巧同构 妙分离

林敏

[摘 要]含参不等式恒成立问题是高中数学学习的一大重点，它以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受命题者青睐，而同构思维法是破解此类问题的常见思维方法之一。

[关键词]不等式;恒成立;分类讨论;同构;分离参数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0029-03

含参不等式恒成立问题是高中数学学习的一大重点，它往往综合函数、不等式、方程等相关知识，注重考查数学运算、逻辑推理等素养，以及函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等。其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受命题者青睐。含参不等式恒成立问题切入点不明显，让人无从下手，破解的实质是结合题目条件对恒成立不等式进行等价转化，合理转化为熟悉的不等式、函数或方程问题后，根据相应的不等式、函数或方程问题来分析与处理。

一、题目呈现

【题目】（清华大学2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试文科数学试卷第12题）已知不等式[x+aln x+1ex≥xa]对[x∈（1，+∞）]恒成立，则实数[a]的最小值为（ ）。

A. [-e] B. [-e2] C. [-e] D. [-2e]

二、题目解析

此题涉及指数、对数、幂混合型函数所对应的不等式恒成立，在此条件下确定对应参数的取值范围问题。知识融合度大，能力要求多，题目难度大，对考生的数学基本知识、数学思想方法和数学能力等各方面的要求比较高。

该题背景创新，设计新颖，把指数、对数、幂函数这三类基本初等函数加以巧妙融合，综合不等式恒成立这一个热点加以合理构造，把函数、方程、不等式等知识有机交汇，借助代数运算、不等式性质、函数与导数等相关方法来转化与处理，充分体现高考在知识交汇处命题的指导思想。

在具体破解题目时，可以结合参数的不同取值情况进行分类讨论，也可以利用同构函数或重要结论，运用分离参数法分析与处理。合理化归与转化，实现相应函数最值问题的确定，进而得以求解相关参数的取值问题。

三、问题破解

方法1：分类讨论法

解析：由[x+aln x+1ex≥xa]，可得[x+e-x≥xa-aln x]，即[e-x-ln e-x≥xa-ln xa]，

设函数[f（t）=t-ln t]，[t∈（0，+∞）]，

所以[e-x-ln e-x≥xa-ln xa]等价于[f（e-x）≥f（xa）]，[x∈（1，+∞）]，

而[f ′（t）=1-1t=t-1t]，由[f ′（t）=0]可得[t=1]，

则知函数[f（t）]在（0，1）上单调递减，在[（1，+∞）]上单调递增，

所以[f（t）min=f（1）=1]，

而[x∈（1，+∞）]，则有[0<e-x<e-1=1e<1]，

（1）当[a=0]时，[xa=1]，不等式[f（e-x）≥f（xa）]恒成立，因而[a]的最小值小于等于0;

（2）当[a<0]时，[0<xa<1]，

而[0<e-x<1]，[f（t）]在（0，1）上单调递减，

由[f（e-x）≥f（xa）]，可得[e-x≤xa]，整理可得[-x≤aln x]，则有[a≥-xlnx]，

设函数[g（x）=-xlnx]，[x∈（1，+∞）]，求导有[g′（x）=-lnx-1ln2x]，由[g′（x）=0]可得[x=e]，

当[x∈（1， e）]时，[g′（x）>0]，[g（x）]单调递增;当[x∈（e，+∞）]时，[g′（x）<0]，[g（x）]单调递减;

所以[g（x）max=g（e）=-e]，即[a≥-e]，亦即实数[a]的最小值为[-e]，故选C。

点评：对题目中恒成立的不等式加以等价变形，构造函数[f（t）=t-ln t]，通过求导并分析函数单调性与确定最值，再对参数[a]进行分类讨论以及深入分析函数的单调性，得到不等式[-x≤aln x]恒成立，进而通过分离参数，并结合函数的构造，以及函数的单调性与最值的求解来确定参数的取值范围。这里分离参数的方式多样，还可以分离为[xlnx≥-a]或[-1a≥lnxx]等不同形式，都能达到目的。

方法2：同构+分离参数法

解析：由[x+aln x+1ex≥xa]，可得[x+e-x≥xa-aln x]，即[x+e-x≥xa+ln x-a]，

设函数[f（x）=x+e-x]，[x∈（1，+∞）]，則[f（ln x-a）=ln x-a+e-lnx-a=ln x-a+xa]，

所以[x+e-x≥xa+ln x-a]等价于[f（x）≥f（ln x-a）]，

而[f ′（x）=1-e-x>0]，则函数[f（x）]在区间[（1，+∞）]上单调递增，

所以[x≥ln x-a=-aln x]，分离参数可得[a≥-xlnx]，

设函数[g（x）=-xlnx]，[x∈（1，+∞）]，则[g′（x）=-lnx-1ln2x]，

令[g′（x）=0]，解得[x=e]，

当[x∈（1， e）]时，[g′（x）>0]，[g（x）]单调递增;当[x∈（e，+∞）]时，[g′（x）<0]，[g（x）]单调递减;

所以[g（x）max=g（e）=-e]，即[a≥-e]，亦即实数[a]的最小值为[-e]，故选C。

点评：对题目中恒成立的不等式加以等价变形，使得不等号两边呈现出形式完全一样的函数结构，利用函数[f（x）=x+e-x]进行同构处理，并深入分析函数的单调性，得到不等式[x≥-aln x]恒成立，进而通过分离参数，并结合函数的构造，以及函数的单调性与最值的求解来确定参数的取值范围。

方法3：结论+分离参数法

解析：由[x+aln x+1ex≥xa]，可得[x+aln x+1ex≥elnxa]，即[x·ex+a·exln x+1≥ex·elnxa]，

整理可得[x·ex+a·exln x+1≥ex+aln x]，

根据重要结论“[ex≥x+1]，当且仅当[x=0]时等号成立”，可得[ex+aln x≥x+aln x+1]，当且仅当[x+aln x=0]时等号成立，

则有[x·ex+a·exln x+1≥ex+aln x≥x+aln x+1]，整理可得[aln x（ex-1）≥x（1-ex）]，

而[x∈（1，+∞）]，则有[ex-1>0]，[ln x>0]，

则有[aln x≥-x]，分离参数可得[a≥-xlnx]，

设函数[g（x）=-xlnx]，[x∈（1，+∞）]，则[g′（x）=-lnx-1ln2x]，

令[g′（x）=0]，解得[x=e]，

当[x∈（1， e）]时，[g′（x）>0]，[g（x）]单调递增;当[x∈（e，+∞）]时，[g′（x）<0]，[g（x）]单调递减;

所以[g（x）max=g（e）=-e]，即[a≥-e]，亦即实数[a]的最小值为[-e]，故选C。

点评：对题目中恒成立的不等式加以等价变形，根据重要结论“[ex≥x+1]”加以过渡与转化，结合不等式的基本性质加以变形与分析，得到不等式[x≥-aln x]恒成立，进而通过分离参数，并结合函数的构造，以及函数的单调性与最值的求解来确定参数的取值范围。

四、变式拓展

探究1：保留题目所有条件，改变问题的设问方式，改原来确定“实数[a]的最小值”为确定“实数[a]的取值范围”，从另一个角度来合理设问，得到以下对应的变式问题。

变式1：已知不等式[x+aln x+1ex≥xa]对[x∈（1，+∞）]恒成立，则实数[a]的取值范围为（ ）。

A. [-e，+∞] B. [-e2，+∞]

C. [-e ，+∞] D. [-2e ，+∞]

答案：C。该问题的具体解析过程与原问题的解析过程一致，这里就不多加以叙述。

探究2：保留题目的创新情境，改变条件中恒成立的不等式的给出方式，以类似的不等式形式来加以变式与拓展，得到以下相应的变式问题。考查的知识点、能力点以及试题难度基本相当。

变式2：已知不等式[eax+ln x≥（a+1）x]對[x∈（1，+∞）]恒成立，则正实数[a]的最小值为（ ）。

A. [1e] B. [e] C. e D. e2

解析：函数[y=ex-x]在[（0，+∞）]上为增函数，而原不等式即为[eax-ax≥x-ln x=eln x-ln x]，则知[ax≥ln x]，即[a≥lnxx]，

令函数[h（x）=lnxx]，则[h′（x）=1-lnxx2]，

令[h′（x）>0]，解得[0<x<e];令[h′（x）<0]，解得[x>e]，

故函数[h（x）]在区间[（0， e）]上单调递增，在区间[（e，+∞）]上单调递减，

所以函数[h（x）]的最大值是[h（e）=1e]，即[a≥1e]，故选A。

探究3：保留题目的创新情境，从另一个层面改变恒成立的不等式的给出方式，进而确定参数的取值范围，得到以下对应的变式问题。考查的知识点、能力点以及试题难度基本相当。

变式3：已知关于[x]的不等式[exx3-x-aln x≥1]对于任意[x∈（1，+∞）]恒成立，则实数[a]的取值范围为（ ）。

A. [-∞， 1-e]   B. [-∞，-3]

C. [-∞，-2] D. [-∞， 2-e2]

解析：由题意可知，分离参数[a≤x-3ex-x-1lnx]，令函数[f（x）=x-3ex-x-1lnx]，

由题意可知[a≤f（x）min] ，由于[f（x）=ex-3lnx-1-xlnx]，

又因为重要不等式[ex-1≥x]，当且仅当[x=0]时等号成立，

所以[f（x）=ex-3lnx-1-xlnx≥x-3lnx-xlnx=-3]，当且仅当[x-3ln x=0]时等号成立，

由[13=lnxx]，令函数[h（x）=lnxx]，则[h′（x）=1-lnxx2]，易知[h（x）]在区间[（0， e）]上单调递增，在区间[（e，+∞）]上单调递减，

所以函数[h（x）]的最大值是[h（e）=1e>13]，方程[13=lnxx]有解，[a≤-3]，故选B。

五、解后反思

解决含参不等式恒成立问题，经常要对恒成立的不等式加以移项、恒等变换等等价变形，借助不等式左右两边呈现出形式、函数类型完全一样的状态，进而构造对应的函数，结合求导等方法来判定对应函数的单调性后再分析与解决，这就是处理此类问题的同构思维。运用同构思维法破解含参不等式恒成立问题时，关键在于突破命题者巧妙设置的原先形式明显、规划整齐的式子，而在题目条件中所显示的是打乱后重新排列的看似杂乱无章的式子，这也是问题的切入点所在，可以很好地考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力。当然也可以借助其他思维方式来破解此类问题，无论采用哪种破解策略、何种解题方法来处理，都离不开函数与方程思想的运用，都离不开逻辑推理与数学运算，同时还需借助函数、不等式、方程之间的相互转化与应用等。

（责任编辑 黄春香）