寻找动点中的全等三角形

文／张君翔

（作者单位：江苏省太仓市双凤中学）

全等三角形和动点相结合往往会产生意想不到的效果，这时，只知道全等三角形的5 种判定方法已经远远不能满足解题的需要。因此，本文选取两个例题来进行探究，希望对同学们有所帮助。

例1如图1 所示，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB边上的中点，如果点P在BC边上以3cm/s 的速度由B向C运动，同时点Q在CA边上由点C向点A运动。

图1

（1）若点Q的速度与点P的运动速度相等，1 秒钟时，△BPD和△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点Q的速度与点P不相等，点Q的速度为多少时，△BPD和△CQP全等？

【解析】本题是以一个等腰三角形为背景，在两个动点运动的过程中，产生三角形全等。题目已经明确了要证明的全等三角形，接下来就是要分析两个三角形中的相等条件。

（1）如图1，因为在等腰△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，这是本题中始终存在的相等条件，和动点的运动无关。1 秒钟时，因为点P的速度和点Q的速度相等，所以我们可以求出两个动点的运动路程，即线段BP和线段CQ的长度，均为3cm，线段PC的长度是6cm，因此可以得到全等的三个相等条件，即BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，所以△BPD≌△CQP。

（2）首先∠B=∠C是仍然成立的，但是此时与第（1）问中不同的是点Q和点P的运动速度不同，那就说明BP≠CQ，那如果三角形△BPD和△CQP全等，则必然会有对应相等的关系。根据“相等即对应”，我们可以分析得出B点与C点对应，P点和Q点是不对应的，那么只可能是点P与点P对应，点D与点Q对应，即△BPD≌△CPQ，则有BP=CP，BD=CQ，通过这两组边相等，先求出BP=4.5cm，t=1.5s，CQ=6cm，所以点Q的速度为4cm/s。

例2如图2，在四边形ABCD中，BC=AD=10cm，AB=CD，BD=14cm。点E从D出发，以2cm/s 的速度沿着DA向终点A匀 速 运 动，点F从 点C出 发，以5cm/s 的速度沿着C→B→C匀速运动，点G从B点出发，向终点D匀速运动。三点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒。

图2

（1）证明AD∥BC。

（2）在移动的过程中，有没有△DEG与△BFG全等的情况出现？请探究这样的情况会出现几次，分别求出此时的运动时间t和G点的运动速度。

【解析】本题是在一个平行四边形背景中的动点问题。题目中一共有三个动点，要证明△DEG与△BFG全等，首先分析这两个三角形中已经存在的相等条件，然后讨论这两个三角形全等分类的标准，从而确定动点的运动情况。

（1）要证明AD∥BC，只要证明四边形ABCD是平行四边形即可。

（2）由（1）可得∠GBC=∠ADB，那么△DEG与△BFG就有一对角对应相等，围绕这一对角相等产生的全等，考虑是“SAS”全等的情况，也就是在BG、BF和DE、DG中出现两组边相等，那就有2 种可能，即①BG=DE，BF=DG或者②BG=DG，BF=ED。设G点的速度为xcm/s，则BG=xt，DG=14-xt，DE=2t，因为C点是从C→B→C，所以BF=10-5t（0≤t≤2）或BF=5t-10（2＜t≤4）。