概念教学：在深根厚植中自然生长——例谈“分数的初步认识”

江苏省常州市新北区九里小学 陈 莉

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学概念是抽象化的数量关系和空间形式，是反映数学对象本质属性的思维方式。学习数学，学生首先需要基于抽象的过程理解抽象的数学概念。“分数”这个概念的产生，在整个“数的认识”这一体系中，对于学生来说，是一次巨大的飞跃。同时，对于小学数学学段内“数的认识”，分数的认识又起到了一个承上启下的作用。如何理解好“分数”这个概念？结合多次磨课的经历，对于“分数的初步认识”这一课的教学，笔者通过聚焦问题打开思维，借助直观丰富表象，从而促使学生对概念形成深度的理解。

一、问题引领，产生概念

师（播放课件）：小红和小明要去郊游，把4个苹果、2瓶水、1个蛋糕，平均分成两份，每种食物每人分得多少？

生：每人分得2个苹果，每人分得1瓶水。

师：像这样，把每份分得同样多，我们给它一个名称叫“平均分”，我们在二年级的时候就已经认识了平均分。

师：如果把1个蛋糕平均分成两份，每份是多少呢？

生：半个。

师：“半个”怎么用数来表示？它还能像刚才分苹果那样用2或者1来表示吗？

在学习分数之前，学生的已有经验是知道什么是“平均分”，并且会用“1”“2”……这样的整数来表示“平均分”的结果。因为“平均分”这一概念是学生认识分数的重要基石，教师首先要唤醒学生对“平均分”这一概念的已有认识，接着用“半个怎么用数来表示呢”这一问题，让学生进入了思维盲区，正是这一问，激发了学生认识新知的动力，同时也阐明了分数产生的价值所在，为后续的学习打开了局面。

二、直观表征，形成概念

师：把1个蛋糕平均分成两份，该怎么分呢？请你试着用圆片分一分。

（学生试着把圆片对折）

师：请一位同学上来演示平均分蛋糕的过程。

（学生上讲台把蛋糕图片平均分成两份）

师：像这样把1个蛋糕平均分成两份，这一份就是这个蛋糕的二分之一。（在其中的一份蛋糕上面写上）

师：那么另一份呢？谁能试着说一说？

生：另一份也是这个蛋糕的二分之一。

师：像这样，把1个蛋糕平均分成两份，每份就是这个蛋糕的二分之一。这个每份既指左边一份，又指右边一份。

（师指导书写）

……

师：想一想，除了蛋糕平均分成两份，每份是这个蛋糕的二分之一外，还有哪些地方也需要用到二分之一？请在小组里交流。

（小组交流）

生1：把1个西瓜平均分成两份，每份是这个西瓜的二分之一。

生2：把1块巧克力平均分成两份，每份也是这个巧克力的二分之一。

……

分数的产生既有现实需要的推力，也有数学内部发展需要的推力。由此出发，分数的定义主要有份数定义和商定义（由此还可以延伸出分数的其他定义）。其中，分数的份数定义（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数）具有核心作用。我们由分数的定义可知，分数本质上是一种数。由于数又是抽象的，学生在已有的学习经验中从未接触过分数，在生活经验中，对分数也接触不多。如何揭开这位“新朋友”的面纱？教师借助直观形象的切蛋糕过程，让“二分之一”这个分数的出现有了着力点，并且通过左边一份是这个蛋糕的二分之一，右边一份也是这个蛋糕的二分之一的反复强化，让学生理解了“只要把1个蛋糕平均分成两份，每一份都是这个蛋糕的二分之一”这样一个比较丰富的内涵意义。同时，教师通过让学生自己去说一说“哪些地方还可以用到二分之一”，进一步丰富了学生对“二分之一”这一概念的理解。但是，由于受到蛋糕的影响，学生的举例仅仅局限在食品。因此，教师还需要进一步抽象、提炼“二分之一”这一概念的本质内涵，让学生真正理解什么是“二分之一”。

三、变式融通，深化概念

师：除了物体中隐藏着分数，实际上，平面图形中也隐藏着分数。

师：请你拿出课前准备的正方形纸，折一折，写一写，按照活动要求完成探索活动一。

（大屏幕出示活动一要求）

活动一要求：

1.折一折：自己想办法折出正方形纸的二分之一。

2.写一写：在正方形纸对应的位置写出相应的分数。

3.说一说：在小组里说一说，你是怎么折出二分之一的？

4.比一比：和小组里的同学比一比，折法一样吗？

（小组互动，教师巡视）

（生汇报交流，结果如图1）

图1

师：为什么折法不同，却都能折出这张纸的二分之一呢？

生：折法虽然不同，但是，都是把一张纸平均分成两份，所以，每份都是它的二分之一。

师：是的，不管怎么折，只要是把它平均分成两份，每份就是它的二分之一。

师：在这张正方形纸上，你还能折出不同的分数吗？请你完成探索活动二。

（大屏幕出示活动二要求）

活动二要求：

1.折一折：自己想办法在正方形纸上折出不同的分数。

2.说一说：在小组里说一说，你是怎么折的？折出的分数是什么？

3.比一比：和小组里的同学比一比，折出的分数一样吗？

4.想一想：为什么同样的正方形纸，折出的分数却不一样？

（小组活动，展示研究成果，如图2）

图2

师：为什么同一张纸，折出的分数却不相同呢？

生：因为有的是把正方形平均分成4份，所以，每份就是这张纸的四分之一。有的是把正方形纸平均分成8份，每份就是这张纸的八分之一……

师：虽然是同一张纸，但是，平均分的份数不一样，每份表示的分数也不一样。

理解一个概念，既要认识它的内涵，也要重视它的外延。概念的定义用来揭示概念的内涵，概念的外延主要指概念所涉及的不同对象。学生通过直观表征初步认识分数以后，其实对分数的认识还仅仅停留在具体的物体上。教师通过“除了物体中隐藏着分数，实际上，平面图形中也隐藏着分数”这样的一句过渡语，让学生明确分数内涵的丰富性。教师通过两次折正方形纸的活动，使学生认识到：尽管对象不同，但是，只要是平均分，都可以用分数来表示。其中，在两次折正方形的活动中，“为什么折法不同，却都能折出这样纸的二分之一呢”“为什么同样的正方形纸，折出的分数却不一样”两个指向概念本质的问题引领学生对分数概念进行了深度思考，即不管什么对象，不管怎么折，只要符合分数的概念，就可以用分数来表示。

四、想象推理，拓展概念

师：如果把这张正方形纸继续对折下去，还能得到哪些分数呢？请同学们充分发挥自己的想象，想一想，然后和同桌交流。

（小组交流讨论）

生：我觉得还可以折出十六分之一。

师：你是怎么想的呢？

生（上台演示）：对折一次，就是平均分成两份，再对折，打开就是平均分成4份，再对折，打开，就是平均分成8份，如果继续对折，我觉得应该是8×2=16份，所以，我说是十六分之一。

师：是不是十六分之一呢，我们可以继续折一折，看一看。

师（演示对折）：虽然折起来有点困难，但是，还是可以折的，我们一起数一数是不是16份。

（验证，果然是16份）

师：按照这样的方法继续推理，再往下折，会折出怎样的分数呢？

生1：应该是16×2=32份，应该是三十二分之一。

生2：再往下折，就是32×2=64份，就是六十四分之一。

……

师：在这张正方形纸上，能不能表示出五分之一呢？也就是说这张纸能不能平均分成5份呢？

生（异口同声）：不能。

师：再想想呢？

生：应该可以吧，不过有点难的。

师：是的，这张正方形是可以平均分成5份的，也可以平均分成6份、7份，只不过靠我们手工操作比较困难，但实际上是可以的，我们可以在电脑上演示一下怎么把这样的正方形纸平均分成5份、6份、7份。（见图3）

图3

在上一个环节，学生借助折纸的过程，对分数的概念有了一个初步的认识。但是，这种概念的建立还只是建立在几何直观上，而建立在几何直观上的认识的分数是有限的。教师提出“如果把这张正方形纸继续对折下去，还能得到哪些分数呢？请同学们充分发挥自己的想象，想一想，然后和同桌交流”这个问题，给了学生很大的想象空间，极大地培养了学生的想象力和推理能力，同时给学生提供了一个进一步拓展分数概念的平台，极大地丰富了分数的内涵。教师接着又提出“在这张正方形纸上，能不能表示出五分之一呢？也就是说这张纸能不能平均分成5份呢”这个问题，让学生的思维处于“欲罢不能”的状态。通过教师引领、深度思考，学生的思维更加趋于理性，逻辑性更强，同时，学生对分数的认识更加丰富。

五、沟通联系，统整概念

师：今天这节课，我们主要学习了分数，想一想，什么时候需要用到分数？

生：当我们平均分的时候，得到的不是正好是1个、2个、3个这样的数时，我们就要用到分数。

师：那它和我们之前学的整数有联系吗？有怎样的联系？

生：我觉得分数和整数有联系，首先，一个叫整数，一个叫分数，它们都是数。

师：说得真好，分数、整数都是数，它们都属于数的范畴，但是，它们又有区别，整数只能表示一个物体的个数，当不满一个时，我们可以用分数来表示。

建构主义认为，只有系统化、结构化的知识才便于学生真正理解、掌握和提取。分数对于学生来说是一个全新的概念，它不是独立于已有知识的全新概念，而是与整数息息相关的。它和整数都是数，都是用来表示物体的个数，只是整数是表示完整物体的个数，当不能用整数来表示时，我们就可以用分数来作为补充。教师通过这样的融通整合，有效地促进了学生对分数的理解以及存在的价值的认同。

概念教学是数学教学的重要组成部分，数学概念是数学知识的基础，是进行数学思维的基本单位。因此，教师一定要重视概念的形成过程，通过丰富形式，使学生逐步认识概念的内涵和外延，让概念在深根厚植中自然生长。