基础竖向多频参数激励下圆弧拱平面内动力失稳研究

钟子林，刘爱荣

(1. 广州大学风工程与工程振动研究中心，广东，广州 510006；2. 广州铁路职业技术学院，广东，广州 510430)

拱结构具有造型美观、跨越能力强和承载能力大等优点，被广泛应用于建筑工程，如巴黎圣日内维耶图书馆和沈阳西站候车室的屋盖等；桥梁工程，如广西平南县拱桥和卢浦大桥等；水利工程，如美国科罗拉多河葛兰大坝和日本的黑部大坝等；机械和航空工程，如拱形吊车梁、曲梁构件和拱形机舱骨架等。在外部环境激励下，拱可能会发生大幅度振动，当外部激励达到临界失稳频率，拱将发生剧烈振动而导致失稳。不同激励幅值下的临界激励频率围成拱的动力不稳定域，可预测拱在外部参数激励下的稳定性。由于外部激励持续变化，可能诱发拱发生多种类型的动力失稳。动力不稳定域的域宽和分布非常复杂，如何准确计算拱的动力不稳定域并分析其随各种参数的变化规律，优化拱的设计参数，以避免其落入动力不稳定域，是当前研究的难点。

研究发现，当动力荷载的激振参数(频率、幅值等)与拱的振动频率满足一定条件时，拱的位移将会突然增加，发生动力失稳。例如，当外荷载的激振频率是拱自振频率的2倍时，拱的位移突然呈指数增长，发生参数共振失稳。Bolotin[1]在其著作中针对径向均布荷载作用下的两端铰接圆弧拱进行了解析推导，给出了拱平面内反对称参数共振失稳域的求解方法。在Bolotin的研究基础上，Sophianopoulos等[2]首次推导了简谐荷载作用下两端铰接悬链线拱的Mathieu-Hill常微分运动方程，并利用Bolotin法得到了悬链线拱参数动力失稳的临界频率域。王连华等[3]考虑了几何缺陷的影响，推导了周期动力荷载作用下拱的运动方程，并从李雅普诺夫稳定性原理出发，得到了李雅普诺夫指数，研究了激励频率与缺陷大小对拱平面内动力稳定性的影响，但未分析拱动力失稳域的分布规律。为此，赵洪金和董宁娟针对不同设计参数拱的参数动力失稳开展了系列的研究。首先，赵洪金等[4]利用哈密顿原理和伽辽金法推导了两端铰接圆弧格构拱的运动方程，通过Bolotin法求解了拱的面内一阶反对称动力失稳域，并分析了不同缀条面积、半径和夹角等对不稳定域大小的影响；然后，赵洪金等[5]采用类似的方法分析了剪切变形对圆弧深拱动力不稳定域的影响；董宁娟和赵洪金[6 − 7]利用Bolotin法和半解析法求解得到了径向均布荷载作用下开口薄壁与闭口薄壁圆弧拱的平面内一阶反对称动力失稳域。以上研究未考虑非线性振动、阻尼、附加配重等参数对圆弧拱动力稳定性的影响，且未开展实验研究验证理论解析解的正确性[8]。为进一步揭示圆弧拱动力失稳机理，Liu和Yang等[9]基于能量法推导了拱顶集中简谐荷载作用下固接圆弧拱平面内的动力方程，求解了圆弧拱平面内反对称参数共振失稳的动力不稳定域，进一步利用激振器生成简谐波，开展了扫频实验获得了拱的动力不稳定域，分析了矢跨比、附加质量对动力不稳定域的影响规律。此外，Liu和Lu等[10]发现，拱在集中简谐荷载作用下，当激振频率大约为拱面外自振频率的2倍左右时，拱从原来的面内平衡位置突然过渡为面外平衡状态并发生大幅度的弯扭振动。为从理论的角度解释这一现象，他们基于能量法，同时考虑了阻尼和非性振动的影响，推导了拱顶集中简谐荷载作用下固接圆弧拱平面外的动力平衡微分方程，求解了圆弧拱平面外弯扭参数共振失稳的动力不稳定域，分析了动力不稳定域的域宽与分布随矢跨比、附加配重和阻尼比的变化规律以及非线性振动规律。此外，他们还设计了圆弧拱实验模型进行激振实验，验证了理论解的正确性，并揭示了拱顶集中简谐荷载作用下圆弧拱平面外动力失稳机理。Zhong和Liu等[11]利用哈密顿原理与伽辽金法建立了沿拱轴线竖向均匀分布简谐荷载作用下圆弧拱的动力数学模型，推导了周期为T和2T的圆弧拱参数共振失稳域的解析表达式，分析了静载、阻尼比和矢跨比对动力不稳定域域宽与分布的影响，通过建立有限元瞬态动力分析模型验证了理论解析的正确性。为探索冲击荷载下圆弧拱的动力失稳问题，Liu和Yang等[12]建立了径向任意阶跃动荷载作用下圆弧拱的非线性运动方程，得到了圆弧拱的动力失稳荷载解析解，分析了荷载位置对拱动力屈曲行为的影响。Yang和Liu等[13]研究了集中阶跃荷载作用下FG-GPLRC拱的非线性动力屈曲，探究了GPLs 分布模式、质量分数和几何尺寸对 FGGPLRC拱动力屈曲的影响，结果表明GPLs 能够显著提高FG-GPLRC拱的动力屈曲临界荷载。跌落冲击荷载往往携带巨大的能量，但其对拱的动力屈曲行为还需要进一步研究。Yang和Liu等[14]基于能量守恒原理建立了高空跌落重物冲击下圆弧拱动力平衡方程，将重物势能转化为动能，分析了拱长细比、冲击重量与速度对圆弧拱动力失稳的影响。

以上研究成果均未涉及基础激励下拱动力失稳问题。而基础激励在工程中随处可见，例如水下钻孔、地震、航道、隧道等爆破产生的冲击波、大型轮船运行时产生的水击波、地铁运行产生的振动等，是导致拱发生动力失稳的主要元凶之一。然而基础激励下拱的失稳机理尚不明晰，相关研究很少公开报道。只有，Chen等[15]将水平简谐荷载施加在正弦浅拱的一端可动支座上，通过实验观察拱的平面内非线性振动行为，但未测得拱动力失稳的临界激励频率。此外，Zhong和Liu[16]针对基础竖向激励下圆弧拱平面外参数共振失稳进行了理论推导，分析了不同矢跨比、圆心角、长细比、阻尼比对圆弧拱平面外参数共振失稳临界激励频率的影响，并提出了一种临界激励频率的实验测试方法，发现了圆弧拱发生参数共振失稳时振动频率的跳跃行为，实验结果验证了理论解的正确性。

然而，在实际工程中，基础激励多为多频激励，即结构基础同时受到2个或以上激励源的作用，比如邻近桥梁的基础同时受到隧道开挖过程中机械本身产生的振动激励与机械运动导致地面振动的激励，多艘轮船同时产生多个水击波对桥梁基础的激励等。基础多频激励会导致拱复杂的动力失稳行为。与基础单频激励作用下圆弧拱的动力失稳相比，多频激励下运动方程求解过程更为复杂，需考虑多个谐波分量之间的相互作用关系。此外，不同激励幅值和激励频率的组合将会影响动力不稳定域的域宽与分布规律，可能出现共振与参数共振交替出现或模态混叠的现象。因此本文针对基础竖向多频激励下圆弧拱的平面内动力稳定性展开深入的研究。

1 运动方程

1.1 平面内能量方程

图1 基础竖向激励下圆弧拱动力系统Fig.1 Dynamic system of the circular arch under a vertical base excitation

基础竖向激励下圆弧拱截面上任意一点P的应变函数可表示为[17 − 18]：

式中：

忽略剪切变形与截面转动惯量的影响，基础竖向激励下圆弧拱的平面内Lagrangian方程 ℓi可表示为：

式中，拱的动能T可表示为：

式中，E、A、Ix分别为圆弧拱的弹性模量、截面面积、截面惯性矩，由动轴力引起的内力做功WN可表示为：

此外，非保守力阻尼做功可表示为：

1.2 平面内动力平衡方程

基础竖向激励下圆弧拱平面内的动力平衡方程可由哈密顿原理以及变分运算得到，由哈密顿原理可得：

式(11)满足以下条件：

式中，t1、t2为任意时间。

将式(5)、式(7)～式(9)代入式(11)，运用式(12)的条件以及变分运算法则，可得由无量纲径向和切向位移控制的平面内动力方程：

式(13)～式(14)表示的动力系统的边界条件和运动初始条件为：

式中，Δn为拱第n阶模态自由衰减振动的衰减率。

2 基础竖向激励下圆弧拱平面内的动内力

基础竖向激励产生的圆弧拱动轴力与动弯矩可表示为：

对耦合方程式(13)～式(14)进行解耦计算，得：

式中：

将式(20)～式(21)代入式(13)～式(14)中，忽略内力做功，得：

求解式(22)～式(23)表示的动力方程组，并根据边界条件求得相应的积分系数，可得：

式(24)～式(25)中，D1、D2分别为：

3 求解动力不稳定域

圆弧拱的切向位移函数可表示为[20 − 21]：

式中，fn(t)、 ψn(φ)分别为圆弧拱的空间坐标和模态函数。选取面内前两阶模态(一阶反对称、二阶正对称)作为圆弧拱动力失稳分析对象，将式(28)代入基础竖向激励下圆弧拱的平面内动力平衡方程式(19)，运用伽辽金法对动力平衡方程进行离散分析，并采用多尺度法[22]进行求解，可得前两阶模态的常微分干扰方程为：

式(29)～式(30)中，ε为远小于1的小参数，其余系数的表达式为：

运用多尺度法对式(29)～式(30)进行二阶近似计算，引入时间尺度，Tn=εnt，时间尺度微分计算公式为[22]：

式(39)中，Dn=∂/∂Tn。

将fn(t) (n=1, 2) 扩展为ε的幂级数形式，其二阶近似可表示为：

将式(40)～式(41)代入式(29)～式(30)，使ε的同次幂项系数等于0，有：

式(42)的解可以表示为以下形式：

不失一般性地假设圆弧拱基础受到的竖向多频激励为双余弦简谐激励，即：

将式(45)～式(46)分别代入式(43)，可得：

当圆弧拱基础受到竖向多频激励时，圆弧拱会发生多种形式的联合共振失稳。其中，当基础双余弦激励同时激发圆弧拱发生一阶反对称参数共振失稳、二阶正对称共振失稳时，根据多尺度分析法[22]，可引入3个调谐参数σ1、σ2、σ3，分别表示圆弧拱动力系统的干扰条件，即：

将式(49)代入式(47)～式(48)，消除相应的久期项，可得：

因此，可得式(47)～式(48)的特解为：

将式(45)、式(49)～式(50)代入式(44)，并根据式(49)给出的圆弧拱平面内动力失稳的干扰条件，消除相应的久期项，可得：

根据多尺度法的求解方法，通过构建ε的幂级数描述振幅An(T1,T2)(n=1,2)变化，即满足下式：

通过考察动力方程不动点的稳定性，可以判断定态周期解的稳定性。根据现有的研究可知，振幅An(T1,T2)(n=1,2)可表示为极坐标的形式，然而却不利于求解不动点的周期解，因此可将振幅An(T1,T2)(n=1,2)写成直角坐标的形式，即：

根据式(47)～式(48)、式(51)～式(52)分别求出D1A1·(T1,T2) 、D1A1(T1,T2) 、D2A1(T1,T2)和D2A1(T1,T2)，将其代入式(53)，并分离实部与虚部，可得：

为求解基础多频激励下圆弧拱动力系统不动点的周期解，通过观察式(55)～式(58)关于系数p1、q1组成的方程组，建立相应的雅克比矩阵，通过求解雅可比矩阵的特征值，便可得到圆弧拱动力系统的临界激励频率值。

4 结果分析

选取弹性模量E=65.38 GPa，质量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比为µ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.02 m×0.001 m，跨径L=0.8 m的两端固接圆弧拱作为研究对象，其中动力系统的一阶阻尼衰减率Δ1=0.02，二阶阻尼衰减率Δ2=0.002，基础双余弦激励的最大加速度幅值分别为Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，并 设Pt1=β1Pmax1,Pt2=β2Pmax2，β1和β2分别为两个余弦激励的无量纲激励幅值。由式(49)可知，σ1=σ2，表明两个余弦激励的频率相等，即Ω1=Ω2=Ω，而无量纲激励幅值β1、β2的变化范围均设为[0,1]，因此可设β1=β2=β，即对于激励幅值Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，当β=0.2时，Pt1=6 m/s2，Pt2=8 m/s2。

由图2可知，两条曲线将参数平面(β−Ω/ω1)划分为稳定区域与不稳定区域，其中虚线围成的区域为一阶反对称参数共振失稳域，实线围成的区域为二阶正对称共振失稳域。从图中还可知，在设定的激励幅值下，仅矢跨比为f/L=1/4圆弧拱的反对称参数共振失稳与正对称共振失稳的动力不稳定域存在重合区域。当基础激励的幅值与频率落入该重合区域时，圆弧拱将会被激发双模态动力失稳，即同时发生一阶反对称参数共振失稳和二阶正对称共振失稳，而两个域的非重合部分分别表示圆弧拱将会被分别激发平面内一阶反对称参数共振失稳和正对称二阶共振失稳。

由图2可知，基础多频激励下圆弧拱平面内反对称参数共振失稳的动力不稳定域主要分布在无量纲激振频率Ω/ω1=2附近，表明当基础激励频率约为圆弧拱一阶自振频率的2倍时，圆弧拱将会被激发平面内一阶反对称参数共振失稳。此外，参数共振失稳域的域宽远大于共振失稳域的域宽，表明相对于共振失稳，参数共振失稳是拱结构动力稳定设计的首要防控目标。

由于圆弧拱动力系统存在一定的阻尼，所以反对称参数共振失稳域与正对称共振失稳域均存在一个临界激励幅值βcr1、βcr2，即当基础激励的幅值大于临界值时才能激发圆弧拱发生动力失稳。因此，工程中可以采用增加阻尼的方法来抑制圆弧拱的动力失稳。由图2可知，随着矢跨比的减小，参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域的域宽逐渐增加，而无量纲临界激励幅值βcr却逐渐减小。

图2 基础激励下不同矢跨比圆弧拱平面内动力失稳的动力不稳定域Fig.2 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different span-rise ratio

为研究长细比对圆弧拱参数动力失稳的影响，可选取弹性模量E=69 GPa，质量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比为µ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.08 m×0.015 m，圆心角2Θ=90°的两端固接圆弧拱作为研究对象，其中动力系统的一阶阻尼衰减率Δ1=0.01，二阶阻尼衰减率Δ2=0.001，基础双余弦激励的最大加速度幅值分别为Pmax1=300 m/s2，Pmax2=500 m/s2。

以下分析不同圆心角对动力不稳定域的影响规律，设圆弧拱的长细比S/rx=400，动力系统参数与图3分析中的参数相同。由图4可知，随着圆心角的增加，动力不稳定域的域宽逐渐减小，无量纲临界激励幅值逐渐增加。而当圆心角2Θ=120°时，在该基础多频激励下，圆弧拱仅发生参数共振失稳。虽然随着圆心角的增加，圆弧拱参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域域宽逐渐减小，但是随着圆心角的增加，二阶正对称自振频率逐渐靠近一阶反对称自振频率，因此在基础激励频率相同的情况下，两个动力不稳定域逐渐靠近，此时若增加基础激励的幅值，大圆心角圆弧拱的两个动力不稳定域更容易发生重合，并被激发双模态动力失稳。由于参数共振失稳域远大于共振失稳域，因此相比之下，当拱结构设计中要求长细比一定时，应选择大圆心角的圆弧拱来增加其动力稳定性。

图3 基础激励下不同长细比圆弧拱平面内动力失稳的动力不稳定域Fig.3 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different slenderness ratio

图4 基础激励下不同圆心角圆弧拱平面内参数动力失稳的动力不稳定域Fig.4 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different central angle

由图5可知，当增加圆弧拱的阻尼时，平面内一阶反对称参数共振和二阶正对称共振失稳域逐渐减小，临界激励幅值逐渐增加，表明阻尼对圆弧拱的动力失稳有明显的抑制作用。因此当圆弧拱的参数无法改变时，可通过增加圆弧拱动力系统阻尼的方法避开动力不稳定域。

图5 不同阻尼衰减率下圆弧拱平面内参数动力失稳的动力不稳定域Fig.5 Dynamic instability regions of the circular arch for different damping decrement

5 有限元验证

采用有限元瞬态分析方法[11]，施加不同的加速度激励幅值，对圆弧拱进行扫频激振，得到圆弧拱平面内振动的动力响应，如图6所示，其中基础激励的起始频率分别为：向上扫频37.41 Hz，向下扫频43.17 Hz，扫频速率为0.333 Hz/min。以图2(d)中的圆弧拱为对象，利用有限元瞬态分析法分别得到不同激励幅值下圆弧拱发生平面内一阶反对称参数共振失稳的临界激励频率，其中基础双余弦激励的幅值分别为Pt1=30 m/s2、Pt2=40 m/s2，阻尼衰减率为Δ1=0.02。根据时域分析法[14]可知，向上和向下扫频基础激励下圆弧拱发生平面参数共振失稳的临界时间分别为40 s和41 s，对应的临界激励频率分别为37.63 Hz和42.94 Hz。按照相同的方法可分别计算出动力不稳定域的临界激励频率下限值ΩL和上限值ΩH。表1分别给出了基础双余弦激励下圆弧拱平面内一阶反对称参数共振失稳临界激励频率的解析解与数值解的对比，通过误差分析可知，两者的临界激励频率值吻合，变化规律相同，即随着无量纲激励幅值的增加，下限值ΩL逐渐减小，上限值ΩH逐渐增加。同时也验证了理论解析解的正确性。

图6 基础双余弦激励下圆弧拱平面内参数动力失稳的振幅时程( β=1)Fig.6 Amplitude of the circular arch under double cosine base excitation for the in-plane parametric resonance

表1 基础双余弦激励下圆弧拱平面内一阶反对称参数共振失稳临界激励频率的解析解与数值解(f/L=1/10)Table 1 Analytical and numerical solutions of the critical excitation frequencies of first-order antisymmetric parametric resonance instability of a circular arch plane under a base double cosine excitations

6 结论

由于基础竖向多频激励下圆弧拱易发生联合共振失稳，因此本文针对圆弧拱同时发生一阶反对称参数共振和二阶正对称共振的失稳类型展开了理论推导，得到了相应的动力不稳定域，并分析了动力不稳定域随圆弧拱设计参数的变化规律，得到以下结论：

(1) 在一定外部激励下，圆弧拱有可能被激发前两阶模态联合共振失稳，参数共振失稳模态为一阶反对称，共振失稳模态为二阶正对称。

(2) 动力不稳定域可以用于预报基础竖向多频参数激励下圆弧拱的动力稳定性。不稳定域存在一个重合区域使得圆弧拱同时发生一阶反对称参数共振失稳与二阶正对称共振失稳。参数共振失稳域的域宽远大于共振失稳域的域宽，因此参数共振失稳是拱结构动力稳定设计的首要防控目标。

(3) 随着矢跨比的减小，参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域的域宽逐渐增加，而无量纲临界激励幅值却逐渐减小；随着长细比的增加，参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域域宽逐渐增加，而无量纲临界激励幅值却逐渐减小；随着圆心角的增加，参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域域宽逐渐减小，无量纲临界激励幅值逐渐增加；阻尼对圆弧拱平面内的动力失稳具有明显的抑制作用，可减小参数共振失稳和共振失稳的动力不稳定域域宽，增加无量纲临界激励幅值。

(4) 当基础激励的幅值与频率落入动力不稳定重合域时，圆弧拱将被同时激发一阶反对称参数共振失稳和二阶正对称共振失稳，而当基础激励的幅值与频率避开重合域时，圆弧拱仅被激发反对称参数共振或共振失稳。

(5) 动力失稳临界激励频率的理论解析解与数值解基本一致，验证了理论解析解的正确性。