十种方法求角的内角平分线所在直线方程

摘要：求一个角的内角平分线所在的直线方程，可以结合内角平分线一些重要性质，如点到线距离、线到线角、点关于线对称、此角的两边长之比、向量数量积及投影等，利用直线斜率和平面向量有关知识点求解，方法策略多样.本文给出一个角的内角平分线所在的直线方程10种求法，提升学生的解题能力.

关键词：内角平分线性质;直线方程;直线斜率;平面向量

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0089-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：钟建新，从事高中数学教学研究.[FQ）]

题目已知△ABC三个顶点A（2，5），B（6，8），C（8，-3），求∠A的内角平分线所在的直线方程.

解法1 由题意得，∠A的内角平分线所在的直线有斜率，下设∠A的内角平分线所在的直线l方程为

y-5=k（x-2），

点B（6，8）关于l的对称点为B′（a，b），

则点B′（a，b）在直线

lAc：y-5=-43（x-2）上.

所以b-5=-43（a-2）. ①

又线段BB′中点在l上，

所以b+82-5=k（a+62-2）. ②

且kBB′·kl=-1，

所以b-8a-6·k=-1. ③

以上三式联立可解得

a=5，b=1，k=-17.

所以直线l方程为

y-5=-17（x-2）.

即∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法2 设点B（6，8）关于∠A的内角平分线所在直线l的对称点为B′（a，b），

因为直线lAc：y-5=-43（x-2），

所以b-5=-43（a-2） .④

又AB′=AB，

所以（a-2）2+（b-5）2=5.⑤

以上两式联立可解得a=5，b=1.

所以B′（5，1），kBB′=7.

又kBB′·kl=-1，

所以kl=-17.

所以l方程为y-5=-17（x-2）.

即∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法3 设点P（x，y）为∠A的内角平分线所在的直线上任意一点，则点P到边AB和边AC的距离相等.

又因为lAB：y-5=34（x-2），

即lAB：3x-4y+14=0.

因为lAc：y-5=-43（x-2），

即lAc：4x+3y-23=0.

所以3x-4y+1432+（-4）2=4x+3y-2342+32.

所以3x-4y+14=4x+3y-23，

或3x-4y+14=-（4x+3y-23）.

即x+7y-37=0，或7x-y-9=0.

因為直线7x-y-9=0为∠A的外角平分线所在的直线，故舍去.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法4因为kAB=34，kAc=-43，

设∠A的内角平分线所在的直线的斜率为k，则用到角公式得

34-k1+k·34=k-（-43）1+（-43）·k，

解得k=-17或k=7（舍去）.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法5 因为kAB=34，kAc=-43，

所以A=π2.

所以A2=π4，此题中A2刚好为一特殊角.

下设∠A的内角平分线所在的直线的斜率为k，则用到角公式得：

tanπ4=k-（-43）1+k·（-43），

解得k=-17.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法6若lAB：A1x+B1y+C1=0，

lAc：A2x+B2y+C2=0，

则∠A的内角平分线和其外角平分线所在的直线方程各为以下之一：

（A1x+B1y+C1）-λ（A2x+B2y+C2）=0，

或（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0，

其中λ=A21+B21A22+B22.

该结论可通过点线距相等来证明.

结合本题题意，因为

lAB：3x-4y+14=0，

lAc：4x+3y-23=0，

所以∠A的内角平分线和其外角平分线所在的直线方程各为以下之一：

（3x-4y+14）-λ（4x+3y-23）=0，或

（3x-4y+14）+λ（4x+3y-23）=0，

其中λ=A21+B21A22+B22=1.

所以整理，得

x+7y-37=0，或

7x-y-9=0（舍去）.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法7 因为

ABAB+ACAC

=（4，3）5+（6，-8）10=（75，-15）

=75（1，-17），

结合直线的方向向量a=（1，k）可得到∠A的内角平分线所在的直线斜率为-17.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法8由题意，AB=5，AC=10.

设∠A的内角平分线与边BC的交点为D，

则ABAC=BDDC.

所以BD=13BC

=13（2，-11）

=（23，-113）.

所以D（203，133）.

又A（2，5），

所以kAD=-17.

直线AD的方程为x+7y-37=0.

即∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法9设点P（x，y）为∠A的内角平分线所在的直线上任意一点，则

AP·ABAP·AC=ABAC=12.

又AP=（x-2，y-5），

AB=（4，3），

AC=（6，-8），

所以4（x-2）+3（y-5）6（x-2）-8（y-5）=12.

化简，得x+7y-37=0.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

解法10设点P（x，y）为∠A的内角平分线所在的直线上任意一点，则AP在AB上的投影与AP在AC上的投影相等.

所以AP·ABAB=AP·ACAC.

又AP=（x-2，y-5），

AB=（4，3），AC=（6，-8），

所以4（x-2）+3（y-5）5=6（x-2）-8（y-5）10.

化简，得x+7y-37=0.

所以∠A的内角平分线所在的直线方程为

x+7y-37=0.

一题多解，能提升学生的解题能力，达到事半功倍的效果，这也是培养、发展其核心素养的重要路经.通过对以上10种解法的探析比较，可以巩固学生所学知识，扩展数学思维，开拓数学视野，最终达到提升其自身数学核心素养的目的.

參考文献：

[1] 庞启佳，肖刚.一道数学竞赛试题的多种解法[J].数理化解题研究，2021（22）：60-62.

[2] 姚舜予.探究角平分线所成的直线方程求解策略[J].数理化解题研究，2019（07）：33-34.

[责任编辑：李璟]