对一道高一期末考试题的解法探究与推广

摘要：文章通过对一道高一考试题的解法进行探究，从不同的视角回顾了解析几何解决问题的常用思路与方法，也得到了一些结论，对学生进一步深入学习解析几何做好了铺垫.

关键词：最小值;直线;斜率;定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0061-04

收稿日期：2021-12-05

作者简介：董强（1985-），男，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：陕西省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于学科核心素养的高中数学单元教学设计研究”（项目编号：SGH20Y0157）.[FQ）]

直线和圆是解析几何初步的重要研究对象，主要培养学生树立良好的“坐标法”意识，形成用代数的方法求解几何问题的基本解析思想，为后续进一步学习圆锥曲线打下坚实的基础.本文以2019年河南南阳一中高一期末考试直线和圆的综合性试题为例，通过对试题的不同解法进行探究，得到了一些有趣的结论，同时也促进学生对解析几何试题求解思路进行梳理与总结，提高学生学习数学的兴趣.

1 试题再现

题目（2019年河南南阳一中高一期末考试题）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于点A1，A2，B1，B2.

（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点（如图1），直线A1Q，A2Q与直线y+3=0分别交于不同的两点N，M，求MN的最小值;

（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点（如图2），直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设直线A2P的斜率为k1，直线EF的斜率为k2，求证：2k2-k1为定值.

2 解法探究

2.1 第（1）问解析

解法1符合题意的点Q应在x轴下方.

由对称性可知，点Q位于点B1时，MN最小.因为△A1B1A2∽△NB1M，OB1=2，A1A2=4，点B1到MN的距离等于1，所以MN=2，即MN的最小值为2.

解法2取MN的中点C，连接QC，因为∠MQN=90°，所以MN=2QC.

所以要求MN的最小值，即求QC的最小值.

由图1可知，当点Q位于点B1时，QC取得最小值，为-3-（-2）=1.

所以MN的最小值为2.

解法3符合题意的点Q应在x轴下方.

设Q（a，b），则-2≤b<0，易知A1（-2，0）.

直线A1Q的方程为y=ba+2（x+2）.

由y=ba+2（x+2），y=-3，得

N（-2-3a+6b，-3）.

同理，M（2-3a-6b，-3）.

所以MN=-2-3a+6b-2+3a-6b=-12b-4.

因为-2≤b<0，所以当b=-2时，MN的最小值为2.

解法4由题设可知，直线A2Q的斜率存在，设直线A2Q的方程为y=k（x-2）（k≠0）， 则直线A1Q的方程为y=-1k（x+2）.

由y=k（x-2），y+3=0，得x=2-3k，y=-3.

由y=-1k（x+2），y+3=0，得x=3k-2，y=-3.

所以直线A2Q与直线y+3=0的交点为

M（2-3k，-3）.

所以直线A1Q与直线y+3=0的交点为N（3k-2，-3）.

所以MN=3k+3k-4.

当k>0时，

MN=3k+3k-4=3（k-1k）2+2≥2，

当且仅当k=1时等号成立;

当k<0时，

MN=3k+3k-4

=-3（-k-1-k）2-10≥10，

当且仅当k=-1时等号成立.

故MN的最小值为2.

解析解法1和解法2数形结合，充分利用了圆的对称性、三角形的相似和直角三角形的性质等，解法3是最一般的常规思路，属于典型解法，解法4中对MN=3k+3k-4最小值的讨论还可以结合基本不等式或者对勾函数的性质等，注意对k进行分类讨论.

2.2 第（2）问解析

解法1由题意可知，A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，-2），B2（0，2）.

因为直线A2P的斜率为k1（k1≠0），所以直线A2P的方程为y=k1（x-2）.

由y=k1（x-2），x2+y2=4，得

P（2k21-2k21+1，-4k1k21+1）.

则直线B2P的方程为y=k1+11-k1x+2.

令y=0，得x=2（k1-1）k1+1.

即F（2（k1-1）k1+1，0）.

直线A1B2方程为x-y+2=0.

由x-y+2=0，y=k1（x-2），得E（2k1+2k1-1，4k1k1-1）.

所以直線EF的斜率

k2=4k1k1-12k1+2k1-1-2（k1-1）k1+1=k1+12.

所以2k2-k1=2×k1+12-k1=1为定值.

解法2设P（x0，y0），x0≠0，x0≠±2，k1=kA2P=y0x0-2（k1≠0），

所以直线A2P的方程为y=y0x0-2（x-2）.

直线A1B2的方程为y=x+2.

由y=y0x0-2（x-2），y=x+2，

得E（2x2+2y0-4-x0+y0+2，4y0-x0+y0+2）.

直线B2P方程为y=y0-2x0x+2.

令y=0，得x=2x02-y0，F（2x02-y0，0）.

直线EF的斜率

k2=4y0-2y20x20-y20-2x0y0+4y0-4=y20-2y0y20+x0y0-2y0.

所以2k2-k1=2（y20-2y0）y20+x0y0-2y0-y0x0-2=x0y20-2y20-y30-4x0y0+8y0x0y20-2y20-y30-4x0y0+8y0=1为定值.

解法3设F（t，0），P（x0，y0），E（x1，y1），则lA1B2：y=x+2，lA2P：y=k1（x-2），lFP：y=-2t（x-t），lEF：y=k2（x-t）.

由y=k1（x-2），y=-2t（x-t），

得P（2（k1+1）k1+2t，2（t-2）k1tk1+2）.

因为点P在圆O：x2+y2=4上，

所以（t-2）k21+2tk1+t+2=0.

又k1≠-1，所以k1=-t+2t-2.

由y=x+2，y=k2（x-t），得E（tk2+2k2-1，（t+2）k2k2-1）.

因为点E在A2P上，所以y1=k1（x-2）.

所以k2=-2t-2.

所以2k2-k1=-2t-2×2+t+2t-2=1为定值.

解析第（2）问中的三种证法都是通过直线方程求出交点的坐标，表示出有关直线的斜率，进而代入待求式子2k2-k1直接进行化简，有效考查了学生的运算能力，三种不同的设点方式化简时的难易程度不尽相同，解法2中最后一步要充分利用点在圆上符合圆的方程的特点有效代换，相比而言，解法3看似字母多，但实质化简简单，思路清晰.

3 结论推广

试题中的第（1）问对于任何圆而言，由对称性可知，均有点P在点B1处时到MN的距离最小，等于圆的半径.对于第（2）问而言，这个定值是1，圆的半径是2，那么这个定值是否与圆的半径有关？对于任意半径的圆，是否还有2k2-k1是一个定值？

结论1在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2.点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点（如图2），直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设直线A2P的斜率为k1，直线EF的斜率为k2，则2k2-k1为定值1.

证明设F（t，0），P（x0，y0），E（x1，y1），则lA1B2：y=x+r，lA2P：y=k1（x-r），lFP：y=-rt（x-t），lEF：y=k2（x-t）.

由y=k1（x-r），y=-rt（x-t），

得P（（k1+1）rtk1t+r，（t-r）k1rtk1+r）.

因为点P在圆O：x2+y2=r2上，

所以（t-r）k21+2t（t-r）k1+（t-r）（a+r）=0.

又k1≠-1，所以k1=-t+rt-r.

由y=x+r，y=k2（x-t），得E（tk2+rk2-1，（t+r）k2k2-1）.

因为点E在A2P上，所以y1=k1（x-r）.

所以k2=-rt-r.

所以2k2-k1=-rt-r×2+t+rt-r=1为定值.

评析从上述的探究证明中可以看出，即使圆的半径改变了，但依然保持2k2-k1是一个定值，是与圆的半径无关的常数1，这是圆的一种本质属性的反映，考虑到椭圆和圆具有很多相似的性质，该结论还可以在椭圆中进行进一步的推广.

结论2在平面直角坐标系xOy中，椭圆O：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2.点P是椭圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点（如图3），直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设直线A2P的斜率为k1，直线EF的斜率为k2，则2k2-k1为定值ba.

证明设F（t，0），P（x0，y0），E（x1，y1），则

lA1B2：x-a+yb=1，lA2P：y=k1（x-a），lFP：y=

-bt（x-t），lEF：y=k2（x-t）.

由y=k1（x-a），y=-bt（x-t），

得P（（ak1+b）tk1t+b，bk1（t-a）k1t+b）.

因為点P在椭圆O：x2a2+y2b2=1上，

故a2（t-a）2k21+2abt（t-a）k1+b2（t2-a2）=0.

又k1≠-ba，所以k1=-b（t+a）a（t-a）.

由y=bax+b，y=k2（x-t），得

E（ak2t+abak2-b，bk2（t+a）ak2-b）.

因为点E在A2P上，y1=k1（x-a），

所以k2=-bt-a.

故2k2-k1=-bt-a×2+b（t+a）a（t-a）=ba为定值.

解析对于结论1和结论2除了上述的证法之外，均有和原试题相似的其他证法，这里不再一一赘述.结论1可以看作是结论2的特殊情形.

参考文献：

[1] 董强.对一道圆锥曲线试题的解法探究与推广[J].理科考试研究，2019，26（11）：20-22.

[2] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2011.

[3] 董强.对一道高考模拟试题的推广探究[J].河北理科教学研究，2020（02）：49-50.

[责任编辑：李璟]