整体把握数学教材 发展学生思维张力

陈忆雯

【摘 要】小学阶段，数的认识是培养学生的数感、符号意识、运算能力等核心素养的重要基础。“小数”作为人类计数历史上重要的一环，凝聚着人类的创造力与智慧。小数的相关知识在数学“数的认识”中具有至关重要的作用，教师需要采用有效的策略，引导学生去探索数的认识及内容本质，并渗透核心素养中的数学方法;需要研究概念本质、追溯小数的本源、整体把握教材，进行有效的教学，使得学生的数学思维更具生长性和灵活性。

【关键词】小数教学 数学教材 意义 本质

毕达哥拉斯说：“数支配着宇宙。”数的认识是学习数学的基石。“小数的意义”是“数的认识”的一节种子课。理解数的意义、进行数的认识的教学研究，需要教师基于学生的数学学科核心素养，采用有效的策略与方法引导学生去探索、思考与理解数的内容本质，发掘其中体现的数学思想，以便培养学生的数学学科素养。笔者针对“小数”进行了大量的文献研究，并在教学实践中多次进行“小数的意义”的对比教学，发现生活中处处都有小数，但学生对于小数意义的理解存在一定困难。本文以“小数的意义”为例，从厘清概念、把握教材和研究数系三个角度，浅谈如何整体把握“小数的意义”的教学，同时发展学生的思维张力。

一、厘清概念，分析现状

（一）研究学生

从目前的教学现状来看，多数学生认为有小数点的数就是小数，或者比1小的数就是“小数”。这是源于关于小数的概念，教材上给出的定义是“我们可以把分母是10、100、1000的分数写成一位小数、两位小数、三位小数……”，这句话指出小数是十进制分数的一种特殊形式。把十分之几界定为小数的意义，并不能让学生从本质上去理解小数，学生的理解在课堂上没有得到正确的解释，因此出现了概念模糊的情况。

（二）研究概念

教师首先需要厘清概念。人们对数的认识是源于远古时期“结绳计数”所产生的自然数，自然数是对整数数量的抽象理解。但是后来人们在生产生活中遇到了当测量小于单位“1”的量时，自然数已经无法满足生产生活的需要，分数和小数也由此产生。比如：1厘米写成多少分米，用小数来表示就是0.1分米。从这一点来说，小数的教学重点和概念本质应该是用来表示小于单位“1”的数。

（三）研究教学

结合实际教学，对于小数概念的认识，教师不能只是满足于教学小数的书写、组成和小数与分数的转化等，而是需要思考一些更为本源的问题。例如，生活中已经有整数了，为什么还会出现小数？要把构建“小数”背后的数学思想方法用学生易懂的方式表达出来。

二、梳理体系，构建联系

（一）数的体系的关联性

研究小数的意义首先需要研究数的体系。笔者结合整个小学阶段“数的认识”的结构，进一步整理了整数、小数和分数的关系模式图（见图1）。小数的学习是在学生学习了整数和分数的基础上展开的，学生对数的认识是从最基本的整数开始慢慢扩展的。因此，教师要把分数和整数、小数和整数联系起来教学，否则学生就会觉得小数是全新的，与以往学过的知识没有关系。

小数的本源是数，教师需要迁移学生已有的知识经验，将小数与整数、分数进行连接﹐让学生感悟到数的体系内在的统一性，以便引导学生追溯小数的本源，感悟数的统一性。

（二）位置值的统一性

通过位置值将小数和整数联系在一起。可以借助1和0.1的关系为突破口（见图2），把十分为10份，得到1，1再接着平均分10份，每份就是0.1。从位值制来看，个位不够再往下分，需要创造新的数位，个位的右边就出现了十分位，学生熟悉的100、10、1和新认识的0.1、0.01、0.001就产生了联系。反过来看，10个0.1是1，10个1是10……与整数的十进制也是相同的。小数和整数正是通过十进制而连接起来了，最直观的体现就是计数器上从整数数位到小数数位的统一性。为了突破这个教学难点，教师可以利用正方体或者数轴，清楚地向学生解释两者之间的关系。

（三）数与生活的密切性

将小数回归于生活，就能解释小数和分数的关系。一是小数和分数之间的联系，小数是分母为10、100、1000……的分数的另一种形式;二是两者之间的区别，这一点与生活是密切相关的。关于生活中人民币的使用，如果都用分数，在付钱和找零时会比较麻烦。为了更加方便生活，也为了方便计算，就出现了和整数的位值计数以及算理都比较一致的小数。

三、研读教材，优化策略

为了更好地把握“数的认识”的教学，教师需要研读教材，抓住教学内容的重难点，分析教材的编排意图。笔者在研究小数概念内容的基础上，分析不同版本的教材，总结出以下三个关键教学策略：

（一）依托经验，引发认知需求

著名数学家兼心理学家斯根普认为，数学概念的教学有基本原则：超过个人已有概念层次的高阶概念不能用定义方式来沟通，只能搜集有关例子供其经验，再靠他自己抽象以形成概念。

有了整数，为什么还需要小数？为了解决这个问题，笔者深入研究了教学内容，对比分析多版本教材的优势，发现数来源于生活，小数的产生是因为生活的需要。在教学中，教师可以借助生活情境引发小数产生的需求。

例如，人教版数学教材设计了贴近生活的问题情境（见图3）：用尺子去测量讲台的长度是1米多一点，但是又不到2米，用米做单位多出的部分不够1米。学生已有的知识无法解决这个问题，认知产生了冲突，不能得到一个整数的结果，自然引发了小数产生的需求。

基于以上分析，笔者在教学中对于小数的引出是通过设计实际的生活情境：测量同学的身高。（见图4）

【片段1】

师：这名同學的身高是多少米呢？

（学生有点犹豫）

师：能用1.4米表示吗？

生：不能。

师：能用1.5米表示吗？

生：也不能。

师：现在用这把尺子能否准确量出他的身高呢？

生：不能。

师：一位小数不能表示这名同学的身高，谁能帮忙改进一下？

生：将这一格再分一分（将0.1米再细分单位成0.01米）。

师：怎么分？

生：平均分成10份。

师：把0.1米也就是1分米平均分成10份，每份是多少？

生：1厘米，也就是米。

师：用小数表示就是0.01米。

从生活出发，通过创设测量学生身高的情境自然而然地引出了小数产生的需求，引发了学生的认知冲突，推进了学生主动思考。这样的情境设计，没有刻意地标示课题，但无形中已经在学生心中播下学习小数的种子了。测量身高的过程更是体现出了小数的本质：由于生活中整数无法满足需求，需要单位的再细分，从而产生更小的计数单位，引出两位小数的认识。学生学习的种子会生根发芽，思维也潜移默化地影响着他们。

（二）丰富表征，呈现多维视角

华罗庚教授曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。”数学课程标准强调，“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维”。完善小数的意义，要让学生经历小数从生活中来，再借助图形表示数形结合的过程。分析各版本数学教材，其对于小数的表征方式，都采用了从生活到图形，再到抽象的数的方式。从尺子或者钱币出发，引出小数的认识，再借助图形，用正方形表示一位小数和两位小数，最后由面到体，用正方体来表示三位小数。这样一种从具体到抽象的过程，从平面图形到立体图形的多维递进，使得学生对小数的认识更加具有层次性。比如：一维的正方形，可以解决学生理解0.1和0.01这一教学难点。教学设计如下：

【片段2】

师：最左边这一条（见图5）是把正方形平均分成10份，那每份是多少？

生：0.1。

师：第2条这一小格通过量一量发现也是平均分成10份，每份还是0.1吗？

生：不是，是0.01。

师：都是平均分成10份，这里为什么是0.01？

生：因为0.1是把正方形平均分成10份，0.01是把0.1平均分成10份。

小数的教学是数的教学，将小数的意义从生活实物再到图形中的面积关系和体积关系，是一个数形结合的过程。0.1的意义不能局限于生活中的物体，借助几何可以更加清楚完整地描述小数的意义，0.1不仅存在于长度中、人民币中，也存在于面积中、体积中……这样小数意义的构建才是逐步完整的。

以上片段的教学设计不仅体现了几何直观的数学素养，也渗透了推理能力的培养。让学生由如何得到0.1推理出0.01，学生对于小数意义的理解上升了一个台阶。推理能力是数学学习的十大核心概念之一，是数学学习的一种基本思维方式。

（三）借助分数，架构理解桥梁

从小数与分数的关系来说，各版本数学教材都是借用分数作为小数理解的桥梁，并没有直接教学小数，如苏教版数学教材（见图6）。

分数与小数是紧密关联的，小数的实质是一种特殊的分数。在概念的理解上，小数和十进制分数应该有对应的关系，比如0.1和，0.01和……从学生的角度来分析，小数的认识在分数之后，此时学生已经能够说清分数的意义，在此基础上学习小数的意义更加水到渠成。例如，目前教學中普遍存在的一个问题：教师不能说清楚什么是一位小数、两位小数和三位小数，仅仅是从形式上进行概括，像0.01、0.21这样的小数点后面是两个数的小数，我们称之为两位小数。其实，理解其本质可以借助分数，因此，笔者在教学中借用分数作为理解小数意义的桥梁。

本课内容的教学，在学生知道0.1是一位小数的基础上，很容易推理出0.01是两位小数。学生真的理解两位小数的意义吗？笔者针对这一问题，认为可以在新授完小数后，进行一位小数、两位小数和三位小数的对比总结，借助小数和分数的联系来定义一位小数、两位小数和三位小数（见图7）。

【片段3】

师：0.1、0.6和0.9我们知道是一位小数，今天我们学习的是几位小数？第二列都是？

生：两位小数。

师：第三列都是？

生：三位小数。

师：你发现了什么？

生：分母为10的分数可以写成一位小数，分母为100的分数可以写成两位小数，分母为1000的分数可以写成三位小数。

由此，教师巧妙地借助分数和小数的联系对几位小数进行了定义，对比总结出了不同数位的小数和分数的关系。往下再思考，学生还能说出四位小数、五位小数就是分母为10000、100000的分数……学生对于数的思维的理解从浅层的数形式理解提升了一个台阶：原来小数和分数是有关系的。如此，通过知识的联系提升了学生思维的发散性。

小数的意义是数的认识教学中值得持续研究的主题，有一些可以遵循的规律，还有许多需要探索的问题。小数的认识教学，需要对教材进行整体的研读，把握教学重点，突破教学难点，思考小数的教学的本质，提升学生的数学素养和思维的张力。

注：本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015年度重点课题“小学数学高效教学的校本实践研究”（编号：B-a/2015/02/045）的研究成果。

【参考文献】

[1]徐明旭.深入研读教材，把握教学实质——《小数的意义》教材对比研读[J].数学教学通讯，2016（22）.

[2]马云鹏.“数的认识”及其教学设计 [J].小学数学教育，2018（3）.