小题压轴、例析数列计数问题的几个思路

王永军

（重庆市广益中学校，重庆 400065）

填空题在高考数学试题中具有承前启后的作用，一般前承选择题、后启解答题，个别填空题还具有“压轴大题”的功能，想要“解答”清楚并非易事。数列中的计数问题是数列的基本的、核心的问题，数列的项数问题是数列求和的前期问题。本文主要结合近几年的高考数学试题中数列填空题中的计数问题，给出三个求解思路。

一、常规方法，直接感知

列举、写出数列的前几项，直接感知数列的通项公式，是计数问题的最基本、最常规的方法。

例题1（2020年高考新高考卷） 将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列，得到数列{an}，则{an}的前n项和为_______。

解析 分别写出数列{2n-1}与{3n-2}的前几项，发现公共项为1、7、13、19，……，于是可以猜测数列{an}是以1为首项、6为公差的等差数列。

an=1+(n-1)·6=6n-5，

综上所述，A=B，猜测正确。这样的推理过程在考试中是不允许的（主要是时间不允许、没时间），也是没有必要的。但是在平时的训练中应加强练习，增加对数列推理的一些感性认识，提升数学学习的兴趣[1-2]。

二、估算逼近，合情推理

一些看似简单的数列，要想精确的求解，需要对数列的项数不断进行“逼近”，要对项数进行合理、充分地估算，以合情推理达到求解的目的。

例题2（2018年高考江苏卷） 已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，AB中的所有元素按从小到大的顺序依次排列构成一个数列{an}。记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞12an+1成立的n的最小值为______。

解析 数列{an}的前几项是容易列举的，但本题是一个非常复杂的数列计数问题。

答案：27。

我们可以很容易写出数列{an}的前10项、前20项，而且数列中自然数排列的规律也很明显。现在采用估值逼近的办法对本题进行精致的求解[3-4]。

第一步，易见数列{an}是严格单调递增数列。

又a12=24=16，a13=17，欲使Sn＞12an+1成立，则n≥13。

而12a14-S13=117，a17=25，4a17＜117，故n≥17。

第二步，现用数学归纳法证明：若存在n（n≥17），使Sn＞12an+1成立，则Sn+1＞12an+2，即n+1也使不等式成立。

事实上，易见an+1＞24≥(an+2-an+1)，

于是Sn+1=Sn+an+1＞13an+1＞12an+2。

这表明，若Sn＞12an+1，则使其成立的n的最小值是存在的。

第三步，估算、逼近区间。

注意到a21=25=32，

而12a12=12·33=396＞318，故n＞21。

类似地，a38=26=64，S36=1023＞756＞12a37。

下面考虑21＜n≤36。

第四步，精准求解。

Sn=(1+3+…+2(n-5)-1)+(21+22+…+25)

=(n-5)2+(26-2)

＞12an+1=12(2(n-4)-1)

整理得，n2-34n+195＞0，

本题为了求和，对数列进行了细致地研读，合理分段、合情推理、步步逼近，以期达到精准计数的目的。

三、回归过程，生成有据

生活中很多有趣的手工活动为数列的应用提供了广阔的舞台，它们有的是我国古老的民间艺术、是我国传统文化的瑰宝、是非物质文化遗产，有着丰富的历史文化信息。

解析 本题折纸过程是清晰的，第一空用列举法，不难。第二空需要找到“数列的通项”，很难，体现了高考“压轴大题”的本色。

答案：5；720-15(n+3)·24-n

在求解第一空时用列举法会发现图形的“重复”，比如对折2次，会出现2次10dm×6dm规格的图形，但最后种数只算1次。随着对折次数的增加“重复”次数也会增加。这个计数必须搞清楚，否则Sn无法计算，求和就更无从谈起[5]。

无序的列举是繁杂的、徒劳的。要搞清楚计数问题，必须回归折纸的过程，看看“新”的矩形到底是如何产生的。

这样，对折后的小矩形好像有k+1种。问题是这k+1种小矩形有没有“重复”的？下面证明恰好有这么多。

显然，

重视数列的生成和发展，抽象、化归为常见的数列模型是处理数列问题的重要思想方法。注重在知识点的“交汇”处处理问题。补例4是数列与三角函数的交汇与融合，很好地考查了数学的应用意识，是值得关注与研究的考试试题题型。

四、备考反思

常规的列举法是考查数列中计数问题的最重要、最基本的方法。由列举而猜测数列的“通项”，仅此猜测对于考试中的填空题解答来说好像已经足够了。作为平时的练习作业，“先猜后证”是重要的数学学习方法（学习态度），也是科学研究的重要方法。“证”得多了，“猜”才有感觉、才有顿悟，可以减少盲目性、多一份自信。毕竟学习要知其然，更知其所以然。