温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板的自由振动分析

滕兆春，王伟斌，郑文达

(兰州理工大学理学院，兰州 730050)

功能梯度材料(functionally graded materials，FGM)具有材料性能平滑、连续变化的特点，在世界范围内得到了迅速的研究、开发和应用[1]，FGM矩形板被广泛应用于土木、机械和海洋工程等[2]。随着新型材料的兴起，FGM板结构具有常见复合材料板难以比拟的优点。关于FGM常见结构的力学行为研究已有较多文献成果，如Wattanasakulpong等[3]采用微分变换法(differential transformation method，DTM)研究了FGM阶梯梁的自由振动，得到了梁的固有频率和振型。Roshan等[4]在经典平板理论的基础上，对面内均布力作用下的FGM圆板振动问题进行了分析和数值计算，研究了梯度指数和面内力对前三阶振动固有频率的影响。Ghazaryan等[5]利用DTM对非均匀截面轴向功能梯度Euler-Bernoulli梁的自由振动进行了分析，并验证了该方法可用于轴向材料非均匀或者几何非均匀的各种类型梁的计算。Shishesaz等[6]基于应变梯度理论，研究了FGM纳米圆盘的热弹性行为，主要分析了温度变化对纳米圆盘应力和径向位移的影响。Abdolhossein等[7]考虑流体-结构相互作用研究了弹性地基上部分充液FGM圆柱壳在热环境下的自由振动问题。Ladislav等[8]基于经典弹性理论研究了FGM薄板在热载荷作用下的弯曲问题，结合移动最小二乘逼近的数值方法，重点研究了材料相关参数对板挠度的影响。Saini等[9]基于经典板理论，考虑材料温度依赖性质，分析了热环境中FGM圆板在均匀面内轴向载荷和沿厚度方向的非线性温度分布作用下轴对称屈曲和振动问题。Chakraverty等[10]基于基尔霍夫板理论，利用Rayleigh-Ritz法研究了FGM矩形板的自由振动问题。蒋伟男等[11]基于三阶剪切理论提出考虑横向拉伸影响的位移场，研究了具有简支和固支边界条件下的FGM矩形夹层板的自由振动。何昊南等[12]基于几何非线性和物理中面，分析了热对材料参数影响下FGM梁的热后屈曲特性。当然，上述研究工作大多是从材料的理想形态入手建立力学模型并进行分析，忽略了FGM在实际应用中孔隙的存在。

FGM在各领域的广泛需求，促进了其制备技术的快速发展，各种FGM制备方法先后出现。但由于现有某些制备技术的缺陷，制备过程中在FGM内部不可避免的会出现小的孔隙，则形成多孔FGM。同时，随着FGM越来越多的应用扩展，也可以使用陶瓷和泡沫金属来制备多孔FGM形成工程中可应用的一些特殊功能结构，如过滤器、催化器、燃烧室和生物材料等。这些孔隙对FGM的物理性能、功能使用和静动力特性有着较大的影响，因此越来越多的科研人员开始关注多孔FGM结构的力学行为研究。Behravan等[13]基于微分求积和状态空间矢量技术的求解方法，对弹性地基非均匀面力作用下非对称变厚度多孔FGM圆板的三维磁弹性特性进行了分析。Aria等[14]首次提出了一种有限元模型，基于幂律形式分析了多孔FGM纳米梁的热弹性行为。蒲育等[15−17]基于一种扩展的广义梁理论，分别采用广义微分求积法和莱维法，考虑材料性质随温度的相关性，研究了热环境中轴向机械力作用含均匀孔隙FGM梁的耦合振动和耦合屈曲特性以及湿-热-机-弹耦合作用下多孔FGM梁的振动和屈曲特性。苏盛开等[18]采用Euler梁理论和高阶三角剪切变形理论研究了多孔FGM梁的热力耦合屈曲行为。Ebrahimi等[19]利用DTM对转动多孔FGM Timoshenko梁进行横向振动分析，并在修正混合率公式的基础上研究了孔隙率、梯度指数、转速等参数对转动多孔FGM梁无量纲固有频率的影响。综上所述，已有文献中大多学者基本都专注于多孔FGM梁的研究，对多孔FGM板的研究则相对较少，同时一些研究结果也很好地验证了DTM的实用性和有效性。

目前关于温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动问题的研究在国内外还未见有文献报道，且考虑到弹性地基板在工程中的广泛应用背景，因此在参照文献[20]的基础上，本文将一种随机均匀分布的孔隙引入力学模型，采用DTM对温度影响下Winkler- Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动展开研究，分析梯度指数、孔隙率、升温、地基刚度系数、边界条件、长宽比和边厚比等对多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响，为今后多孔FGM板的研究提供数据支撑。

1 控制微分方程的建立

1.1 材料物性描述

如图1所示：在三维笛卡尔坐标系中，温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板厚度为h， 长为a， 宽为b，xoy平面为板的几何中面，kw和qw分别为Winkler-Pasternak地基的弹性刚度系数和剪切刚度系数。

图1 弹性地基上多孔FGM矩形板的几何模型和截面上均匀分布的孔隙Fig.1 Geometric model of a porous FGM rectangular plate on elastic foundation and cross-section with evenly distributed porosity

考虑到 FGM 的物性参数与温度T有关，采用Voigt混合幂律模型[21]。物性参数满足：

式中：P可表示弹性模量E、密度 ρ和热膨胀系数α ；T为绝对温度；n为 梯度指数；下标 c 和 m则分别为陶瓷和金属材料的物性参数。

上述金属和陶瓷的某一物性参数G随温度T的变化可采用 Touloukian 非线性函数，统一表述为[14]：

式 中，G0、G-1、G1、G2和G3为 温 度 相 关 的 系数，一般由实验给出，可见表1。

表1 陶瓷和金属材料物性参数的温度相关系数表[14]Table 1 Temperature correlation coefficient of physical parameters of ceramic and metal materials[14]

当FGM中存在孔隙时，可以假设孔隙的大小和分布是任意的，并且介质是连续致密的，在此基础上得到了孔隙率 θ与弹性模量E、泊松比ν和密度 ρ的关系[20]。定义孔隙率如下：

式中： ρ(z) 为 致密密度； ρ0(z)为自然密度。

有效泊松比和有效弹性模量分别为：

式中：ν、E(z) 和ν∗、E∗(z) 分 别为 θ=0 和 0<θ<1时的泊松比及弹性模量；bc=2-3ν。将式(1)～式(3)代入式(5)即可得到不同孔隙率下 FGM 矩形板的有效弹性模量。

1.2 Winkler-Pasternak地基模型和升温

双参数Winkler-Pasternak弹性地基中考虑了剪力的作用，地基-板相互作用力F和矩形板横向位移w的关系为[22]：

式中：kw、qw分别为地基的弹性刚度系数和剪切刚度系数； ∇2为二维Laplace算子。

本文仅考虑均匀升温：

式中：T0为无应力状态的参考温度，本文取T0=300 K； ΔT为升温值。

1.3 基本方程

根据薄板和小挠度理论的基本假设，温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板位移场为：

式中：u、v和w分 别为板内一点沿x、y和z方向的位移分量；z0为物理中面。物理中面内应力分量与应变分量均为零，其表达式如下[23]：

几何方程为：

本构方程为：

下面应用Hamilton原理建立温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板的运动微分方程。已知哈密顿原理如下：

式中： Π 、U和V分别为地基-板系统的动能、应变能和外力势能；δ为变分符号；t1和t2分别为系统运动的初始时刻和终止时刻。这里只考虑横向位移，令w=w(x,y,t)，可得：

考虑温度在板内均匀变化，且忽略面内和转动惯性力，可得温度影响下弹性地基上多孔FGM矩形板横向运动的控制微分方程：

2 无量纲控制微分方程及DTM变换

2.1 无量纲控制微分方程

温度影响下弹性地基上多孔FGM矩形板在y=0 和y=b处 为简支(S)边界，而在x=0 和x=a处可为固定(C)边界、简支(S)边界或自由(F)边界。在本文的问题讨论中，边界条件按照x=0、y=b、x=a和y=0的顺序给出。

综上可得到温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动时的无量纲控制微分方程：

式中：

式中：A1、A2、A3分别为四阶微分方程各项系数；η为惯性系数。

接下来考虑多孔 FGM 矩形板在X=0 和X=1处的无量纲边界条件，其形式如下：

简支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

2.2 DTM变换

对于温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动的无量纲控制微分方程式(17)的求解，本文采用一种半解析法—微分变换法(DTM)[24]进行求解。按照DTM的求解过程及原理，将温度影响下弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动的无量纲控制微分方程转换为如下的迭代代数方程：

边界条件的DTM变换如下：

在X=0处：

简支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

在X=1处：

简支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

结合式(21)～式(27)，边界条件为两边固定两边简支(CSCS)、一边固定三边简支(CSSS)和一边固支一边自由两对边简支(CSFS)的关于无量纲固有频率的特征方程如下：

对于边界条件为四边简支(SSSS)和一边自由三边简支(SSFS)，关于无量纲固有频率的特征方程如下：

要求得无量纲的固有频率必须满足：

对于边界条件为两边自由两边简支(FSFS)，关于无量纲固有频率的特征方程如下：

同理，必须满足：

式中，γ为迭代误差限，这里取 γ=0.000001。

3 计算结果及分析

应用MATLAB软件编写相关程序，由此可得到由DTM求解温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动时的无量纲固有频率。为了验证DTM的正确性，将温度影响下弹性地基上多孔FGM矩形板，经算例1退化为孔隙率为零时的FGM矩形板和Winkler弹性地基上FGM矩形板，并与文献[25]中的结果进行比较。经算例2得到新的结果。

算例1. 300 K下陶瓷和金属的物性参数分别取为： ρc=3800kg/m3， ρm=2700kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa。

表2 CSSS和CSFS边界条件下不同长宽比、不同梯度指数对FGM矩形板无量纲固有频率的影响Table 2 Influence of aspect ratio and gradient index on dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plate with CSSS and CSFS boundary conditions

表3 CSCS和SSSS边界条件下长宽比对Winkler弹性地基上FGM矩形板无量纲固有频率的影响(n=1, K=100)Table 3 Influence of aspect ratio on dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plate on Winkler elastic foundation with CSCS and SSSS boundary conditions (n = 1, K = 100)

算例2. 图2～图6中各物性参数均遵循表1中的实验数据，其中，泊松比ν取陶瓷材料和金属材料的平均值即：ν=(νc+νm)/2=0.280。

图2反映了当θ =0.2 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，Q=10 ，ΔT=100K，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下梯度指数n与前三阶的无量纲固有频率 Ω的关系曲线。结果显示：随着n的增大，无量纲固有频率 Ω总体上在减小。当n在小值范围取值时，无量纲固有频率减小趋势很剧烈；当n在较大值范围取值时，无量纲固有频率变化趋于平缓；当n的值一定时，边界约束越强，无量纲固有频率越大，即CSCS固有频率>CSSS固有频率>SSSS固有频率>CSFS固有频率>SSFS固有频率>FSFS固有频率。

图2 不同边界条件下梯度指数对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响Fig.2 Influence of gradient index on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plates on Winkler-Pasternak elastic foundations under different boundary conditions

图3给出当n=1 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，Q=10 ， ΔT=100 K时，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下孔隙率 θ与前三阶无量纲固有频率 Ω的关系。结果显示：一阶无量纲固有频率在CSCS、CSSS、SSSS边界下随着孔隙率的增大而减小，在CSFS、SSFS和FSFS边界下，一阶无量纲固有频率起初随孔隙率增大而减小，后又微弱增大趋势。而二阶、三阶无量纲固有频率随着孔隙率的增大在减小，且减小的幅度比一阶要大。当 θ一定时，边界约束越强，无量纲固有频率越大，即CSCS固有频率>CSSS固有频率>SSSS固有频率>CSFS固有频率>SSFS固有频率>FSFS固有频率。

图3 不同边界条件下孔隙率对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响Fig.3 Influence of porosity on the dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

图4给出当n=1 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，θ=0.2 ，Q=10时，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下温升ΔT与前三阶无量纲固有频率 Ω的关系。结果显示：前三阶无量纲固有频率随着温升的不断增大而减小，且二阶和三阶无量纲固有频率减小的幅度比一阶大。

图4 不同边界条件下温升对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响Fig.4 Influence of temperature rise on the dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

图5为n=1 ，H=0.1 ，ΔT=100 K，K=100，θ=0.2 ，Q=10时，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下长宽比λ与前两阶无量纲固有频率 Ω的关系。结果显示：前两阶无量纲固有频率随着长宽比的增大而增大，且二阶无量纲固有频率增大的幅度比一阶大。当长宽比λ一定时，边界约束越强，无量纲固有频率越大，即CSCS固有频率>CSSS固有频率>SSSS固有频率>CSFS固有频率>SSFS固有频率>FSFS固有频率。

图5 不同边界条件下长宽比对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响Fig.5 Influence of the aspect ratio on the dimensionless natural frequency of the porous FGM rectangular plate on the Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

图6 给出了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下，当n=1 ，H=0.1 ， ΔT=100 K，λ=1 ， θ=0.2 ，Q=10无量纲弹性刚度系数K对无量纲固有频率 Ω的影响。结果表明：前两阶无量纲固有频率随着无量纲刚度系数的增大而增大，且二阶无量纲固有频率几乎呈线性变化，当无量纲弹性刚度系数K一定时，边界约束越强，无量纲固有频率越大, 即CSCS固有频率>CSSS固有频率>SSSS固有频率>CSFS固有频率> SSFS固有频率>FSFS固有频率。

图6 不同边界条件下无量纲弹性刚度系数对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响Fig.6 Influence of dimensionless elastic stiffness coefficient on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

图7 反映了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下，当n=1 ，H=0.1 ， ΔT=100 K，λ=1 ， θ=0.2 ，K=100，无量纲剪切刚度系数Q对无量纲固有频率 Ω的影响，结果表明：前两阶无量纲固有频率随着无量纲刚度系数Q的增大而增大。且二阶无量纲固有频率比一阶无量纲固有频率增大得到幅度大，当Q的值一定时，边界约束越强，无量纲固有频率越大，即CSCS固有频率>CSSS固有频率>SSSS固有频率>CSFS固有频率> SSFS固有频率>FSFS固有频率。

图7 不同边界条件下无量纲剪切刚度系数对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板无量纲固有频率的影响无量纲固有频率的影响Fig.7 Influence of dimensionless shear stiffness coefficient on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

图8 给出了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS边界条件下，当n=1 ， ΔT=100K ，λ=1 ， θ=0.2 ，K=100 ，Q=10 ， 边 厚 比 1/H对一阶无量纲固有频率 Ω1(即无量纲基频)的影响。这里边厚比的取值为8～60之间，结果表明：一阶无量纲固有频率均随着边厚比 1/H的增大而减小。由于随着边厚比的增大，多孔FGM矩形板的整体刚度趋向于减小，从而导致这一必然结果。

图8 不同边界条件下边厚比对Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板一阶无量纲固有频率的影响Fig.8 Influence of side-to-thickness ratio on first dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

4 结论

本文基于Hamilton原理和经典薄板理论建立了温度影响下Winkler-Pasternak弹性地基上多孔FGM矩形板自由振动的控制微分方程并无量纲化，然后运用微分变换法(DTM)对无量纲控制微分方程及其边界条件进行变换，通过编写MATLAB程序求解出无量纲固有频率，并分别给出了不同参数值的变化对无量纲固有频率的影响。得到主要结论如下：

(1) 多孔FGM矩形板无量纲固有频率 Ω 随着梯度指数n的增大而减小，随着梯度指数n趋向于无穷大，无量纲固有频率趋于不变，合理的解释了FGM中陶瓷材料向金属材料过渡的特性。

(2) 多孔FGM矩形板无量纲固有频率 Ω随着孔隙率 θ变化：一阶无量纲固有频率在CSCS、CSSS、SSSS边界下随着孔隙率的增大而减小，在CSFS、SSFS和FSFS边界下，一阶无量纲固有频率起初随孔隙率增大而减小，后有微弱增大趋势。而二阶、三阶无量纲固有频率随着孔隙率的增大在减小，且减小的幅度比一阶要大。

(3) 多孔FGM矩形板前三阶无量纲固有频率Ω随着温升ΔT的增大而减小，且二阶和三阶无量纲固有频率减小的幅度比一阶大。

(4) 多孔FGM矩形板无量纲固有频率 Ω随着无量纲弹性刚度系数K的增大而增大，且二阶无量纲固有频率几乎呈线性变化。随着无量纲剪切刚度系数Q的增大而增大。

(5) 多孔FGM矩形板前两阶无量纲固有频率随着长宽比的增大而增大。一阶无量纲固有频率Ω随着边厚比 1/H的增大而减小。