例说错题与学生数学思维品质的培养

刘冬

[摘  要] 错题就是引导学生探究性学习的极好素材，同时对培养学生良好的思维品质有着不可低估的作用. 基于理论与教学实践，文章认为：觅错，有利于培养学生数学思维的深刻性;析错，有利于培养学生数学思维的批判性;纠错，有利于培养学生数学思维的发散性.

[关键词] 错题;思维品质;高中数学

日常教学中，时常碰到一些错题. 面对错题，有的教师“舍而弃之”，有的教师“改而用之”，有的教师“将错就错”. 笔者认为，对待错题，可以检验出一个教师的教学水平和成熟程度. 面对错题，教师能因势利导，错题就是引导学生探究性学习的极好素材，同时对培养学生良好的思维品质有着不可低估的作用. 关于这一点，笔者拟通过几个教学片段作一探讨.

[⇩] 觅错：培养学生数学思维的深刻性

教师给出题目及其错解，让学生探究错误原因，在寻找错误的过程中，学生的思维会由浅入深，得到进一步的发展.

片段1：

在一堂“立体几何”课上，笔者给学生出了这样一道题：

已知某长方体的对角线的长为8，它的长、宽、高之和是14，试求该长方体的表面积.

经过五分钟的思考与解答，学生中主要出现了以下两种解法：

解法1：设长方体的三边为a，b，c，则a2+b2+c2=64①，a+b+c=14②，所以长方体的表面积为（a+b+c）2-（a2+b2+c2）=132.

解法2：由①-8×②，配方得（a-4）2+（b-4）2+（c-4）2=0，所以a=b=c=4，故长方体的表面积为6×42=96.

按理说，正确的不同的解法会得到相同的结果，但以上两种解法的答案却迥然不同. 孰是孰非？学生诧异，都纷纷审查自己的解题过程是否有漏洞. 经过数分钟的斟酌与推敲，学生觉得两种解法都无懈可击. 难道是题目有误？一个大大的问号悄然出现了. 又经过几分钟的合作探究，学生终于发现题目给出的条件不合理：因为≥

=

2，即a2+b2+c2≥，这是不可能的，所以这是一道错题.

笔者问道：“那么长、宽、高之和最多是多少，问题才能有解？”学生经过一番探索后得出：a+b+c≤=8. 找到了问题的“症结”，把原题“改邪归正”后再解答就不是难事了.

片段1给出的错题，是笔者教学中特意留给学生的一个“陷阱”，目的在于让学生去争论、去辨析、去质疑、去反思，在失败与挫折中求发展. 同时，也想通过不等式与立体几何知识相互渗透，以培养学生数学思维的深刻性. 试想，倘若笔者起初就给学生一个“正题”——“已知长方体的对角线是9，长、宽、高之和为14，求该长方体的表面积”——不难发现，学生一定会在几分钟内得到一个正确答案，除此之外，学生似乎什么也没有得到.

[⇩] 析错：培养学生数学思维的批判性

学生做作业时总会出现这样或那样的错解，让学生来分析错误，并由此及彼，纠正一类问题的错误，可以培养学生思维的批判性.

片段2：

在一堂高考总复习课上，笔者向学生出示了如下一题及其解答过程，要求学生判断其正误.

题：已知tanα，tanβ是方程x2+4x+5=0的两根，且α，β都是锐角，求α+β的值.

解：由韦达定理得tanα+tanβ=-4①，

tanα·tanβ=5②，

所以tan（α+β）===1;又0<α+β<π，故α+β=.

學生经过讨论，一致认为，这是一道错题，理由如下：由已知条件推出的①式、②式互相矛盾，根据题意，tanα，tanβ不能是负值，只能是正值. 所以这是一道错题.

笔者接着问道：“你能举出错题的例子吗？”

一石激起千层浪，学生跃跃欲试，有的苦思冥想，有的查阅资料，有的相互讨论. 几分钟后一只只手举了起来，课堂气氛达到了高潮.

生1：请看这道选择题：若把函数f（x） 的图像沿x轴的正方向平移3个单位后得到图像C，又设图像C与图像C′关于直线y=x对称，则图像C′对应的函数解析式是（  ）

A. y=f（x）+3 B. y=f-1（x-3）

C. y=f-1（x）-3 D. y=f-1（x）+3

该题本身有问题，因为题中没有告诉我们这个函数有反函数，所以应增加“它有反函数”这个条件才可作答.

生2：我遇到过这样一道题：已知圆C：x2+y2=1和圆C：x2+y2-6x-6y+17=0，求它们公共弦所在的直线方程.

本题似乎可以通过两个圆方程相减得到一个二元一次方程3x+3y-8=0就是所求的公共弦所在的直线方程. 但事实上，两圆的位置关系是相离的. 所以本题是无解的错题.

生3：我也找到了一道错题：三角形ABC中，BC的边长为8，AC边和AB边上的中线长分别为8和7，求三角形ABC的重心G的轨迹.

该题的本意是利用AC边和AB边上的中线长的和与圆锥曲线的定义求重心的轨迹. 但因为两条中线长是定值，所以重心G是固定的点，与轨迹无关.

生4：我新编了这样一道题：若某正棱锥的侧面积是8，底面积是10，求该正棱锥的高.

设该正棱锥的侧面与底面所成的角是θ，则cosθ===1.25>1，这是不可能的，所以这样的正棱锥是不存在的，因此本题是一个错题.

生5：听了生4的发言，我忽然想起了前天看到的一道测试题：某正三棱台的下底周长为30，上底周长为12，侧面积是两底面积之差，求该正三棱台的斜高.

根据本题的已知条件，我推导出“下底面积=侧面积+上底面积”，这与“多面体的任一面的面积小于其他各面面积之和”是矛盾的. 事实上，这样的三棱台是不存在的.

……

教学中，笔者借助于错题让学生自由发挥纠正错误，颇似语文中的“话题作文”，通过笔者“抛砖引玉”，使学生主动参与找错题、编错题这个非常有趣的智力活动中，在找错题、编错题及剖析错因的同时，不知不觉地培养了学生思维的批判性，真可谓“随风潜入夜，润物细无声”.

[⇩] 纠错：培养学生思维的发散性

试卷中出现错题在所难免，错题是培养学生发散性思维的好素材.

片段3：

有一次，在函数单元的测试中，由于笔者的疏忽，试卷中出现了如下一道错题：

函数y=log（x2+4x+3）的单调递减区间为（  ）

A. （-∞，2] B. （-∞，1）

C. （3，+∞） D. （1，2]

怎么办呢？是“舍而弃之”，还是“改而用之”？笔者考虑再三，还是让学生自己处理. 考试时，笔者告诉学生这是一道无答案可选的错题，允许在原题上改动一至两处，再选择正确答案，并约定“多一种改法且答案正确，可另加5分”.

批阅试卷时，笔者发现，大多数学生都不满足于一种改法，有的学生竟然提出了5种改法，笔者将其摘录如下：

改法1：重新确定“选择支”，4个可选答案中任选一个改为“（-∞，-3）”，并选之;

改法2：把原题中“4x”前的“+”改为“-”，并选B;

改法3：把原题中“4x”前的“+”改为“-”，并把“减”改为“增”，此时选C;

改法4：把原题中的“+4”改为“-2”，并选B;

改法5：把原题中的底数“2”改为“”，把答案C“（3，+∞）”改为“（-1，+∞）”，并选之.

面对试卷中出现错题的突发事件，笔者不是仅为了学生能顺利答题而去“纠错”，而是创设“纠错”情境，放宽“纠错”条件，让学生“一错多纠”，举一反三，这无疑有利于培养学生思维的发散性.

唯物辩证法认为，“任何事物的好坏都是一分为二的”，错题也是如此. 从表面上看，错题似乎只能给解题者带来不必要的麻烦，但从上述几个片段中可以看出，错题其实很有利用价值，关键在于教师的因势利导. 倘若教师能认识到这一点，便會积极“开发”错题的利用价值，“变废为宝”“化腐朽为神奇”，让错题为培养学生的思维品质“发挥余热”.