三角形边等差的解法及命题意图探究

刘小树

(安徽省固镇县第一中学 233700)

1 试题呈现

2 试题解析

解法1(基本不等式法)

①

②

又由余弦定理及不等式，得

解法2 (配角三角公式变换法)

2sinB=sinA+sinC.

③

解法3 (建系构造椭圆法)

图1

④

于是④化为

即当△ABC为等边三角形时取到最小值.

解法4(Jensen不等式法)

因为f(x)=sinx,x∈(0,π),f″(x)=-sinx<0,所以f(x)为上凸函数.

又2sinB=sinA+sinC,

所以3sinB=sinA+sinB+sinC

又因为2sinB=sinA+sinC,2b=a+c,

即a,b,c成等差数列.故b不是最大边.

由基本不等式，得

sin2B≥sinA·sinC,当且仅当A=C取等号.

3 试题命题意图分析

试题用了4种方法解题，从解法1到解法4，解题要求难度逐渐加大，但是从考后调查发现，以上四种解法中，解法1，2仅少部分同学使用，解法3更是罕有人用，竞赛党同学容易想到解法4.试题难度系数0.22，区分度0.45，全市得分率为22.01%，最好的学校得分率也仅为40%，足见得分很低.大多数同学使用的方法让命题者欣慰又大跌眼镜：直接根据对称性取正三角形得到答案.这不得不让人思考，为什么会出现这种事与愿违的结果呢？可以从两个方面分析：一方面：大多数同学做16题常使用极限法、特殊图形或特殊值法，加上考试时间紧，压轴小题难度大，学生不敢在这里耗费时间，不得不取特殊图形法，而且验算后发现符合要求，就铤而走险解题.另一方面如果答案被学生轻而易举猜到，说明命题没有体现隐形性，要从命题角度考虑了.本题条件容易让考生联想到特殊图象法.

如果设置为

⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，

⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.

⑦

相对来讲更能达到压轴和考查的目标.这是因为以上三种情形不易被考生猜到特殊图形，即使猜也没有理由.实际上这三种情形是等价的，最终都可以化为2b=a+c，这样既能达到考查要求，又不会被学生钻了空子，从而导致命题的尴尬境地.对于以上重新设置的条件为什么可以达到压轴目的呢，下面将转化过程具体证明，大家就一目了然了.

三种形式等价证明如下：

⟺a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b

⟺a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b

⟺2b=a+c；

⑥cosA+2cosB+cosC=2

⟺cosA+cosC=2-2cosB

⟺2sinB=sinA+sinC

⟺2b=a+c；

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

同⑥可化为2b=a+c或b=2(a+c)(舍).

不难发现， ⑤⑥⑦考查知识方法更全面、丰富、多元性、隐形性,可以多层次考查学生.另外大家还发现①至⑦都是等价命题.

高中数学命题原则一般是条件间要满足相容性，不得与公理定理概念相矛盾；力求语言描述准确无歧义；解题方法多元性，多种知识、思想相互沟通，对考生有启发性；试题素材要新颖、丰富、典型、隐形性，防止猜题.

命题是一项重要的工作，教师命题必须紧扣教学大纲和高考核心素养要求，合理命题，既要考查学生对基础知识，思想方法的掌握情况，又要让学生从问题中训练思维，提升能力，得到启发，使学生在解题中领悟命题意图，达到融会贯通，举一反三.命题要反复斟酌，力求做到没有失误，才能命出解法自然，形式完美的经典试题.