不同边界条件下的悬链线确定方法

蒋旭 李乡安

摘要：在工程设计中使用直接法对悬链线问题进行数值求解时，往往需要推导特定边界条件下的补充方程，这对一般设计工程师来说存在极大的困难。针对悬链线各种边界问题所对应的补充方程缺乏系统总结的现状，首先推导悬链线的四种工程上常见边界条件下的补充方程，然后分别使用Matlab和Ansys通过四个不同类型算例验证了所推导补充方程的正确性。

关键词：边界条件;悬链线;补充方程;数值法;有限元法

中图分类号：TP39收稿日期：2022-01-14

DOI： 10.19999/j.cnki.1004-0226.2022.04.008

l 悬链线定义和介绍

著名的悬链曲线问题，即一根两端固定绳子，依靠白身重量下垂所形成曲线形状。伽利略就曾推测过悬链曲线是一条抛物线，该问题曾经一直困扰着15～17世纪欧洲数学家。直到1691年，才由雅各布·伯努利利用微积分的方法解决了这一难题。

在现实生活中能找到大量的悬链线应用实例，例如：兩电线杆之间的输电线、悬索桥上的悬索、晒衣服的绳索、皮带轮上的皮带、白行车的链条、液压软管、起重机臂架上的钢丝绳等悬索结构的下垂[1]。这些绳索结构下垂的变形形状都可用经典的悬链线方程来描述（图1）。通过对悬索结构所形成悬链线形状的研究，可以得到实际工程中悬索结构的张紧力、下垂量、弦距等重要参数，为悬索结构空间布置、张紧力控制、强度校核、十涉评估等设计工作提供重要参考[2]。

将一般悬索结构抽象为满足以下两个假设条件的力学模型：悬索质量、刚度分布均匀，轴向刚度无穷人;悬索只能承受轴向拉伸作用不承受压缩、剪切、弯曲作用。为了描述方便，首先建立如图1所示的坐标系，将坐标系y轴固定在悬链线的对称轴线上且数直向上，x轴垂直于y轴且平行于水平面，从悬链线的左端点指向右端点。根据高等数学知识[3]，悬链线的方程为：

（1）

（2）式中，a为悬链线最低点的y坐标，m;FH为悬链线对称轴线处所受到的水平拉力，N;p为悬链线的线密度，kg/m;g为重力加速度，取9.81 m/s2。

如图1所示，悬链弧线上的动点离左、右端点连线所构成弦线的最人距离d.称为该悬链线的弦距;悬链弧线上的左、右端点中的较低点与悬链线上的最低点的y坐标差d2称为下垂量。

在实际工程问题中，悬索结构左、右端点一般相对固定，即它们x、y方向坐标差是确定的，设左、右端点Y、y方向的坐标差分别为

，

;由悬链曲线的左右对称性，同样不妨设

>O和

≥O，即假设右端点始终不低于左端点，左端点的x坐标为x0;由式（1）得到了悬链线左、右两端点高度差关系式（3）。式（3）包含左端点的x坐标x0和悬链线最低点的y坐标a这两个未知数，欲唯一确定一条悬链曲线，就需要根据不同边界条件来补充一个方程。

（3）式中，x0为悬链线左端点x坐标，m;

为悬链线左、右端点x坐标的坐标差值，m;

为悬链线左、右端点y坐标的坐标差值，m。

2 悬链结构计算技术现状和拟开展工作

由于悬链线方程是一组关于x0和a非线性超越方程组，不存在固定的解析解。目前，求解悬链线问题的主流方法有间接法和直接法[4-5]。

间接法主要利用非线性有限单元法，将悬链线看成只能承受压力的杆单元，其在自重载荷和两端约束作用下的白然变形就是对应的悬链线方程。求解过程可应用成熟的有限元软件来完成。通过不断地修改材料的弹性模量和单元内初始的初始应力，找到一组适当弹性模量参数和内应力参数，满足悬索边界条件（如水平张紧力、弦距、弧长、下垂量等要求）的最终形状。

利用有限元法求解悬链线问题可摒弃多种假设，可考虑更多复杂因素，如悬索的不均匀性、悬索上可加额外的载荷、绳索可抗弯、抗剪切，呈现出的计算结果也非常直观。工程实践中有限元法唯一的缺点就是效率低下，在计算过程中需不断调整材料的弹性模量和单元初始的应力或应变。

直接法利用数值求解方法，根据各种给定的边界条件，编制非线性求解程序，对悬链线方程组进行直接求解。主流求解方法有牛顿法、梯度法、共轭方向法、BFGS法、单纯形法，市场上许多成熟数学软件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD都内置这些数值求解方法，极大降低了求解这类非线性问题的门槛。数值法具有直接、输入参数少、求解速度快等优点，缺点是悬链线的边界条件发生变化方程组的形式也相应发生变化，需找到不同边界条件下所对应的补充方程，而目前各种文献和工程软件对悬链线各种边界问题所对应的补充方程缺乏系统的总结和归纳。

本文拟开展下面工作：首先系统推导四类常见边界条件下所对应的补充方程，便于使用直接法求解不同边界条件下所对应的悬链线方程，提高工程师设计效率;然后分别使用直接法和间接法对所推导的补充方程的正确性进行验证。

3 悬链线常见的几类边界条件问题

在实际悬索结构设计工作中，经常遇到以下四类边界条件问题。

第一类问题，当悬索结构左右端点的坐标差确定，需将悬索强度或平均应力控制在一定范围内，避免悬索结构绷得太紧而断裂和过于松弛，即悬索的水平拉力FH大小已知时，来确定该状态下悬链线曲线具体形状。

第二类问题，在空间布置非常紧凑部件内部，悬索结构左、右端点水平布置且坐标差确定，需将悬索结构的下垂量d2控制在一定安全范围内（图2a），避免悬索结构与其它运动部件发生干涉现象，避免产生不必要磨损和异响。

第三类问题，在第二类问题的基础上，将整个悬索结构沿悬索结构所在平面旋转一定角度后，悬索结构所形成悬链线在重力作用下会发生变化（图2b，，且水平拉力FH人小也会相应发生变化，这时需将悬索结构的弦距d.控制在一定安全范围内。FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8

第四类问题，当悬索结构左、右端点的坐标差确定，且悬索结构的总长度为定值L0，研究所形成悬链线的水平拉力FH、弦距d1、下垂量d2。

综上所述，当左右端点的坐标差确定时，存在如下几类常见边界条件下求悬链线方程问题[6-7]：

a.绳索的水平拉力Fu大小已知，求悬链线方程。

b.绳索下垂量d2人小已知，求悬链线方程。

c，绳索弦距d1.大小已知，求悬链线方程。

d.绳索左右端点弧长已知，求悬链线方程。

4 各类边界条件下补充方程

4.1 悬链线导数及弧长方程

对式（1）求导数可得到悬链线上任意一点x处的斜率方程g（x）;利用弧长公式可求得到左、右端点AB间的弧长公式（5）。为了方便实际编程，令h（x）等于式（6），将式（5）改写为式（7）。各公式如下：

（4）

（5）

h（x）=

（6）

SAB=h

（7）

4.2

a类问题补充方程

当绳索的水平拉力FH大小已知时，根据式（2）可求得a，最后联合方程式（3）可求得到悬链线方程左端点坐标x0。

4.3 b 类问题补充方程

当绳索下垂量d2大小已知时，即已知左端的与最低点自坐标差等于d1，可使用式（8）来描述。联合式（3）和式（8）可求得a和x0。其中，x0需满足小于零的条件。

f（x0）-f（0）=d1

（8）

4.4 c 类问题补充方程

当绳索弦距d1大小已知时，根据解析几何知识，曲线上离弦距离最远点XM即为曲线上切线斜率等于弦斜率的点。根据式（9）可得到最远点的x坐标xM的方程;当知道最远点坐标后，可利用点到直线的距离公式，建立弦距d1有关方程式（10）。联合式（3）、式（9）、式（10）可求得a、x0和XM0 XM需满足在左、右端点之间的条件，即x0

（9）

（10）式中，xM为悬链线弧上离AB弦距离最远点的x坐标，m。

4.5 d類问题补充方程

当绳索左右端点的弧长L0大小已知时，根据式（7）可得到AB两点间的弧长公式（II）。联合式（3）、式（II）可求得a，YO。

h（xo+

x） - h（xo）= Lo

（II）式中，L0为悬链线弧AB总长度，m。

5 正确性验证

为了验证以上推导的四类边界条件补充方程的正确性，设计了如表1所列4个不同边界条件类型的算例，住所有算例中，假设悬索结构的两端分别固定在A、B两点，它们之间的坐标差

、

见表1，悬索结构的等效线密度为4.6 kg/m，试求悬索结构在各类边界条件下的水平拉力Fu大小。

首先，分析列出各算例在指定边界条件下的补充方程;其次，利用数学软件Matlab中fsolve函数对式（3）和对应的补充方程所组成的非线性方程组进行数值求解，得到悬链线曲线（图3）对应的最低点y坐标a、左端点Y坐标x。、水平拉力Fu;然后，将所得到的悬链曲线分隔成50 mm长的小段（在有限元软件中长度单位设置为mm），导入到有限元软件Ansys中，设置悬索结构等效密度，选择link180单元模拟悬索结构，设置该单元只能承受拉力，加一定大小的初始预应力，打开人变形开关，约束两端点处节点的所有平动自由度，对模型进行非线性求解（图4），提取水平拉力Fu值;最后，将两种方法计算结果进行对比（表1）。

从表1可以看出，利用本文所推导的补充方程计算出的结果与有限元软件的结果相对误差在水平拉力0.5%以内。同时从图4也可以看出，在四个算例中，有限元计算出的悬链线与直接法所得到的曲线上对应取样点的最大相对误差只有1.52 mm，充分证明了本文所推导四类边界条件所对应补充方程的正确性。

使用所推导四类边界条件补充方程，可一次性快速求解这四类问题悬索结构形成的悬链线，避免有限元软件繁琐的操作和多次试算，极人提高了设计效率。

若使用有限元软件求解变截面、局部受载、刚度变化的悬索结构求悬链线问题，也可使用这四类边界条件补充方程求出悬链线的初始构形，将所得到初始构形导入到有限元软件，可人幅降低调试参数时间并提高收敛速度。

6 结语

本文分别推导了在悬索结构左、右端点固定下，水平拉力FH、下垂量d2、弦距d，、悬链线弧长均已知的四类边界条件下悬链线的补充方程：通过设计了四个不同边界条件类型的算例，对推导的四类边界条件补充方程正确性进行验证：通过使用Matlab对算例中指定边界条件下的补充方程所组成的非线性方程组进行数值求解，将所得到悬链线导入到有限元软件Ansys中进行验证，两种方法所计算的水平拉力FH相对误差在0.5%以内，所得到悬链线的曲线上对应取样点的最大相对误差在1.52 mm以内，充分证明了所推导补充方程的正确性。

参考文献：

[l]林贵瑜，冯优达，苑登波。钢丝绳抛物线理论与悬链线理论的计算误差分析[J]建筑机械化，2010，31（3）： 42-43+55.

[2]邱为钢悬链线的几何特征[J]物理与工程，2015.25（4）：28-29+34.

[3]王丹，刘家新一般状态下悬链线方程的应用[J]船海工程，2007（3）：26-28

[4]陈常松，陈政清，颜东煌悬索桥主缆初始位形的悬链线方程精细迭代分析法[J]工程力学，2006（8）：62-68.

[5]王建国，逢焕平，李雪峰悬索桥线形分析的悬链线单元法[J].应用力学学报，2008，25（4）：626-631+735.

[6]王长昌.基于悬链线方程的跨接电缆长度计算[J]铁道车辆，2013，51（6）：4-6+33+1.

[7]邢富冲悬链线弛垂度的计算方法[J]数学的实践与认识，2004（11）：98-101.

作者简介：

蒋旭，男.1985年生，工程师，研究方向为消防车辆设计开发。

项目基金：长沙市2021年重点研发计划、平台和人才计划项目“高米段大型举高消防装备关键技术研究及应用”（kh2201015）FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8