相位噪声中弱信号检测的信噪比计算与分析

罗忠涛 夏杭 詹燕梅 张天骐

（重庆邮电大学通信与信息工程学院/信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065）

1 引言

一般地，信号处理的数据是位于实数域或复数域，例如加性噪声影响下信号可建模为z=As+n，其中s为有用信号，A为信号幅度，n为高斯噪声，所有参量为实数或复数［1］。此类信号是传统信号处理的经典问题，已得到了充分研究。不过，对于某些场景的信号模型，有用信号s会存在于复数相位中，例如通信系统中的相位键控调制［2］，雷达中的多普勒频率［3］。由于以往此类情况涉及的有用信号形式常常比较简单，采用基于复数域的传统方法也可解决问题。

当有用信号变得复杂且处于相位域时，其信号处理方法需要展开新的讨论。例如，2018 年出现的跨介质通信系统［4-5］中接收信号建模为z=Aexp（jBs）+n，有用信号s存在于复数相位中，且其幅度B未知。传统信号处理方法难以在复数域实现对信号s的检测。对数据z求取相位时会产生相位模糊问题，并且复数域噪声会转化到相位中，形成相位噪声［6］，继续干扰对有用信号的检测。

截至目前，人们对相位噪声的研究尚未详尽，虽然复高斯噪声影响下的变量分析已持续多年。Rice早在1948年研究了关于正弦波与加性高斯噪声之和的模与相位分布，后来提出了变量的模与相位概率密度函数，即莱斯分布和莱斯相位分布［7-8］。Bennett推导了广泛使用的莱斯相位分布概率密度函数［9］。近期，罗忠涛等人研究了莱斯相位分布的分布函数与数字特征，分析了相位模糊效应下的相位分布［10］。

目前莱斯相位分布主要应用于研究相位初相测量及影响评估。比如，通信系统中的误码率分析［11］，相干脉冲相位测量系统［12］，远程无源无线地面声波传感［13］，差分相移键控通信误码率［14］，相位边界的影响［15］等。关于通信信道中检测性能，文献［16］评估了数字通信系统在一般化的衰落信道中的通信误码率性能。不过，目前还缺少基于莱斯相位分布和统计信号处理的检测分析。

本文关注相位中较弱有用信号的检测问题。首先，考虑信号幅度较弱|Bs|＜1，复数数据求取相位时信号本身不存在模糊效应，但是噪声存在模糊效应；然后，给出噪声分布和特征的理论公式和近似计算；之后，考虑基于多样本数据的信号检测，推导检测统计量及检测信噪比公式；最后考虑衰落信道问题，以瑞利衰落信道下二进制相移键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）调制为例，推导平均信噪比和平均误码率公式。由于上述理论公式含有不可积分式导致计算上的困难，本文研究给出它们的近似计算方法，既提高运算效率，又方便分析参量间的关系。

2 信号模型与噪声分布

本节将给出复数信号模型与相位信号模型，分析相位噪声分布及其数字特征，研究微弱信号下的数字特征近似计算方法。

2.1 复数与相位信号模型

考虑有用信号在相位域传输，接收复数信号建模为

其中s为有用信号，B为信号s的实数幅度，A为exp（jBs）的复数幅度，n为加性复高斯噪声定义为复信噪比。由于零均值复高斯噪声具有循环对称性，为方便讨论，后文均考虑A≥0。

为检测有用信号s，信号处理问题将从复数域转变为相位域，在此转换过程中，信号可能会出现缠绕或者模糊的情况。

考虑微弱信号情况即|Bs|＜1，∡z表示未经解模糊处理的测量相位，对应相位信号及其噪声为

其中ψ表示z的测量相位，φ表示模糊相位噪声。为了方便讨论令ϑ=Bs表示有用信号。

2.2 模糊相位噪声分布与数字特征

由于无模糊相位噪声的分布与特性是分析模糊相位噪声的基础，因此可以根据无模糊相位噪声的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）与累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来分析模糊相位噪声的分布与特性。

考虑有用信号|ϑ|＜1，根据相位模糊效应的特点，可基于复数模和相位的联合分布，推导出模糊相位噪声的PDF为［10］

其中K为上文已定义的复信噪比，且

表示无模糊相位噪声分布的PDF，其中f（0x，K）是关于自变量x的偶函数。当|ϑ|=0 时，噪声为对称分布；否则为非对称分布。

根据PDF 表达式（4），可计算模糊相位噪声的均值为

利用xf（0x，K）在零对称区间内积分为零的性质来简化公式。分ϑ≥0和ϑ＜0两个情况讨论，经过计算与总结，得到模糊分布均值计算式为

其中sgn（.）为符号函数，F0（x，K）为对称分布的CDF，可以表示为

其中

由于x2f（0x，K）是偶函数，区间［-π+ϑ，π+ϑ］与［-πϑ，π-ϑ］关于零对称，所以能量函数P（K，ϑ）是关于ϑ的偶函数，因此仅需推导ϑ＞0 的情况。再次利用xf（0x，K）的奇函数性质，最终可得到模糊相位噪声能量表达式为

二阶中心矩可视为模糊相位噪声分布的方差，可由一阶原点矩和二阶原点矩计算得到

可以看出其所需的数值积分运算与二阶原点矩是一样的。

2.3 数字特征近似计算

相位噪声分布的数字特征中含有多个不可积分表达式，能量和方差的计算尤其复杂。为了简化运算过程，下面考虑微弱信号情况下，对数字特征进行近似计算。注意，这里说的信号微弱指|ϑ|较小，与复信噪比K没有直接联系。

首先，引入泰勒级数，简化对称分布的CDF 计算表达式。当x≈0时，有

其中

将式（14）代入均值计算公式（7），则模糊相位噪声均值的近似计算表达式为

3.SVM模型的输出结果。为确定SVM模型的最佳训练集大小，本文以200个样本为步长有放回地从训练集中分层随机抽取训练样本，得到各指标随训练样本大小变化的曲线图，如图3、图4所示。

其次，能量计算公式（11）中关于对称分布CDF的积分运算，采用梯形方法近似为

再借助CDF 近似计算式（13），可得能量的近似计算公式为

最后，根据噪声均值和能量的近似表达式，可以得到方差的近似计算公式为

（i）在低信噪比0≤K≤1 区间积分公式进行近似计算。

（ii）在高信噪比K≥10区间，认为相位噪声近似于高斯分布。

本节给出的相位噪声分布数字特征的近似计算方法均为闭合解析式，可实现快速高效的计算。对于弱信号|ϑ|＜0.5时近似计算的归一化误差，均值误差小于7%，能量和方差误差均小于1%。对于弱信号|ϑ|＜1 时近似计算的归一化误差，在低信噪比下，均值误差小于3%，能量和方差的误差均小于1%；在中信噪比下，均值误差小于8%，能量和方差的误差均小于4%。可见本文的近似计算方法对能量和方差近似比较精确，对于均值稍差一点。

3 平坦衰落信道的分析

本节考虑信号幅度A和B均为确定性参量的情况，分析相位噪声影响下的信号检测信噪比计算公式，然后提出针对弱信号检测的信噪比近似计算方法。

3.1 检测信噪比推导

考虑基于多样本的信号检测，采样序列为m=1，2，…，M，接收信号的复数模型为

对应的相位信号模型为

对于相位信号模型，按照能量计算的信噪比为

但是，由于相位噪声的均值不为零，此信噪比与检测性能没有直接关系。

考虑匹配滤波器，输出的检测统计量可表示为

推导出统计量的均值和方差分别为

因此输出信噪比可写为

式（26）为检测信噪比的理论计算公式，含有多个不可积分表达式。

3.2 检测信噪比近似计算

考虑微弱信号检测，根据表达式（13）和（18），可以将检测统计量的均值和方差简化为

因此微弱信号检测的输出信噪比可近似为

进而可得Dw(B，K，s) ≈结合式（27），弱信号检测信噪比近似等于

最后，考虑弱信号|Bs(m)|＜1，可将检测信噪比近似为

该近似方法的推导可分为如下3步。为方便分析，令Gsnr(K)=

（i）对于低信噪比0≤K≤1，利用式（14）可以得到

（ii）对于高信噪比K≥10，可以得到

此外高信噪比下相位噪声可认为近似为高斯分布，其方差可近似为1/2K，因此可得

（iii）对于中信噪比1＜K＜10，信噪比近似采用多项式拟合的思路。仿真表明：低信噪比近似方法在0≤K≤1区域内表现良好；高信噪比近似方法在K≥10 时表现良好；在中信噪比区域lgSNRw（B，K，s）与lgK近似线性关系。因此，设lgSNRw（B，K，s）与lgK满足一次线性方程，可表示为lgSNRw（B，K，s）=algK+b。该方程经过两个固定点：当K=1 时，lgK=0，lgSNRw（B，K，s）=0；当K=10 时，lgK=1，lgSNRw（B，K，s）=lg20。当b=0时，a=lg20。因此，有

进而有

综上，可得检测信噪比的近似表达式（32）。为了方便书写和讨论，令检测信噪比中K与Es的相关量为

总的来说，在低信噪比和高信噪比下，检测信噪比与复数信噪比呈线性关系；在中信噪比区域，二者的非线性函数关系非常明显。检测信噪比与信号能量B2Es成正比关系。

4 瑞利衰落信道的分析

本节考虑信号幅度B服从瑞利衰落信道时，推导检测信噪比的理论信噪比表达式和近似计算表达式。然后以二进制相移键控BPSK为例，给出理论误码率的计算方法，并提出简单快捷的近似计算方法。

4.1 平均信噪比

瑞利衰落信道（Rayleigh Fading Channel）是一种无线电信号传播环境的统计模型。瑞利信道常用于从发射机到接收机不存在直射信号的情况，属于小尺度的衰落效应，适合用于跨界传输的场景。

当B服从瑞利分布时，其PDF可表示为

其中σB为瑞利信道参数。

瑞利衰落信道的平均检测信噪比可定义为

即为固定幅度B的信噪比的积分。不过，结合式（24）和（25）可以发现信噪比积分公式很复杂，难以简化。

考虑弱信号下的近似，利用信噪比近似公式（32）和（39），将平均检测信噪比近似为

4.2 平均误码率

相位噪声中通信信号的误码率，既依赖于通信体制和信号调制方式，也跟信道参数关系很大。本文考虑基于多样本的通信检测问题，以BPSK 为例推导理论误码率的计算方法。其他调制方式的误码率推导采用类似的方法。

从二元假设角度考虑，设BPSK 信号s（m）传输后接收的复数信号模型为

对应的相位信号为y(m)=∡z(m)。检测统计量渐近服从高斯分布，可表示为

BPSK信号检测的判决准则为

该检测器所得的BPSK调制的理论误码率为

采用检测信噪比的近似计算式（32）和式（39），可将误码率近似计算为

可见，此表达式计算简单。

瑞利衰落信道下的误码率，可通过固定信号幅度下的误码率积分得到，即

此公式无解析式，只能通过数值计算。由前文可见，误码率式（48）和方差式（12）均含有不可积分表达式，检测统计量方差式（25）需要累加求和，运算量非常大。

采用误码率近似式（47），将瑞利衰落信道下的平均误码率近似为

给出的平均误码率与平均信噪比的关系很简单直接。

对于其他调制方式，如MSK、BFSK 等，可以用相似方法推导出其误码率与信噪比的近似关系。这里不再赘述。

5 仿真与分析

本节通过仿真验证本文所提信噪比与通信误码率的理论与近似计算方法的有效性。设传输信号为（sm）=sin（0.03πm），M=1000。接下来开展4个仿真实验。

（i）首先仿真固定衰落信道即B为定值时，理论检测信噪比SNR（TB，K，s）式（26）及其近似计算方法SNR（AB，K，s）式（32）。检测信噪比仿真结果如图1，图1 中是x 标注虚线表示近似计算，黑色实线表示理论计算。可见，信噪比的近似计算与理论计算在B＜1 时很准确；检测信噪比与K在信噪比区域中为非线性关系，但与B近似成线性关系。

从两个角度分析瑞利衰落信道的信噪比。由图2（a）的曲线可见，近似计算的信噪比能够很好地拟合理论信噪比，除了σB＞0.5 区域，这一点从图2（b）也容易看出。对于K＜1的曲线，σB＞0.5后的信噪比明显与σB不是线性关系，而K＞10 的曲线基本上是一条直线。

由仿真可以看出，本文提出的检测信噪比近似方法对于K＞10或σB≤0.5时的近似效果很好。

下面仿真BPSK 调制解调的误码率。根据信号模型（43）生成复数数据（zm），然后求其相位得到数据y(m)=∡z(m)，再根据判决式（45）进行解码。

（iii）仿真固定幅度B的误码率，结果如图3（a）。可以看到，当B较小时，理论误码率与近似误码率相同，也与仿真误码率吻合。当B=1 时，理论误码率与仿真误码率吻合，但近似误码率有明显差距。这说明误码率的近似计算方法不适用于非弱信号检测的情况。

（iv）然后，仿真幅度B经过瑞利衰落的误码率。由于本文只讨论有用信号无模糊的情况，故令仿真中0＜B＜π。经过50 万次蒙特卡洛仿真，误码率统计结果如图3（b）。可以看到，当幅度参数σB较小时，仿真误码率与理论误码率吻合，近似计算的误码率也基本吻合，但较大σB时近似误码率不再准确。

6 结论

本文分析了零均值复高斯噪声影响下的复数相位中有用信号的检测信噪比问题。基于相位信号模型和模糊相位噪声分布，推导了平坦衰落信道和瑞利衰落信道下的信号检测信噪比和误码率的理论公式。针对理论公式过于复杂且非解析的问题，提出了具有闭合式的近似计算方法，可适用于信号幅度小于1 的情况。分析表明：信号检测信噪比与复数信噪比K是非线性关系，分别在0≤K≤1、1＜K＜10、K≥10 区间与K、K1.3、2K成正比；瑞利衰落信道下该非线性关系依然成立，且所提信噪比能够直接换算为平均误码率。本文研究的数据相位中信号检测信噪比的理论值与近似计算方法，能够为相位信号检测类问题的分析提供参考作用。