巧用绝对值的性质解函数题

祝均林

我们知道，绝对值有多个性质，如1. |a| ≥ 0 ;2.|a+ b|≤|a|+|b|（a，b∈R）;3.|x|<a⇔-a<x<a，|x|>a⇔x<-a 或 x< a;4.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.这些性质是解答函数问题的重要工具.很多函数问题常与绝对值相结合，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、性质以及绝对值的性质.在解答函数问题时，灵活运用绝对值的性质可有效避免因分类讨论带来的麻烦，达到化繁为简的目的.

一、判断函数的奇偶性

对于分段函数或含有绝对值的函数式，在判断其单调性时，我们可利用绝对值的性质：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，来构造绝对值或含有绝对值的函数式，再根据函数奇偶性的定义去分析和判断.若 f （x） = f （-x） ，则函数为偶函数;若 f （x） = -f （-x） ，则函数为奇函数.

例1.已知函数 f （x） = ìíîx2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，试判断其奇偶性.

解：函数 f （x） = ìíîx2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，等价于 f （x） = x2（| x| - 1）（x ∈ R） ，而 f （-x） = （-x）2（|-x| - 1） = x2（| x| - 1） = f （x） ，即 f （x） = f （-x） ，

所以函数 f （x） = ìíîx2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，是偶函数.

该函数为分段函数，且两个区间段上的函数式的结构类似，于是根据绝对值的性质1和4，构造绝对值式，这样便能快速得出 f （x） = f （-x） ，從而判断出函数的奇偶性.一般地，函数 f （x） 是偶函数的充要条件为： f （x）=f （|x|） .

二、求参数的取值范围

对于含有参数的函数不等式问题，我们可根据函数的对称性和偶函数的性质，构造含有绝对值的函数式，这样便能将函数问题转化为解绝对值不等式问题，利用绝对值的性质3来解题.

例 2.已知函数 f （x） 在 [-2，2] 上为偶函数，且在[0，2] 上单调递减，若 f （1 - m） < f （m） ，求实数 m 的取值范围.

分析：由于该函数为偶函数，所以可假设 f （x）= f （|x|） ，那么函数在两个对称的区间上具有相反的单调性，由此便可去掉函数符号“ f ”，建立含有绝对值的不等式，解不等式即可求得参数的取值范围.

解：因为 f x为偶函数，因此 f1- m <fm ，

又因为函数 f x在0， 2上为减函数，

解得：- 1≤ m <，

因此，实数m 的取值范围为- 1，.

利用绝对值对的性质来求参数的取值范围，能有效回避对参数的分类讨论，使得解题的过程变得更加简明.

三、求函数的单调区间

求函数的单调区间，需重点研究函数的解析式.对于较为复杂的函数式，可把函数式进行适当的变形，将其转化对称区间上具有相同结构的函数式，然后根据绝对值的性质构造绝对值式，这样就能轻易地判定出它们的单调性，求出函数的单调区间.

例3.已知函数fx=8+2x - x2，gx=f2- x2，下列说法正确的是（）.

A. gx在区间-2， 0上单调递增

B. gx在区间0， 2上单调递增

C. gx在区间-1， 0上单调递减

D. gx在区间0， 1上单调递减

解：由题意可得，f x=8 +2x - x2= -x -12+9，

又因为gx=f2- x2，所以gx=-2- x2-12+9= -x2- 12+9=-x2- 12+9，

因此gx和hx=-x2- 12的单调区间相同，

而hx在-1， 0上单调递减，即gx在区间-1， 0上单调递减，

故正确答案为C选项.

我们先将函数式变形，根据绝对值的性质1将函数式转化为含有绝对值的式子，再根据二次函数的性质判断出其单调性，进而求得函数的单调区间.

总之，在解答分段函数、偶函数以及函数式较为复杂的函数问题时，我们可先在不同区间上寻找结构类似的函数式，抓住偶函数的特性，构造出含有绝对值的函数式，再利用绝对值的性质来解题.

（作者单位：江苏省靖江市第一高级中学）