一道高考题的拓展研究

陶建春

(首都师范大学附属苹果园中学)

一道好的题目,往往具有较为深厚的数学背景、丰富的知识内涵、创新的思维方式以及宽广的拓展功能.充分地对一道好题进行一定深度和广度的研究性拓展学习,往往能达到举一反三、深化认识的目的.下面对一道高考题进行拓展研究.

题目如图1 所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y＝f(x),则函数f(x)的最小正周期为_________;y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________.

图1

(说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC沿x轴负方向滚动.)

由图1可知,正方形上点的运动是具有周期性的,并且显然4是y＝f(x)的一个周期.那么4是否是y＝f(x)的最小正周期呢? 为了易于观察,我们不妨将P点置于坐标原点后观察其运动轨迹,如图2所示.

图2

由图2可知,点P的运动轨迹的一个周期为曲线PP1P2P3.所以函数f(x)的最小正周期为4,y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域即为曲线PP1P2P3与x轴所围区域,易计算出该区域面积为π＋1.

此题需要学生充分发挥空间想象能力和动态思维能力,很好地考查了学生对函数概念以及函数周期性的理解.

本题抽象性较强,在思维的广度和深度上都得到了考查,作为填空题最后一题,是一道非常不错的题.

1 对问题的研究性拓展

这道高考题考查的是函数的周期和函数与x轴所围区域面积,我们何不探究问题的根源,回归到函数的解析式呢? 于是提出一个新的问题.

变式1如图3 所示,将点P置于坐标原点后,使边长为1 的正方形PABC沿x轴滚动.则点P的运动轨迹y＝f(x)的函数解析式为____.

图3

显然y＝f(x)是一个以4为周期的函数,每个周期PP1P2P3又可以分为三段:PP1,P1P2,P2P3(如图2).PP1是以(1,0)为圆心,1为半径的圆(x-1)2＋y2＝1的一部分,其函数解析式为(0≤x＜1),P1P2是以(2,0)为圆心为半径的圆(x-2)2＋y2＝2的一部分,其函数解析式为(1≤x＜3),P2P3是以(3,0)为圆心,1为半径的圆(x-3)2＋y2＝1的一部分,其函数解析式为y＝(3≤x＜4).

再根据函数的周期性可得点P的运动轨迹y＝f(x)的解析式为

这里考查的是周期函数和分段函数,有3个难点.

1)能够分析出每个周期是由三段圆弧组成,并能够写出每段圆弧所在圆的方程;

2)能够将圆弧所在圆的方程转化为圆弧的函数解析式,此处范围是关键也是易错点;

3)能够利用函数图像的平移法则(或相关点法)写出周期函数的解析式.

此题涉及函数与方程、函数三要素、函数图像变换、分段函数、周期函数,知识综合性较强,能有效考查学生对知识的运用能力.

2 对条件的研究性拓展

将题中所给条件略加改动,又可以得到新的结论.

变式2如图4 所示,将点P置于坐标原点上方与原点距离为a处,使边长为1 的正方形OABC沿x轴滚动,则点P运动轨迹y＝f(x)的函数解析式为_________.

图4

显然y＝f(x)还是一个以4为周期的函数,但每个周期PP1P2P3P4,又可以分为四段:PP1,P1P2,P2P3,P3P4(如图5).其中,PP1是 以(1,0)为圆心为半径的圆(x-1)2＋y2＝a2＋1的一部分,其函数解析式为

图5

P1P2是以(2,0)为圆心为半径的圆(x-2)2＋y2＝a2-2a＋2 的一部分,其函数解析式为

P2P3是以(3,0)为圆心,1-a为半径的圆(x-3)2＋y2＝(1-a)2的一部分,其函数解析式为

P3P4是以(4,0)为圆心,a为半径的圆(x-4)2＋y2＝a2的一部分,其函数解析式为

再根据函数的周期性可得点P的运动轨迹y＝f(x)的解析式为

由于条件的不确定性,此题较变式1又增加了难度,主要在于如何根据题中所给的变量确定分段函数中每段所取的范围.

当然,我们还可以将条件进一步一般化,如将点P置于坐标(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1)处,使边长为1的正方形OABC沿x轴滚动,求点P的运动轨迹y＝f(x)的函数解析式,则将问题转化为点P为正方形(包括其内部)的任意点的情形,解决问题的方法与上述类似,可以让学生进一步思考,本文不再赘述.

3 对结论的研究性拓展

例题中给了两个结论:一是涉及周期,当点P位于正方形的顶点时,其运动轨迹的最小正周期为4;二是涉及面积,当点P位于正方形的顶点时,其运动轨迹在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为π＋1.

在此结论下,我们当然可以大胆地拓展:当点P位于正方形的其他位置时,其运动轨迹的最小正周期是否还为4呢? 其轨迹在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积是否为定值呢? 若不是定值,有没有最大值或最小值呢?

变式3若点P为正方形OABC(包括其内部)的任意一点,正方形OABC滚动时,点P运动的轨迹方程是y＝f(x),则函数f(x)的最小正周期可以为______.

我们知道,当点P位于正方形的边界时,其运动轨迹的最小正周期为4.那么当P点位于正方形内部时,最小正周期还为4 吗? 如图6 所示,当点P位于正方形的中心时,其运动轨迹的最小正周期为1.

图6

此时思考:正方形上(包括其内部)有最小正周期为4的点,有最小正周期为1的点,会不会也有最小正周期为2或3的点呢?

设点P坐标为(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1),则正方形OABC滚动时,点P的运动轨迹如图7所示.

图7

从图7中,我们可以看出显然点P在四次滚动过程中,坐标变化如下P(a,b)→P1(1＋b,1-a)→P2(3-a,1-b)→P3(4-b,a)→P4(4＋a,b).

由上述变化过程可知:

1)显然点P经过4次滚动到达点P4,又回到了初始位置,所以4一定是其周期;

2)若周期为3,即点P经过3次滚动到达点P3,要回到初始位置,需要满足的条件是解得a＝且b＝,即点P为正方形的中心;

3)若周期为2,即点P经过2次滚动到达点P2要回到初始位置,需要满足的条件是解得a＝且b＝,点P也为正方形的中心;

4)若周期为1,即点P经过1次滚动到达点P1要回到初始位置,需要满足的条件是解得a＝且b＝,点P也为正方形的中心.

由图6可知,当点P为正方形的中心时,运动的最小正周期为1,所以不存在运动轨迹的最小正周期为2或3的点.

综上,当点P位于正方形的中心时,运动轨迹的最小正周期为1,当点P位于正方形的中心以外的其他位置时,运动轨迹的最小正周期为4,所以变式3的答案为1,4.

解决数学问题强调的是严谨,大胆猜想之后需要的是完备的认证.

数形结合思想是高中数学最重要的思想方法之一,此题便将此方法体现得淋漓尽致.其一,将几何描述“点P为正方形OABC(包括其内部)的任意一点”转化为代数语言“设点P的坐标为(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1)”;其二,将几何描述“滚动n次后回到初始位置”转化为代数语言”理解到这两点,此题迎刃而解.

4 对能力的研究性拓展

变式4若点P为正方形OABC边上任意一点,正方形OABC沿x轴滚动,则点P的运动轨迹y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为S,求S的最值及相对应的点P位置.

如图8所示,由正方形的对称性,不妨将点P置于边OC上,且点P与原点距离为a(0≤a≤1).显然相邻零点的图像与x轴所围区域的面积即为4个扇形加上3个三角形的面积,而3个三角形经过拼接后能得到一个边长为1的正方形.因此可得根据二次函数的性质容易得到,当a＝时,Smin＝,此时点P位于正方形边长的中点位置,这样的点有4个;当a＝0或1时,Smax＝π＋1,此时点P位于正方形的顶点位置,这样的点也有4个.

图8

变式5在变式4的条件下,若y＝f(x)在其两个相邻零点间的轨迹的长度为C,求C的最值及相应的P点位置.

即g(a)等价于“线段y＝1(0≤x≤1)上一动点Q(a,1)到点O(0,0)与点A(1,0)的距离之和”(如图9).如图10所示,利用对称性和“两点间线段最短”的原理,可得当点Q位于线段中点,即a＝时,gmin(a)＝,当Q点位于线段端点,即a＝0或1时,gmax(a)＝＋1.

图9

图10

从特殊条件下的结论出发,引出一般条件下解决问题的方法,得到一个特殊的结论.这种特殊—一般—特殊的辩证思想方法是科学地发现问题、解决问题和实践问题的方法.

这两道变式题都通过数形结合的思想方法,巧妙地引入参数,用数解决形的问题(变式4中利用二次函数求解面积最值)、用形解决数的问题(变式5中利用图像求解函数最值),数和形的使用相得益彰,化难为易,既考查了空间想象能力和动态思维能力,又考查数学思想方法的运用能力和对数学本体知识的综合应用能力.

5 对兴趣的研究性拓展

变式6若将原题中的正方形改为圆,即点P为圆上任一点,圆沿x轴滚动,此时点P运动轨迹又是怎样的呢?

事实上,当圆沿x轴滚动时,点P的运动轨迹称为“摆线”,其参数方程为(a为圆的半径,θ指圆的半径经过的角度),如图11所示.

图11

并且,摆线还有一些有意思的性质.

1)它的长度等于旋转圆直径的4倍,尤为令人感兴趣的是它的长度是一个不依赖于π的有理数;

2)在弧线下的面积,是旋转圆面积的3倍;

3)圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度,事实上,在特定的地方它甚至是静止的.

题不在多,而在于精.若能充分挖掘一道题的内涵和外延,多研究、多拓展,不仅能对问题和知识有更加深刻的理解,还能够培养融会贯通、举一反三的能力.

链接练习

1.数学中有许多形状优美的曲线,如星形线,让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部,小圆沿着大圆的圆周滚动,小圆的圆周上任意一点形成的轨迹即为星形线.如图12所示,已知r＝1,起始位置时大圆与小圆的交点为A(点A为x轴正半轴上的点),滚动过程中,点A形成的轨迹记为星形线C.有如下结论:

图12

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8;

②曲线D:|x|＋|y|＝4的周长大于曲线C的周长;

③曲线C与圆x2＋y2＝4有且仅有4个公共点.

其中正确的序号为________.

2.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图13).给出下列结论:

图13

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中,所有正确结论的序号是( ).

A.①B.② C.①② D.①②③

链接练习参考答案

1.①③.2.C.

(完)