注重数学观察能力培养促进数学思维能力提升

谢永

[摘  要] 在新课改的推动下，数学思维能力的培养已成为数学基本教学目标之一，而观察能力作为一切思维活动的开端自然发挥着不可估量的作用. 文章结合具体案例分析了观察能力在解題中的重要应用，并阐述了培养观察能力的一些注意事项，以期通过培养观察能力促进学生提升思维能力和解题能力.

[关键词] 观察能力;思维能力;解题能力

现行教学中，受传统教学模式的影响，大多数学生习惯模仿和套用，致使观察能力薄弱. 为此，在数学教学中教师要注重学生观察能力的培养，尤其在解题教学时应给学生足够的时间去观察和思考，通过观察全面了解题设信息，充分挖掘已知和结论中隐藏的内在联系，通过联想、简化、类比掌握问题的本质，进而调用已有认知和已有经验处理信息，从而成功解决问题.

当前，部分学生对观察能力的认识明显存在不足，认为观察是一种被动的、消极的、缺乏目的的浅显认知，然实际上观察能力在指引学生主动获取题设信息，引导学生有目的、有选择地制定解题计划时发挥着重要的作用，其是运算能力、思维能力等综合能力开发的基础，是重要的思维活动之一，在提升学生解题能力、思维能力等方面发挥着不可替代的作用. 文章以一道高考真题为例，浅谈了观察能力的重要性及培养中应注意的一些问题，以期共鉴.

例题 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是________.

[⇩] 整体观察，统筹全局

解题前应先从整体入手，通过观察题目全貌找到知识模块间的联系，通过全方位观察认清问题的本质，进而找准解题方向，成功解决问题.

求解本例题：以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则点A（1，0），B

-，

，=

x-y，y

，又

=1，所以

x-y

+

y

=x2+y2-xy=1.

本例题中的向量犹如架设于代数和几何图形之间的桥梁，沟通彼此，解题时借助于坐标使问题变得形象化、准确化.

[⇩] 挖掘隐含的条件，培养观察的深刻性

解题时要注意观察题设的整体结构，挖掘隐含条件，根据题设中的某些数学特征或结构特征寻找解题的突破口. 学生在解题时之所以常出现“懂而不会”的现象往往就是缺乏观察，对题设的挖掘深度不够，不能抓住问题的本质，因而不能从题设的数字特征和结构特征中发现隐含的条件，然解题思路往往蕴含在隐藏的数量关系中，因此培养学生的观察能力应注意培养观察的深度.

对于本例题，观察题设中的“给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°”，得

=

=1，∠AOB=120°;由“点C在以O为圆心的圆弧AB上变动”，可挖掘隐含条件

=1;又=x+y，容易联想到

2=（x+y）2=（x）2+（y）2+2xy=x2+y2-xy=1.

通过观察与分析得到了x2+y2-xy=1，为求x+y的最大值，需要将已知与结论建立联系，继续观察题目的结构特征. 若将x，y看成单独的两个变量，显然不能将已知与结论有效串联;重新观察题设结构，由x2+y2，xy，x+y自然可以将x2+y2转化为x+y和xy，即x2+y2-xy=（x+y）2-3xy=1. 至此可以通过均值不等式继续求解，即3xy=（x+y）2-1≤，解得x+y≤2.

这样通过对已知条件的解读和未知条件的挖掘发现了“x2+y2-xy=1”这一数量关系，使问题逐渐向熟悉的认知转化. 在解题时要善于将题设的文字信息转化为符号语言或图形语言，这样借助于两者的简洁性和直观性等特点更方便学生理解题意，进而发现解题方法.

[⇩] 观察结论，寻找新思路

上面通过题设的结构特征挖掘了隐含条件，一步一步观察，一步一步联想，最终结合已有经验应用均值不等式得到答案. 为了拓展思维，可引导学生从结论出发，借助于解题通法在已知中寻找关联条件，进而找到解题的切入点.

本例题求解的是x+y的最大值，而求最值问题常需要利用函数的值域或最值，此方法是求最值问题的一个通法，那么转化为函数问题则需要寻找一个变量，将结论转化为含有这个变量的函数. 观察已知，可以设∠AOC=α（0°<α<120°），进而将x+y转化为关于α（0°<α<120°）的函数.

结论往往是解题中的重要已知，通过结论进行反向思考和推理往往会获得意外的惊喜. 另外，从结论出发使求解更具目的性，进而使转化过程更有针对性. 为此，解题时应认真观察结论，沿着结论的脉搏不断联想和转化，使观察更具目标性，提升转化效率.

[⇩] 观察图形，正向迁移

通过对结论的观察和分析，可以利用函数进行求解，那么如何将结论与变量建立联系呢？为了使几何问题向代数问题转化，在解题时可以借助于图形，通过“数形结合”的思路实现这一转化.

对于本例题，将结论与变量建立等量关系最直接的手段就是利用三角形. 如图3所示，过点C作CQ∥OA，CP∥OB，分别交OB，OA于点Q，P.

设∠AOC=α，又=+=x+y. 在△OCP中，根据正弦定理可得==，即==. 所以x+y=sinα+sin（120°-α）=sinα+cosα=2sin（α+30°）. 因为0<α<120°，当α=60°时，x+y取最大值2.

对于本例题，通过观察结论确定了求解方向，观察图形并充分利用“平面向量和的夹角为120°”这一特点构造了平行四边形，进而得出∠CPO为60°，再得出△CPO的三个角分别为α，120°-α，60°. 三者的关系确定后，应用正弦定理轻松地实现了问题的转化. “数”与“形”往往相互结合、相互转化才能使问题越来越直观，越来越严谨. 因此，要培养学生的学习能力，发展学生的数学思维就必须重视数形结合思想的培养，在日常教学中让学生多观察，提升学生读图和识图的能力，引导学生能够根据图形特点巧妙地构图，让直觉思维成为解题的重要武器. 学生读图、识图、作图的能力增强了，自然空间想象能力也就提升了，解题的方法也就变多了，思维能力和创新能力也就潜移默化地提升了.

[⇩] 观察特值，合情推理

通过对特殊点和特殊值的觀察加上大胆猜测和合情推理往往可以获得意外的惊喜，该方法常应用于选择题或填空题的解答中，借助于特值可以有效简化解题步骤，提升解题效率.

对于最值产生的位置往往是图形中的特殊位置，因此求x+y的最大值，可尝试利用特殊值进行合情猜测. 本例题中，显然点C若在端点A或端点B上就是在两特殊点上：当点C在端点A或端点B时，此时x+y=1;当∠AOC=α（α<60°），则=x+y中的x>;1，故x+y>1，同时存在另一点D，使∠BOD=120°-α，与点C对应，所得的x+y的值相等. 故可以猜测当点C在弧AOB的中点E时，恰好=+，此时x+y=2为最大值.

因结果是合情推理得到的，存在一定的主观性，不具备说服力，因此得出结论后应进一步进行验证. 观察点C的运动规律可知，当点C从点A运动到中点E时，x+y的值从1递增到2;当点C从中点E运动到点B时，x+y的值从2递减到1，所以x+y=2为最大值.

求解本例题时先从端点出发，求得x+y=1，接下来根据中点得到了x+y=2，通过观察和分析可知x+y的值是先增后减的，故得最值. 数学中许多性质和结论的得出都需要经历特值的观察、猜想和推理，进而从特殊中总结和归纳出一般的规律. 观察最具直接性，因此在数学教学中必须多鼓励学生观察，培养学生的直觉思维.

观察能力直接影响着学生解决问题的能力，因此提升学生的观察能力势在必行. 对观察能力的培养还需要注意以下几点：

（1）培养观察兴趣. 在培养学生观察兴趣时要控制好“量”和“度”，要注重潜移默化的渗透而非机械灌输. 教学中可以引导学生通过类比、对比、实践等数学活动体验观察在简化解题过程、拓展解题思路等方面的重要应用，让学生认识到观察能力的重要性，从而使被动观察向主动观察过渡，培养学生的观察兴趣.

（2）指导学生会观察.观察是具有目的性和针对性的，绝非蜻蜓点水的简单阅读，要发挥出思考在观察中的重要作用，从而使观察更加全面、更加高效.

（3）引导学生会总结. 总结与反思是数学学习的重要一环，只有重视总结和反思才能将经验转化为能力. 在培养学生观察能力时也应引导学生总结和反思，进而将观察经验和观察结果转化为观察能力，使之与其他思维能力融会贯通，促进学生提升解题能力.

总之，观察能力的培养离不开日常教学中的渗透，教师在教学中应引导学生有目的性、针对性地观察，从而提高观察能力的准确性和深刻性，促进学生提升解题能力.