热环境下圆弧拱的面内非线性屈曲

李学松，刘爱荣，招启嵩，刘璐璐

(1.东莞滨海湾新区工程建设中心，东莞 523808；2.广州大学风工程与工程振动研究中心，广州 510006)

在实际工程中，拱结构不仅会受到外荷载的作用，还会受到环境温度变化的影响。如在太阳照射和火灾作用下拱截面温度会产生变化，当由于温度变化引起的膨胀受到约束时，拱结构内部便会产生较大内力，从而影响拱的屈曲行为，给结构的安全运营带来潜在危害。因此，研究拱在热环境中的屈曲行为意义重大。

目前，已有许多学者针对热环境下梁的屈曲问题开展了深入研究。Bradford[1]研究了约束梁在室内火灾下的力学行为；Pi等[2]对在梯度温度下双对称开口薄壁截面固定梁的面外弹性屈曲行为进行了研究; Pi等[3]还在考虑结构材料和几何形状变化的情况下，推导了固定细长梁平面内热弹性屈曲的上、下限临界温度。之后，Pi等[4]研究了在梯度温度下两端弹性约束梁的热弹性面外屈曲问题，得到了其面外屈曲临界温度的解析解。苏盛开等[5]采用经典欧拉梁理论和高阶三角剪切变形理论，研究了多孔功能梯度梁的热力耦合屈曲，利用迭代算法求解了结构的热力耦合屈曲临界温度。何昊南等[6]在考虑热对材料物性参数影响的情况下，研究了功能梯度梁的热后屈曲问题。于旭光等[7]基于高阶剪切变形理论，推导了轴向荷载与均匀热荷载作用下梁的热屈曲和后屈曲问题。

关于拱在外力荷载下的屈曲问题已有许多学者开展了丰富的研究，如杨智诚等[8]针对功能梯度多层石墨烯增强纳米复合材料圆弧拱的参数失稳问题, 采用Bolotin 方法求解 Mathieu-Hill 方程，获得了拱的主动力不稳定区域；文献[9-10]先后分别研究了单轴对称截面圆弧拱在局部径向均布荷载和拱顶集中力荷载下的弯扭稳定性；Zhang等[11]研究了复合材料圆弧拱在均布荷载下的面内非线性稳定；Li[12]针对功能梯度多孔圆弧拱的非线性稳定性进行了分析。

关于拱在热效应下屈曲行为的研究有，如Pi等[13]分析了纯均匀温度场下的铰接和固接圆弧拱的平面内热弹性屈曲行为；之后，Pi等[14]又开展了在均匀温度场和均布荷载作用下圆弧拱的平面内非线性弹性屈曲分析；Bradford[15]研究了大跨度浅钢拱在火灾时的热弹性行为；Bradford[16]还研究了在热荷载下，具有横向弹簧约束拱在弹性范围内的结构响应。梯度温度场下，Pi等[17]针对铰接圆弧浅拱的非线性热弹性屈曲行为进行了研究；宋小春等[18]在考虑剪切变形的影响下，对梯度温度作用下弹性约束圆弧拱的力学行为开展了研究。此外，Lu等[19]研究了均匀温度场和任意径向集中力共同作用下圆弧拱的平面外稳定性问题，得到了屈曲临界温差和临界荷载。Liu等[20]分析了梯度温度场和拱顶径向集中力下圆弧拱的平面外屈曲行为，得到了拱在梯度温度场下的弯扭屈曲荷载理论解。

综上，目前关于集中力作用下圆弧拱的面内非线性热屈曲问题还未有学者开展过相关的理论研究。经过前人的研究发现，温度的升高确实会影响拱的非线性平衡路径，所以当拱受到拱顶集中力和温度的共同作用时，其内部产生内力将会更复杂，从而直接影响拱的非线性屈曲行为。所以迫切需要探究集中力作用下圆弧拱的面内非线性热屈曲行为，为相关工程设计提供理论指导。

基于此，现对热环境下，两端固接圆弧拱在拱顶径向力作用下的平面内非线性热屈曲开展研究，建立其面内非线性屈曲平衡微分方程，求解其在不同温度下极值点屈曲和分岔屈曲荷载解析解，揭示温度和长细比等因素对拱非线性屈曲行为的影响规律。

1 面内非线性分析

1.1 基本假设

对圆弧拱进行稳定性分析前，引入了以下假设。

(1)拱在整个受力过程中处于弹性状态，并且满足欧拉-伯努利假设。

(2)假定温度T与时间无关，且在整个拱截面上均匀分布，环境温度假定为20 ℃。

(3)假定热膨胀系数α与温度T无关，且取值为α=11.3×10-6/℃。

(4)假定拱的横截面尺寸远小于其弧长和半径。

(5)E(T)为在温度T下钢材的弹性模量，根据钢结构经验公式[14]有

(1)

式(1)中：E20为在环境温度20 ℃下钢的弹性模量。

两端固接圆弧拱的力学简图如图1所示。

S为圆弧拱的弧长；R为圆弧拱的半径；L为圆弧拱的跨径；Θ为圆弧拱的半圆心角；θ为圆弧拱的角坐标；v和w分别为拱轴线的径向和轴向位移；Q为拱顶径向集中力；ΔT为均匀温升

1.2 非线性平衡

拱截面上的任意一点的轴向应变ε可表示为膜应变εm和弯曲应变εb之和，即

(2)

基于Duhamel-Neumann方程，由荷载Q和均匀温升ΔT产生的应力可以表示为

σ=E(T)(ε-αΔT)

(3)

热环境下，拱顶径向力作用下拱的总势能为

(4)

狄拉克函数定义为

(5)

将式(2)代入式(4)，则拱的总势能表达式(4)可重新表示为

(6)

式(6)中：A为拱横截面的面积；E为材料弹性模量；Ix为截面绕x轴的惯性矩。

拱的平衡状态要求拱总势能的一阶变分为零，则对式(6)求变分可得

(7)

轴力N和弯矩M可表示为

(8)

(9)

对式(7)进行分部积分可得

N′=0

(10)

NR+(NRν′)′-M″-δD(θ)QR=0

(11)

由式(10)可知，拱的轴向力N为常数。因此，式(11)可以重新化简为

(12)

(13)

此外，拱的固接边界条件要求，在θ=±Θ时，有

(14)

求解式(12)并满足式(14)可得到无量纲径向位移为

(15)

式(15)表明径向位移是关于无量纲荷载P、轴力参数μ和β的函数。其中：

β=μΘ

(16)

(17)

(18)

(19)

将式(15)代入式(8)，并沿整个圆弧拱进行积分，可得无量纲荷载P和轴力参数β之间的关系为

B1P2+B2P+B3=0

(20)

系数B1、B2和B3由式(21)～式(23)给出：

(21)

(22)

(23)

式(23)中：λ为拱的修正长细比，定义为

(24)

2 屈曲分析

2.1 极值点屈曲

荷载轴力平衡路径上的极值点可以通过式(20)P和β的隐式方程求得，即

(25)

由此可得到屈曲极值点Pst与β之间的关系方程为

C1Pst2+C2Pst+C3=0

(26)

式(26)中：系数C1、C2和C3为

(27)

(28)

(29)

2.2 分岔屈曲

除了极值点屈曲外，拱在集中力和温度的共同作用下还可能发生分岔屈曲。发生分岔屈曲时，随遇平衡下的能量守恒要求拱的总势能的二次变分等于0，即

δ2Π=0

(30)

ε′mb=0

(31)

(32)

拱的固接边界条件要求，在θ=±Θ时：

(33)

(34)

在分岔屈曲过程中，由温度和荷载产生的轴力和弯矩保持不变，即Nb=δN=0。所以，应变为

(35)

式(32)便化简为

(36)

求解微分方程[式(36)]得到拱发生分岔屈曲时的径向位移为

(37)

式(37)中：f1～f4为常数，可由边界条件确定。

将式(37)代入式(34)可得矩阵方程为

(38)

为获得f1、f2、f3和f4的解，令式(38)的系数行列式等于零，可得

[μΘcos(μΘ)-sin(μΘ)]sin(μΘ)=0

(39)

求解方程式(39)可得

μΘ≈1.430 3π

(40)

由式(13)、式(16)和式(40)，可得发生反对称分岔屈曲时轴力N为

(41)

把μΘ≈1.430 3π代入式(20)可得发生分岔屈曲时的非线性平衡方程为

D1Pb2+D2Pb+D3=0

(42)

式(42)中：

(43)

求解式(42)，得到分岔屈曲荷载值为

(44)

把Pb和β代入式(15)，可得分岔屈曲时拱顶的径向位移为

(45)

要使得荷载Pb存在，式(44)中的根号内的数值需满足：

(46)

因此，对于发生分岔屈曲时拱的几何参数：

(47)

要使得λsb1成立，式(47)中的根号内的数值不得小于0，因此有

(48)

3 参数分析

3.1 极值点屈曲分析

在不同温升ΔT=0 ℃，ΔT=200 ℃和ΔT=400 ℃下，拱的无量纲荷载Q/NE2随无量纲拱顶径向位移vc/f的变化如图2(a)所示，随无量纲轴力N/NE2的变化如图2(b)所示。

由图2(a)可知，在恒定温度下，拱的非线性平衡路径由ab、bc、cd三段路径组成，首先位移沿着路径ab随着荷载的增大而增大，当到达上极值点b后拱屈曲，无法继续承载，此时若采用位移加载，随着拱顶位移的变大，荷载将沿着路径bc逐渐减小，当减至下极值点c时，拱又具备了承载能力，荷载将沿着路径cd随位移的增加而再次增大。图2(a)还表明，拱的上极值点随着温度升高而升高，即拱的屈曲临界荷载随着温度升高而增大，说明拱由温度升高产生的变形与荷载产生的变形方向相反。上述分析表明温度对拱的非线性屈曲行为具有明显的影响。

由图2(b)可知，屈曲前，拱的轴力沿着路径ab，先随着外荷载的增加而增加，到达上极值点b后发生屈曲，在位移加载情况下，轴力沿路径bc随荷载的减小而继续增大，达到最大值后，才随荷载的减小而减小，到达下极值点c时，拱重新具备承载能力，但轴力沿路径cd随着荷载的增加仍持续减小。图2(b)表明随温度的升高，a点处的初始轴力为负值，即出现了拉力，且随着温度的升高而增大；图2(b)还表明，轴力的最大值随着温度的升高而增大；以上分析说明温度对拱的轴力也有显著的影响。

abcd为拱的非线性平衡路径

当ΔT=200 ℃，在不同修正长细比λ=20、λ=25、λ=30时无量纲载荷Q/NE2随无量纲拱顶径向位移vc/f的变化曲线如图3(a)所示，无量纲载荷Q/NE2随无量纲轴向N/NE2的变化曲线如图3(b)所示。由图3可知，在某一温度下，拱的上下极值点屈曲临界荷载随长细比的增大而增大。图3(b)还表明轴力的最大值随修正长细比的增大而增大。

abcd为拱的非线性平衡路径

图4为不同修正长细比下无量纲上极值点荷载Pst/NE2随温度变化的曲线。图4也表明，对于不同长细比的拱，其上极值点荷载随温度的升高而增大。

图4 无量纲上极值点荷载与温度曲线

图5为不同温度下无量纲上极值点荷载Pst/NE2随修正长细比变化的曲线。由图5可知，当修正长细比λ<30时，拱的上极值点屈曲荷载随长细比的增大而急剧增大；当30<λ<60时，极值点屈曲荷载随长细比的增大趋于平缓。另外，随着修正长细比的增加，温度对上极值点屈曲的影响逐渐减小。

图5 无量纲上极值点与修正长细比曲线

3.2 分岔屈曲分析

图6和图7分别表示了在λ=50、ΔT=0 ℃和λ=40、ΔT=100 ℃下，拱的非线性极值点和分岔屈曲行为。在图6(a)和图7(a)中，拱从主要平衡路径abe进入二次分岔平衡路径ef，此时荷载随位移的增大而减小，随后再次回到主要平衡路径fcd。在图6(b)和图7(b)中，轴力沿着主要平衡路径abe进入二次分岔平衡路径ef，轴力在路径ef保持不变, 然后回到主平衡路径fcd上。由图6和图7可知，虚线即分岔屈曲平衡路径的不稳定部分，且上极值点荷载高于相应的上分岔点屈曲荷载，下极值点荷载低于相应的下分岔点荷载。

图6 ΔT=0 ℃时拱的非线性极值点和分岔屈曲

abcd为拱的非线性平衡路径

图8 分岔屈曲最高温差与长细比曲线

在不同长细比下，无量纲分岔点荷载Pb/NE2随温度变化的曲线如图9所示。由图9可知，拱的分岔屈曲荷载随温度增量的增大而增大，且拱的修正长细比对其分岔屈曲行为影响明显。

图9 无量纲分岔点荷载与温度曲线

4 有限元验证

为验证本文所推导的理论解的准确性，采用ANSYS软件对圆弧拱在热环境和拱顶集中力作用下的非线性屈曲进行数值分析。选用beam3单元建立圆弧拱，收敛性分析表明划分为100个单元就可以得到收敛的结果。矩形截面尺寸：b=0.025 m，h=0.001 5 m。

图10绘制了无量纲荷载Q/NE2随径向位移vc/f变化的理论解与有限元结果的对比。拱的相关参数已在图中列出。从图10可知，本文推导得到的荷载-位移曲线与ANSYS的分析结果吻合良好，证明了本文的理论推导是正确的。

图10 无量纲荷载理论与ANSYS结果的比较

图11绘制了无量纲上极值点荷载随内角2Θ变化的理论解与有限元结果的对比。由图11(a)可知，在S/rx=100，ΔT=0 ℃时，浅拱(2Θ<60°)的上极值点荷载理论解与ANSYS结果吻合良好，但随着2Θ的继续增大，ANSYS结果稍大于理论解。由图11(b)可知，在S/rx=100，ΔT=100 ℃时，浅拱的上极值点荷载理论解与有限元结果吻合良好，然后随着2Θ的增大，有限元结果也稍微比理论解大。此分析说明本文所推导的理论结果对圆弧浅拱更加适用。

图11 无量纲上极值点荷载理论与ANSYS结果的比较

5 结论

研究了热环境下，圆弧拱在拱顶径向集中力下的面内非线性屈曲行为，获得了非线性平衡路径曲线以及极值点屈曲和分岔屈曲理论解，采用ANSYS有限元软件验证了理论解的正确性。得到以下结论。

(1)拱的上极值点随着温度升高而增大，即拱的屈曲临界荷载随着温度升高而增大；而拱的下极值点随着温度升高而减小。

(2)在某一温度场下，拱的上下极值点屈曲荷载随长细比的增大而增大，轴力的最大值随修正长细比的增大而增大。

(3)分岔屈曲的最大温差随着长细比的增加而急速减小，当温度大于该温差时，浅拱不会发生非线性分岔屈曲。

(4)本文所推导的理论解只适用于浅拱，对于深拱(2Θ>90°)，理论解稍小于有限元结果。