伤钢板的极限强度进行了分析，结果显示预测结果与有限元分析结果的最大相对误差小于10%。Ahmadi 等[11]采用人工神经网络对带有中心纵向裂纹的腐蚀钢板进行极限强度预测，得到了其在不同几何和物理条件下的极限强度预测方程。Tohidi 等[12]利用人工神经网络建立了一种新的有效的模型来预测半贯通工字形截面桥梁的屈曲强度，研究证明与规范相比其估计效果更好。

综上所述，尽管针对I 型金属夹芯板的极限强度研究已有部分进展，但对其极限强度的评估尚不完善，并且对于不同几何条件下I 型金属夹芯板的极限强度还缺乏预测公式。因此，本文将主要研究不同几何条件下I 型金属夹芯板的极限强度，利用非线性有限元软件ABAQUS 对I 型金属夹芯板受面内轴向压缩载荷时的极限强度进行计算分析，同时利用BP 人工神经网络方法建立极限强度预测方程，以为I 型金属夹芯板在船体结构中的应用提供参考。

1 非线性有限元分析

1.1 几何尺寸和材料参数

本文所研究I 型金属夹芯板的结构示意图如图1 所示，其由上、下面板和I 型腹板组成。I 型金属夹芯板的主要参数包括：上下面板厚度tp，腹板厚度tw，腹板高度hw，腹板间距dw、I 型金属夹芯板宽度c、横梁间距a、屈曲半波数e及屈服强度σY，如表1 所示，尺寸的选取范围参考文献[13-16]。所有有限元模型材料的杨氏模量E=206 GPa，泊松比µ=0.3，不考虑材料硬化的影响。在后文的分析中，选取了3 种不同屈服强度的材料，分别为235，315 和390 MPa。

图1 I 型金属夹芯板结构示意图Fig. 1 Schematic diagram of I-core sandwich panels

表1 I 型金属夹芯板几何尺寸和材料参数Table 1 Geometrical size and material parameters of I-core sandwich panels

1.2 边界条件

研究了3 种模型范围下I 型金属夹芯板结构的极限强度，如图2～图4 所示：纵向三跨（有实际强构件）、纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强横梁）、纵向单跨（边界条件代替强构件）。

纵向三跨（有实际强构件）模型的强横梁选择实际船舶的强横梁尺寸，如图2 所示，即腹板高380 mm，腹板厚12 mm，面板宽160 mm，面板厚14 mm。边界条件如表2 所示，其中Ux，Uy，Uz为线位移，Rx,Ry,Rz为转角位移。模型的纵向边界分别为A1-A2，A1'-A2'，B1-B2，B1'-B2'；C1-D1，C2-D2，G1-H1，G2-H2 为强横梁面板的横向边界；E1-F1，E2-F2，J1-K1，J2-K2 为强横梁腹板的横向边界。

图2 纵向三跨（有实际强构件）模型示意图Fig. 2 Schematic diagram of longitudinal 3 spans model with actual strong members

表2 纵向三跨（有实际强构件）模型的边界条件Table 2 Boundary condition of longitudinal 3 spans model with actual strong members

纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强横梁）模型示意图如图3 所示，其边界条件如表3 所示。该模型借鉴了文献[17]的边界条件分析方法，加载边采用的是对称边界条件，并采用约束垂向位移和y方向的转角来代替实际强构件。图中，K1-K2，L1-L2 表示强横梁所在位置。

表3 纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强横梁）模型的边界条件Table 3 Boundary condition of longitudinal 1/2+1+1/2 spans(boundary conditions instead of strong beams) model

图3 纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强横梁）模型示意图Fig. 3 Schematic diagram of longitudinal 1/2+1+1/2 spans (boundary conditions instead of strong beams) model

纵向单跨（边界条件代替强构件）模型示意图如图4 所示，其边界条件如表4 所示。

图4 纵向单跨（边界条件代替强构件）模型示意图Fig. 4 Schematic diagram of longitudinal 1 span (boundary conditions instead of strong members) model

表4 纵向单跨（边界条件代替强构件）模型的边界条件Table 4 Boundary condition of longitudinal 1 span (boundary conditions instead of strong members) model

在3 种模型范围下，采用有限元分析得到的载荷-端缩曲线如图5 所示。认为载荷-端缩曲线最高点所对应的载荷值为极限载荷，极限载荷除以I 型金属夹芯板截面面积所得到的平均应力定义为极限强度 σu。 图中， δ/L为端缩长度 δ与I 型金属夹芯板长度L之 比， σu/σY为极限强度 σu与屈服强度 σY之比，其中L在图2、图3、图4 中分别为l1，l2和l3。从图5 中可以看出，纵向三跨（有实际强构件）与纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强横梁）这2 种模型范围的 σu/σY几乎一致，综合考虑计算精度与计算成本，选择纵向1/2+1+1/2 跨（边界条件代替强构件）模型范围为本文计算模型。

图5 不同模型范围下I 型金属夹芯板轴压下载荷-端缩曲线对比Fig. 5 Comparison of load-deformation curves for I-core sandwich panels under axial compression with different range of models

1.3 初始几何缺陷

任何结构不可避免地都会存在一定的初始缺陷，而结构的初始缺陷对其破坏模式和极限承载能力有着很大的影响。I 型金属夹芯板的初始变形形状以下面3 种形式给出：包括上下面板单元的初始变形、芯层腹板单元的初始变形以及结构整体的初始变形。本文采用MSC Patran 软件对加筋板模型添加初始缺陷，上面板施加如式（1）所示的初始变形，下面板施加如式（2）所示的初始变形，芯层腹板施加如式（3）所示的初始变形，结构整体施加如式（4）所示的初始变形。

1.4 收敛性分析

网格大小分别选取芯层腹板高度的1/8，1/4，1/2 和1 倍进行分析。不同网格密度下的I 型金属夹芯板数值计算结果如表5 所示。

表5 不同网格密度下的I 型金属夹芯板数值计算结果Table 5 Numerical results of I-core sandwich panels with different mesh densities

由表中计算结果可以看出，与更精密的网格密度相比，网格大小为1/4hw时已经可以给出一个合理的结果，因此，后文的有限元分析将采用1/4hw网格密度。

1.5 仿真技术与结果验证

本文使用商业软件ABAQUS 进行非线性有限元分析，采用S4R 四节点壳单元类型建模,采用弧长法(Riks method)进行计算分析。弧长法是目前结构非线性分析中数值计算最稳定、计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一，能够有效分析结构非线性前、后屈曲及跟踪屈曲路径。

在进行大量的极限强度有限元分析之前，为了验证本文所采用非线性有限元技术及计算结果的准确性，根据已有的I 型金属夹芯板结构试验结果[7]进行了仿真计算。仿真模型的尺寸为：I 型金属夹芯板长3 000 mm，宽500 mm，上下面板厚度3 mm，芯层腹板高60 mm，芯层腹板间距80 mm。材料为理想弹塑性材料，屈服强度为235 MPa，施加1.3 节所述的初始几何缺陷。受到平行于芯层腹板方向的面内载荷。I 型金属夹芯板的载荷-端缩曲线如图6 所示，其强度峰值误差约3.67%，端缩误差约0.007 5%，有限元模拟结果与文献[7]结果的曲线吻合良好，失效模式也与试验结果类似（图7）。因此，本文采用的有限元分析方法对于后续的模拟计算是适用且合理的。

图6 I 型金属夹芯板轴压下载荷-端缩曲线对比Fig. 6 Comparison of load-deformation curves for I-core sandwich panel under axial compression

图7 模型试验与有限元仿真失效模式对比Fig. 7 Comparison of the failure mode by the FE analysis and model test

2 BP 神经网络结构

人工神经网络具有较强的预测复杂系统输出的能力，BP 神经网络又称反向传播神经网络，是一种应用较为广泛的神经网络模型，具有高度非线性和较强的泛化能力。BP 神经网络包括3 个层：输入层、隐藏层和输出层，每层都含有数个神经元。BP 神经网络通过多层神经元的方式对输入数据进行处理，当给定一个学习模式的网络后，神经元的激活值将从输入层经过隐藏层传向输出层，输出层的神经元输出对应于输入层神经元的响应；为了达到降低实际输出值与期望输出值误差的目的，又将误差信号从输出层传向隐藏层然后再传向输入层，以调整连接权重，从而使训练结束后输出的预测值与希望得到的预测值误差较小。

本文所采用神经网络结构中的输入层包含3 个神经元，分别为面板柔度系数βp，腹板柔度系数βw和含单个腹板的梁柱柔度系数λ，分别由下式表示：

式中：I为含单个腹板且包括相关面板的截面惯性矩；A为含单个腹板且包括相关面板的截面面积。

输出层包含1 个神经元，表示极限强度与屈服强度之比 σu/σY。Matlab 常用的训练函数有Trainlm，Traingd，Traingdm，Traingda，Traingdx。为了选取合适的训练函数，本文通过输入训练样本，设定隐藏层有9 个神经元，设置最大训练次数为1 000，训练精度为0.002 0。比较不同训练函数下的训练结果以选取最优训练函数，如表6 所示。

表6 中的迭代精度为迭代次数结束后的均方差，不管是从迭代次数还是迭代精度来看，Trainlm都是最优的训练函数。

表6 不同训练函数的训练效果对比Table 6 Performance comparison of different training function

采用单个或两个隐藏层以及不同神经元下的网格进行训练，结果如表7 所示。在17 个训练模型中，综合考虑迭代次数和迭代精度，可以看出采用单个隐藏层且神经元个数为9 时最优，因此确定本网络为单个隐藏层且隐藏层节点数为9。

表7 不同隐藏层层数及神经元个数的训练效果对比Table 7 Performance comparison of different number of neurons

最终确定本文采用的3 层BP 神经网络拓扑结构为3-9-1，如图8 所示。其中，层与层之间通过权值w和偏置b连接，同一层之间的神经元无连接。选用Trainlm 函数进行训练，最大训练步数为1 000，目标误差为0.002 0。

图8 预测I 型金属夹芯板极限强度与屈服强度比的BP 神经网络结构Fig. 8 Architecture of BP neural network for prediction of ultimate strength to yield strength ratio of I-core sandwich panels

隐藏层的传递函数选择logsig 函数，其基本表达式为

隐藏层中第j个神经元的输入为

式中：wi j为 输入层与隐藏层之间的权重；bj为输入层与隐藏层之间的偏置；n为输入层神经元个数；xi为第i个输入神经元的值。隐藏层中第j个神经元的输出为

输出层的传递函数选择purelin 函数，其基本表达式为

输出层的输入值为

式中：wjk和bk分别为隐藏层与输出层之间的权重和偏置；m为隐藏层神经元的个数。

输出层的输出值为

误差信号反向传播，权值根据误差从后向前逐层进行修正，通过不断更新权值实现网络的更新：

式中：t为迭代次数；error为期望输出与实际输出之差； η为学习率；youtput为神经元的输出值。

为了衡量BP 神经网络运算结果的准确性，采用均方差MSE和相关系数R对运算结果进行评估：

式中：q为数据个数；youtputpredicted为输出的预测值；youtputdesired为希望得到的预测值。相关系数R表示预测值与真实值的相关程度，其值越接近于1，代表网络预测的准确性越高。本文采用252组数据集作为BP 神经网络工作的数据库，表8列出了其中部分数据。

表8 有限元仿真结果Table 8 The results of FE simulation

在进行分析之前，由于输入数据的取值范围存在明显差异，为了消除量纲的影响，需要对初始输入数据进行归一化处理。本文将数据库进行了归一化并使其在区间[0，1]范围内：

式中：D为数据集中的一组数列；min(D) 为这组数列中的最小值；max(D) 为这组数列中的最大值；xn为待归一化的值；x为归一化后的值。

将数据库中的数据集随机分成训练数据集（training set）、验证数据集（validation set）和测试数据集（testing set），分别占总数据集的70%，15%和15%，各个集之间相互独立。其中训练数据集用来进行模型的训练；验证数据集用于对训练好的模型进行验证，以检验模型在新的数据中是否表现良好，从而便于对模型的超参数进行调整；测试集用来对该神经网络模型进行最后的评估。

3 结果与讨论

3.1 数值结果

表8 列出了252 个I 型金属夹芯板中的部分结构在面内轴向压缩载荷下由有限元仿真得到的σu/σY结果。由表可见，所有I 型金属夹芯板的面板柔度系数βp均在0.67～3.51 之间，腹板柔度系数βw均在0.16～1.76 之间，梁柱柔度系 数λ 在3.00～9.40 之间。

3.2 BP 神经网络运算结果

如第2 节所述，设计了3 层BP 神经网络拓扑结构3-9-1，并对不同βp，βw和λ 下I 型金属夹芯板受面内轴向压缩载荷下的极限强度进行了预测。图9～图12 分别为训练集、验证集、测试集及全部集中 σu/σY的期待值与预测值的相关图。从中可以看到，所有数据都位于x=y曲线附近，其中测试集的相关系数R=0.981 8，具有高度的相关性，吻合度良好。

图9 训练集中σ u/σY的期待值与预测值的相关图Fig. 9 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in training set

图10 验证集中σ u/σY的期待值与预测值的相关图Fig. 10 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in validation set

图11 测试集中σ u/σY的期待值与预测值的相关图Fig. 11 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in testing set

图12 全部集中σ u/σY的期待值与预测值的相关图Fig. 12 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in whole set

图13 所示为测试集中 σu/σY的期待值、预测值以及两者之间的误差值。在测试集的38 组数据中，期待值和预测值之间的最大误差为0.082 2，均方差MSE为0.001 2。可见，本文采用的BP 神经网络结构预测性能良好。

图13 测试集中σ u/σY的 期待值与预测值间误差Fig. 13 Error between the expected data and predicted outputs for σu/σYin testing set

基于BP 神经网络的权值与误差，提出了不同βp，βw和λ 下I 型金属夹芯板结构轴向面内压缩载荷下的极限强度预测方程。

其中，

G可用下式表示：

式（20）～式（22）中的参数值如表9 所示，其中k，j，i分别表示输出层、隐藏层、输入层的第k，j，i个神经元。

表9 I 型金属夹芯板极限强度预测方程参数值Table 9 Parameter values of prediction equation for ultimate strength of I-core sandwich panels

3.3 BP 神经网络模型验证

表10 列出了20 个用于检验BP 神经网络模型的I 型金属夹芯板结构几何尺寸及面内轴向压缩载荷下的极限强度。该金属夹芯板结构的βp，βw和λ 均在3.1 节所述范围内。

用前文构建的BP 神经网络对表10 中I 型金属夹芯板结构面内轴向压缩载荷下的极限强度进行预测，得到的结果如图14 所示。由图可知，期待值与预测值之间的最大误差为0.086 1，均方差MSE为0.001 1，预测结果良好。

图14 σu/σY中 期待值与预测值间误差Fig. 14 Error between the expected data and predicted outputs for σu/σY

表10 I 型金属夹芯板参数Table 10 Parameters of I-core sandwich panels

3.4 敏感性分析

为了评估输入层的3 个变量参数对输出值的影响程度，需要进行敏感性分析。采用基于连接权的敏感性分析方法[18]。输入变量对输出变量的影响程度可用下式表示：

得 到βp，βw和λ 这3 个输入变量参数对I 型金属夹芯板结构轴向面内压载下 σu/σY的相对影响程度如图15 所示，其中，βw的相对影响程度最低，为26.87%，βp的相对影响程度最高，为39.99%。

图15 输入变量βp，βw 和λ 对I 型金属夹芯板结构 σ u/σY的影响程度Fig. 15 Relative importance of the input variables βp, βw, λ on the response variable of σ u/σY of I-core sandwich panels

4 结 论

本文利用非线性有限元软件ABAQUS 对252 个I 型金属夹芯板模型受面内轴向压缩载荷时的极限强度进行了计算分析，并利用BP 人工神经网络方法建立了极限强度预测方程，针对本文所计算的算例尺寸，主要得到以下结论：

1） 与非线性有限元计算结果相比，采用BP神经网络方法的极限强度预测的均方差MSE和相关系数R分别为0.001 2 和0.981 8，最大误差不超过10%，具有良好的预测性。

2） 腹板柔度系数βw对I 型金属夹芯板结构的相对影响程度最低，为26.87%，面板柔度系数βp对I 型金属夹芯板结构的相对影响程度最高，为39.99%。

3） 根据所设计神经网络结构的权值和偏置，提出了预测I 型金属夹芯板结构面内轴向压缩载荷下的极限强度方程，可为I 型金属夹芯板在船体结构中的应用提供参考。