美的数学方程式

范荟

美与数学似乎是两个截然不同的领域，美常常与感性、意识等词语相关联，而数学则是追求理性的终极模型。“人们认识美、探索美的秘密是一个极为古老的课题。”在探索这个秘密的过程中，古代的智者们发现美竟然与数学有着紧密的联系，甚至有一个神秘的数学定律与大自然和艺术作品中的许多美的形式完全契合。这个数学定律就是“黄金分割率”，它是许多美的形式的数学模型，是美学与科學的奇妙共舞。

在遥远的古希腊，有一位著名数学家、哲学家叫毕达哥拉斯。相传有一天他走在街上，听到有节奏的“叮叮当当”的声音，发现是铁匠打铁时发出的有规律的、悦耳的敲击声，于是他停下脚步，驻足倾听。伴随着铁锤的敲击，毕达哥拉斯发现敲击声与间隔产生的规律性的节奏恰好形成一个比例，并且可以用数学方程表达出来。后来，数学家欧几里得等人进一步阐述了这一数学概念。而这个比例有着许多奇妙的性质，它不仅深受数学家的痴迷，被运用于数学研究，还被艺术家所推崇，常运用于建筑、绘画、书法、音乐之中。这个比例被称为“黄金比例”或是“神圣比例”。

简单来说，黄金比例就是将一条线段分为两部分，其中较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比。如上图所示，如果将黄金分割率简化成数学比例关系，就是B C∶A B = A B∶AC，比值约为0.618。将这个比例关系延伸出来，还有许多有趣的数学关系，比如说神奇而迷人的斐波那契数列，又称“黄金分割数列”。

数列可以简单理解为前后有规律的一组数排成的队列。我们所说的斐波那契数列从第三个数字开始，每一个数字都等于它前面两个数字之和。如果将这个数列用图形表现出来，那么神奇的事情就发生了，它形成了一个弧度优雅而美丽的螺旋线。看到这个螺旋的弧线，你会联想到什么呢？是浩瀚大海中螺旋形的贝壳，还是浩渺宇宙中的螺旋星系？其实，大自然中还蕴藏着无穷无尽的黄金比例。它可能蕴含在一朵花的乾坤之内，也可能彰显在一棵树的枝叶之上，还有可能潜藏在一幅飓风图的奥秘之中。

黄金分割虽然是一种数学上的比例关系，但是它却能产生和谐感与韵律感，其中蕴藏着丰富的美学价值，被古今中外的艺术家不断运用于艺术创作之中。在这些与黄金比例相关的艺术作品中，有一些可以直接通过作品体现出比例之美，或是艺术家明确指出自己作品与黄金分割的关系，还有一些作品则似乎是在无意中与黄金比例产生了微妙的联系。

最早运用黄金比例的是古希腊时期的建筑。例如古希腊的帕特农神庙，经测量发现，庙身的高与宽的比非常接近黄金比例，其上部装饰部分的高度与下侧柱子的高度的比也约等于0.618。帕特农神庙代表了古希腊建筑艺术的最高水平，可谓是古代建筑的典范之作。古罗马时期的建筑大师维特鲁威曾在他的著作《建筑十书》中充分强调了黄金比例在建筑设计中的重要性。

维特鲁威运用黄金比例建立了立柱、房间和整座建筑物的比例标准。虽然他倾尽心力研究建筑中的黄金比例，但是并不推崇千篇一律的设计，他赞成建筑师在设计时应该有自己的变化。维特鲁威不仅对建筑的黄金比例进行了深入阐述，还引申出对人体比例的详细论述。他强调：“实际上，没有均衡或比例，就不可能有任何神庙的位置。即与姿态漂亮的人体相似，要有正确分配的肢体。”维特鲁威在书中还对手、肘等身体各个部位与躯干的比例关系一一作出阐述，这对后世对于人体与建筑艺术的研究影响极为深远。

大约1 5 0 0年后，在维特鲁威的启迪下，著名画家达·芬奇用钢笔和墨水绘制了素描手稿《维特鲁威人》。这份纸质手稿虽然尺幅较小，但它的珍贵不言而喻。从作品的名字中就可以看出达·芬奇受到维特鲁威对人体比例的研究的影响。画面是一个比例优美、肌肉结实的男子，身体分别摆出“十”字形和“火”字形两种姿势，两种姿势头部重叠，以头和四肢为端点，分别可以画出一个正方形和圆形。手稿上下各有一段文字。神奇的是，从这幅小小的手稿中，可以发现许多人体与数学的奥秘。

例如，双脚并拢、双臂水平伸出的呈“十”字形的姿势恰好诠释了一句话：“人伸开的手臂的宽度等于他的身高。”而画中男子两臂微微倾斜上举，两腿叉开，呈“火”字形的姿势外接一个圆形，而圆心就是人的肚脐。如果细细分析《维特鲁威人》，其中包含的比例关系十分丰富，甚至男子面部的比例都是均衡的三等分。

2 0世纪最著名的建筑大师、现代主义建筑的主要倡导者勒·柯布西耶的著作《模度》是对人体尺度和自然之间的数学关系的研究成果。这也是对维特鲁威、达·芬奇关于人体和建筑比例关系的进一步发展。

关于黄金比例的运用频频出现在知名建筑物的结构以及世界名画构图之中。例如埃及金字塔、巴黎圣母院、埃菲尔铁塔，例如《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》《戴珍珠耳环的少女》《圣保罗的皈依》等都暗含着黄金比例。

无独有偶，我国当代书法家启功在书法结字中也运用到了黄金分割，他提出：“楷书又叫真书，结字有个规律，规律就是合乎黄金分割即黄金率，这是我偶然发现的。”启功在自己的书法中也切身实践着他的黄金结字律的理论。他对于书法字形结构的黄金比例实际上是将正方形进行黄金分割，按照0 . 3 2 8∶0 . 6 1 8的比例画线，最终四条线交汇就形成四个黄金分割点。启功认为，当楷书的字的重心在这四个点上时，字形最为美观。

黄金分割不仅被运用于建筑、绘画、书法之中，它甚至还启发着音乐家创作出美妙动人的乐曲。有人曾统计过莫扎特的各种钢琴协奏曲，发现其中的许多段落都与黄金比例相符合。例如，莫扎特《安魂曲》的第一段中，第一部分有3 8次节拍，第二部分有6 2次节拍，二者的比值约为0.618。现在我们无法求证莫扎特对音乐节拍与黄金分割的关系是否有意为之，但是他的钢琴曲悦耳动听、令人陶醉却是不争的事实。

在众多美术、音乐作品中我们都能发现黄金比例的身影。难道它就是美的终极规律吗？黄金比例具有均匀、协调等特性，符合人的审美心理，而它恰巧又可以与数学完美契合，因而对美的形式和审美规律有一定的意义。但我们还要明白，美是千变万化的，美的形式是多种多样的，纵使有一定的规律可循，其规律也并不仅仅是黄金分割一种。在我国传统绘画理论中就有“丈山尺树，寸马分人”的比例关系，书法中也有利用“九宫格”“米字格”等来分析字形结构的……

艺术的形式多种多样，关于美的奥秘又何止是一种规律能概括所有呢？“路漫漫其修远兮”，在前人探索美的奥秘后，仍然需要后来人对美的本质进行更深层的挖掘和探索。C07FE95F-CF58-4D75-ADC1-B718617454A0