电场对电磁冷坩埚定向凝固磁场与温度场研究

王国田,吴 彪,王 强,付百学,龙泽堃

(1. 黑龙江工程学院 汽车与交通工程学院，哈尔滨 150050； 2. 哈尔滨工业大学 材料科学与工程学院金属精密热加工国家重点实验室，哈尔滨 150001)

TiAl合金由于具有相对密度小、比强度、比模量高以及高温抗蠕变、抗氧化性能好等优点，且具有良好的物理性能及特殊的力学与机械性能，被认为是最具有发展潜力的高温轻质结构材料，广泛应用于汽车工业及航空航天等领域，成为当今金属间化合物研究的热点[1-3]。然而TiAl金属间化合物的室温塑性与断裂韧性不足，是其在工程化应用过程中一个亟待解决的问题，亦是抑制TiAl合金广泛应用的关键问题[4-5]。

近年来，由于电流作用凝固技术污染小、操作简单，成为很多学者关注和研究的热点[6-10]。国内外学者将电流作用于金属的凝固过程中，例如低熔点金属纯Al及其合金以及Pb-Sn等合金、较高熔点金属的铸铁及高温合金等，对其凝固及过程进行控制，都取得了一定的研究成果[11-15]。电流调控凝固组织不但可使晶粒细化、减小枝晶间距，还可以提高定向凝固过程中的界面稳定性，控制其晶体取向等[16-19]，进而影响合金的性能。因此，对电流作用的机理研究显得尤为重要，由于实验过程中无法测量其磁场或温度场，因此，通过模拟仿真来分析电流对磁场和温度场的影响，阐明电流对TiAl基合金熔体的电磁场和温度场的影响规律，为电场对定向凝固TiAl合金的作用机制提供理论基础。

1 理论基础与模型建立

1.1 磁场理论基础

通过模拟仿真将实际问题设计为简化的模型，对其进行离散化，剖分为网格，并对应各自的网格节点，由初始条件和边界条件以及设定的模拟求解域，对各个物理量进行求解，求出网格节点及其所对应单元的物理量，以待下一步进行具体分析。

Maxwell方程组[20-21]是电磁场分析的基础，可以利用方程组中的高斯定律、高斯磁定律以及麦克斯韦定律对其磁场和温度场进行分析。

1)电场中的高斯定律。

(1)

式中：E为电场强度矢量；S为带方向的曲面面积；ε0为相关介电常数；q为曲面内电荷代数之和。由于闭合曲面电通量等于其电荷代数和与介电常数的商，因此,电场与电场作用引起的电荷分布关系可以通过高斯定律来描述。

2)磁场中的高斯定律。

SB·dS=0.

(2)

式中：B为磁感应矢量强度;S为带方向的曲面面积。由于磁场的性质为无源场，磁场线所经过的闭合曲面最终还是从此闭合曲面离开，因此,可以通过高斯磁定律来描述通过磁场线所经过的闭合曲面磁通量的大小，如式(2)所示其磁通量大小为0。

3)法拉第感应定律。

(3)

式中：E为电场强度矢量;l为闭合回路长度;B为磁感应强度矢量;t为时间;S为闭合回路面积。对于闭合回路磁场的变化引起磁通量改变进而产生变化的感应电流，可以通过法拉第感应定律来描述磁场变化与感应电场的关系。

在数值仿真过程中解析解的求解虽然很难，但可以通过对初始条件和边界条件设定,用Maxwell方程来求解，将磁势适量与电势标量代入Maxwell方程中，对电场参数和磁场参数分别求解，可以求解出磁场的偏微分方程和电场的偏微分方程。磁场的偏微分方程为

(4)

式中：▽2为拉普拉斯算符;C为磁势;μ为磁导率;ε0为相关介电常数;t为时间;J为电流密度。

求解电场的偏微分方程为

(5)

式中：▽2为拉普拉斯算符;φ为电势标量;μ为磁导率;ε0为相关介电常数;ρ为电荷的体密度;t为时间。通过电场和磁场的偏微分方程使计算量大大减小，并可以进一步分析物理模型的磁场分布情况。

1.2 温度场理论基础

脉冲电流TiAl合金的定向凝固实验热源采用线圈加热，因此，可以利用磁场相关物理量，通过温度场方程来计算脉冲电流对温度场的影响。焦耳热效应是电流作用较明显的热效应，可以表示为

P=J·E.

(6)

式中:P为焦耳热效应的热功率;J为电流密度矢量;E为电场强度矢量;除焦耳热效应外，对于温度场模拟仿真还要考虑到热传导、热对流以及热辐射等因素[20-21]，热传导遵循傅里叶方程

(7)

式中:q为热流的密度;k为导热系数;T为温度;x为热传导的距离。流体与固相间的热交换遵循牛顿冷却方程

q=h(Ts-Tb).

(8)

式中:q为热流的密度;h为对流传热系数;Ts为固相温度;Tb为固相周围流体温度。

最后为热辐射，即吸收其他物体的能量并转换成热能量的过程，热辐射满足斯蒂芬-玻尔兹曼方程

(9)

式中:q为热流的密度;δ为热辐射率;σ为辐射常数;A1为辐射面1面积;F12为辐射面1到辐射面2的形状系数；T1和T2为辐射面1和2的温度。

为了方便运算和求解，温度场同样采用数值法求解，其一般方程为

(10)

1.3 物理模型

图1所示为数值模拟物理模型，模拟的相关物性参数如表1所示。为提高运算效率并减小计算量，物理模型做了相应简化，电磁场的模拟选用ANSYS Maxwell模块，温度场模拟选用workbench模块进行仿真分析。

表1 模拟相关物性参数[22-23]

图1 实验物理模型

由于集肤效应的影响，即电流作用于试棒时，会偏聚于试棒外表面，为保障模拟的精确，在网格划分时，试棒外表面划分网格的深度为4.5 mm，划分层数为5层。

2 脉冲电流作用下的磁场数值模拟

为模拟脉冲电流对钛铝合金试棒定向凝固过程中温度场与磁场的影响，鉴于磁场的分布状况直接影响其温度场的分布，首先对磁场进行分析。本实验采用脉冲电流波形为方波、占空比为0.5的脉冲电源，模拟过程中脉冲电流的密度大小分别为17.6 mA·mm-2、35.3 mA·mm-2和52.9 mA·mm-2，图2所示为磁场切面方向不同脉冲电流强度对其磁场的影响规律。

图2 不同脉冲电流作用下TiAl基合金磁场

由于试棒为圆柱形，磁场的分布也为对称分布，因此,通过轴心的磁场分布可以衍射出磁场整体分布的情况，图2所示为不同脉冲电流作用下磁场分布情况，磁场所产生的磁感应强度最大处位于熔体表面处，随着脉冲电流的增大，电流密度为17.6 mA·mm-2、35.3 mA·mm-2和52.9 mA·mm-2时，其磁感应强度为1.07×10-4T、2.14×10-4T和3.21×10-4T。由于电流的集肤效应，使得电流作用在合金熔体时，会使熔体内电流的分布更趋向于偏聚熔体最外层，电流的密度越大，引起磁场的变化率越大，集肤效应作用的效果越明显[20]。电流的大小直接影响磁感应强度的大小，电流与磁感应强度的关系可以表示为[24]

(11)

式中：μ为磁导率；I为电流；a为直导线与该点的垂直距离；θ1为电流流入端电流元的角度；θ2为电流流出端电流元的角度。从式(11)可以看出磁感应强度的大小正比于电流强度，而从图2的仿真结果也可以看到，由于电流的集肤效应，熔体表面电流的偏聚使其磁感应强度相对较强。

为进一步分析磁感应强度分布规律，分别仿真模拟了在中心线径向上和在熔体表面集肤层轴向上磁感应强度，由磁场的Maxwell方程组，通过ANSYS物理模型和物性参数的设定，可模拟仿真电流对其磁感应强度的影响，图3所示为不同电流强度对合金径向磁感应强度的影响规律，图4所示为不同电流强度对合金熔体轴向磁感应强度的影响规律。

由图3和式(11)可以看出磁感应强度正比于电流强度，随着电流强度的增大磁感应强度也增大，不同电流强度作用下其磁感应强度最大处都是分布于熔体表面，且随距离熔体表面距离的增大，磁感应强度的大小也逐渐减小，在中心处磁感应强度最小。脉冲电流对合金熔体轴向的影响如图4所示，由于模拟位置选择在熔体表层集肤层，可以看出磁感应强度在表层的轴向变化幅度很小，不同脉冲强度作用对磁感应强度的影响基本相同。

图3 不同脉冲电流作用下TiAl基合金径向磁感应强度

图4 不同脉冲电流作用下TiAl基合金轴向上的磁感应强度

3 脉冲电流作用下的温度场数值模拟

TiAl合金定向凝固实验过程中由冷坩埚通过线圈感应加热，因此，模拟温度场可以以电磁场为基础，实验过程中脉冲电流参数不变，利用磁场模拟结果，通过ANSYS workbench模块及热辐射、热传导、热对流等方程组，仿真模拟电流对温度场的影响。当电流密度从17.6 mA·mm-2增大至52.9 mA·mm-2时，温度场最高温度从1 730.1 ℃提高至1 774.3 ℃，如图5所示为不同脉冲强度作用下合金熔体的温度场分布情况，无电流作用时温度场最高为1 711.4 ℃，不同脉冲电流密度作用下其最高温度比无电流作用下高出20～60 ℃，可以看出脉冲电流作用下，通过焦耳热效应引起的温度升高效果较明显。

图5 不同脉冲电流作用下TiAl基合金温度场

在电场作用定向凝固实验过程中，由于实验环境的影响，试验料棒难免会与陶瓷管接触而侧向散热，为了进一步考察电流作用后温度场的分布情况，通过模拟不同电流强度作用后对其轴向和径向温度来考察电流与陶瓷管散热对温度场的影响，如图6所示为电流对其径向温度场的影响，可以看出随着脉冲电流强度的增大，其温度场整体提高。如表2所示为不同电流强度对应其表层温度与径向上最高温度的差值，差值越小，意味着定向凝固过程中其表层的侧向散热越少，定向凝固的效果越好。

图6 电场作用定向凝固径向的温度分布

表2 不同脉冲电流作用下同一径向熔体表层温度与最高温度温差

由于试棒与陶瓷管侧向的接触而散热，从表2可以看出，脉冲电流密度为0时，温度差值最大为46.5 ℃，到脉冲电流密度为52.9 mA·mm-2，温度差值减小到17.9 ℃，其径向的温度差值随脉冲电流的增大而减小。脉冲电流对轴向温度分布的影响如图7所示，温度场随着脉冲电流强度的增大而提高，温度最高处都是在感应线圈对应的中间部位。

图7 电场作用定向凝固轴向的温度分布

因此，从以上分析可以看出，脉冲电流改变了合金熔体定向凝固过程中的温度场，脉冲电流密度越大，温度场温度越高，而且由于电流的集肤效应所引起的表层偏聚，使其表层温度在焦耳热效应的作用下温度提高，径向上的温差减小。

4 结 论

文中主要通过模拟脉冲电流作用对TiAl合金电磁场和温度场的影响，系统地研究了不同脉冲电流参数对磁场和温度场分布的影响规律，得出以下结论：

1)脉冲电流作用下在合金熔体轴向的径向上磁感应强度随距离最外层越远而越小，集肤层在轴向上各处磁感应强度变化幅度很小。

2)温度场的温度最高处在线圈对应料棒的中间部位，随脉冲电流密度的增大，径向上最外层温度与最高温度的温差逐渐缩小。

3)电流作用于凝固过程产生的主要为集肤效应和焦耳热效应，脉冲电流的集肤效应使得电流偏聚，电流的焦耳热效应使表层温度提高，侧向散热减小。