例谈数学高考创新题的三种类型

徐 赛

(安徽省萧城一中)

有创新,才有发展.回顾历年高考数学真题,创新题层出不穷,精彩纷呈,令人回味.那么数学创新题一般会出现哪些类型呢?

1 题目结构形式新颖

题目结构形式新颖,就是打破常规,推陈出新.题目中会出现一些学生平素未见过的运算符号或数学元素,这类创新题能较好地考查学生的理解能力,是高考命题的亮点.

例1定义两个平面向量的一种新运算:a⊗b＝|a|·|b|sin〈a,b〉,关于这个新运算,有如下结论:

①a⊗b＝b⊗a;

②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b;

③若a＝λb,则a⊗b＝0;

④若a＝λb且λ＞0,则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c).

正确的序号是_________.

对于结论①,因为向量的模为实数,而且两个实数相乘具有交换律,故①正确;

对于结论②,λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a,b〉,且

当λ＜0时,λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立,所以②错误;

对于结论③,如果a＝λb,那么sin〈a,b〉＝0,所以a⊗b＝0成立,即③正确;

对于结论④,若a＝λb,则

又(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b,c〉＋|b|·|c|sin〈b,c〉＝|(1＋λ)b|·|c|sin〈b,c〉,故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)成立,即④正确.

这类问题表面上看信息量较大,但只要静心读题,细心演算,一般来说都可以顺利解答.

2 题目问题情境新颖

数学问题的呈现,通常是直截了当的,但有些问题却被蒙上了一层神秘面纱,这层面纱就是问题情境,问题情境可能是图形变化,也可能是数式变化,也可能是以上两种变化的综合,这类问题主要考查学生的应变能力和创新能力,解答这类问题要求学生具备一定的数学素养.

例2图1展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:实数m是区间(0,1)上的任何一个数,经过映射后它对应数轴上的点M,如图1-甲所示;把线段AB绕成一个圆,使端点A,B重合,如图1-乙所示;最后把这个圆放在平面直角坐标系中,使这个圆的圆心位于y轴上,且点A的坐标是(0,1),见图1-丙.设图1-丙所示中的直线AM与横轴相交于点N(n,0),那么m的象就是n,我们把它记作f(m)＝n.

图1

(1)方程f(x)＝0的解集是________;

(2)下列说法中,正确的命题序号是_________.

①f()＝1;

②f(x)是奇函数;

③f(x)在定义域上是增函数.

(1)f(x)＝0,就是说象点N就是原点O,即它们重合,这时AM就是圆的直径,所以的长为,也就是说点M的初始坐标是,且唯一,所以解集是

(2)对于①,m＝,就是的长为,于是所对的圆心角是直角,这样直线AM的倾斜角就是45°,直线AM的斜率为1,所以点N在原点O左边且NO＝OM,点N的横坐标为-1.由此可知＝-1,所以f＝1不成立.

对于②,f(x)的定义域是(0,1),它不关于原点对称,所以它既不是奇函数也不是偶函数.

对于③,当m增大时,的长也随之增大,这样会导致所对应的圆心角也随之增大,于是直线AM的倾斜角也增大,直线AM的截距,也就是点N的横坐标也增大,所以f(m)的值也随之增大,因此这种说法正确.

本题对函数性质的考查设置在图形变化这个新的问题背景下,重点考查函数的有关概念和函数的有关性质.如果学生会看图,能从图形变化中找出规律,那么就不难找到答案;如果学生看不懂图形的变化,那么这道题就具有一定的难度,正可谓“难者不会,会者不难”,或许这就是这类创新题体现出来的选拔功能.

3 问题的设问角度新颖

一个数学问题的意义在于问题的解决,命题者通常会直接给出题目及需解决的问题.但对于某些创新题来说,它的问法开放,或给出几个问题,让学生自己选择.这类设问角度新颖的问题,也是一种不可忽视的数学创新题.

例3某粮仓是如图2所示的多面体形状,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD是矩形,AB＝16m,AD＝4m,腰梁AE,BF,CF,DE分别与相交的底梁所成角均为60°.

图2

(1)请指出所有互为异面且相互垂直的“梁”,并说明理由;

(2)如果粮仓表面的厚度忽略不计,请计算该粮仓能否储存150m3的粮食.

(1)EF与AD,EF与BC,DE与BF,AE与CF.由已知,有EF∥AB,因为AB⊥AD,所以EF⊥AD.同理可得EF⊥BC.

如图3所示,过点E作EK∥FB交AB于点K,那么∠DEK是异面直线DE与FB所成的角,因为DE＝FB＝4,AK＝2×(4cos60°)＝4,DK＝所以∠DEK＝90°,即DE⊥BF,同理AE⊥CF.

图3

(2)如图4所示,过点E分别作EM⊥AB于点M,EN⊥CD于点N,连接MN,那么AB⊥平面EMN,所以平面ABCD⊥平面EMN,过点E作EO⊥MN于点O,则EO⊥平面ABCD.

图4

由题意知,AE＝DE＝AD＝4,且

所以O为MN的中点,则EO＝,即四棱锥E-AMND的高,再过点F作FP⊥AB于点P,FQ⊥CD于点Q,连接PQ.

原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且MP＝16-2-2＝12,所以

本题要求以“说理”代替论证,并与实际问题紧紧贴合,使命题的开放性与创新性得到进一步强化,形式虽然新颖,但考查目标没有改变,就是考查学生灵活应用立体几何知识解决实际问题的能力.本题设问独特,难度中等偏上.

从以上三类问题可以看出,解答创新题的关键在于转化,即化“新”为“旧”,解题策略是深入分析、多方联系,实现“以旧攻新”或“以新制新”.

(完)