公理化定义矩阵行列式的性质推导

赵姣珍，许道云

(1.贵阳人文科技学院 大数据与信息工程学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州大学 计算机科学与技术学院，贵州 贵阳 550025)

矩阵的行列式值是矩阵的一个不变量，它是代数中一个重要的基础概念，对矩阵各种性质研究以及矩阵在其他领域中的应用，几乎都与行列式相关。本文考虑的矩阵均指n阶方阵，给定一个n阶矩阵，可用列向量表示为

通常，矩阵的行列式定义以如下公式给出[1]：

(1)

其中，π是集合{1,2,…,n}上的一个置换。置换π可以被分解为对换的乘积，π的奇偶性由它被分解为最少对换个数的奇偶性决定，此与序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序数(记为τ(π))的奇偶性一致。式(1)中的求和则是取遍{1,2,…,n}上的所有置换。

从式(1)可以找到二阶和三阶行列式的计算规律，并用于计算。但对于四阶以上的n阶行列式，利用式(1)作为计算公式是不现实的。实际计算时，主要是基于行列式的性质不断地降阶，或化为特殊矩阵，或按性质进行计算。

一般，有关行列式的性质是由式(1)推导，部分性质推导较为复杂。基于公理化定义的行列式，从公理形式出发进行推导，在逻辑思路、推导过程、简洁性等方面都有其优点。

文献[2]中以矩阵的列向量(A1,A2,…,An)作为变量，引入行列式函数，以公理形式给出了行列式定义。

本文基于公理本身，讨论了公理的等价性和独立性，从公理化定义行列式出发，直接导出行列式常见的基本性质和普通定义计算式(1)，并给出相关重要性质的推导。

1 行列式的公理化定义及等价公理

定义[2]设矩阵A=(A1,A2,…,An)，考虑一个实数函数det(A1,A2,…,An)，如果函数满足如下公理条件，则称det(A1,A2,…,An)为矩阵A的行列式。

公理1对于任意固定的(1≤k≤n),以Ak为变量，其余列不变的情况下诱导出的函数detk(Ak)具有齐次线性性质。即，对于任意常数a，b，detk(aAk+bBk)=adetk(Ak)+bdetk(Bk)。

公理2若存在相邻两列相等，其值为0。即，如果存在某个1≤k

公理3对于单位矩阵U=(U1,U2,…,Un)，det(U1,U2,…,Un)=1。其中Uk为第k个单位向量。

首先，可由公理条件直接推出如下基本性质：

性质1如果矩阵中有一列全为0，则行列式为0。

事实上，如果矩阵A的第k列全为0，由公理1中的齐次性，有detk(0)=detk(0·0)=0·detk(0)=0。

性质2将矩阵中一列的c倍加到相邻一列后，则行列式不变。

假设由矩阵中的第k+1列的c倍加到第k列，则新矩阵的第k列为Ak+cAk+1。由公理2，detk(Ak+1)=0。再由公理1,有detk(Ak+cAk+1)=detk(Ak)+c·detk(Ak+1)=detk(Ak)。

性质3将矩阵中相邻两列互换后，行列式改变符号。

证明设A=(A1,…,Ak,Ak+1,…,An)，两列互换后得到矩阵A′=(A1,…,Ak+1,Ak,…,An)。

将矩阵A中第k列加到第k+1列，得到B=(A1,…,Ak,Ak+Ak+1,…,An)；将矩阵B中第k+1列的(-1)倍加到第k列，得到C=(A1,…,(-1)Ak+1,Ak+Ak+1,…,An)；将矩阵C中第k列加到第k+1列，得到D=(A1,…,(-1)Ak+1,Ak,…,An)。

由性质2以及公理1中的齐次性质，有

det(A1,…,Ak,Ak+1,…,An)

=det(A1,…,Ak,Ak+Ak+1,…,An)

=det(A1,…,(-1)Ak+1,Ak+Ak+1,…,An)

=det(A1,…,(-1)Ak+1,Ak,…,An)

=(-1)·det(A1,A2,…,Ak+1,Ak,…,An)

性质1～3完全由公理本身得到。很显然：①性质1和性质2可以导出公理2；②性质1和性质3也可以导出公理2。换言之，分别以性质1和性质2取代公理2，以性质1和性质3取代公理2，可以得到行列式函数的另外两个等价公理定义。

请注意：公理定义中公理1和公理3是本质的。

2 行列式的其他性质

下面的性质表明：公理2、性质2和性质3中的“相邻”条件可以去掉。

性质4将矩阵中不同两列互换后，行列式改变符号。

证明指定两个不同列号i,j(i

因此，一共作了奇数次相邻列互换。由性质3，det(A)=(-1)det(C)。即：矩阵中不同两列互换后，则行列式改变符号。

类似证明：

性质5如果矩阵中有两列相等，则行列式为0。

性质6将矩阵中任一列的c倍加到另一列后，行列式不变。

证明任意指定两个不同列号i,j(i

由性质4，det(A)=(-1)det(B); 由性质2，det(B)=det(C)。再由性质4，det(C)=(-1)·det(D)。所以，det(A)=det(D)。即：矩阵中任一列的c倍加到另一列后，行列式不变。

(4,6,5,7)(9)，其轮换的长度分别为：3，1，4，1。通常，略去单点轮换后简单地表示为π=(1,2,8)(4,6,5,7)，未出现的元素表示自己映射到自己。长度为2的轮换称为对换。

可以验证：一个长度为k的轮换可以表示成k-1个对换的复合，且为最小对换个数：

(2)

假定将一个置换π分解为轮换积形式时，其轮换的长度序列为l1,l2,…,lm，则一个置换π可以表示为(l1-1)+(l2-1)+…+(lm-1)个对换的复合。记

τ#(π)=(l1-1)+(l2-1)+…+(lm-1)

它记录了置换π表示为对换的个数。

可以证明：

1)τ#(π)是置换π表示为对换时的最小对换个数。因此，这个数是唯一的，以其奇偶性定义置换π的奇偶性。

2)τ#(π)的奇偶性与整数序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序数τ(π)的奇偶性一致。

事实上，单位置换对应的逆序数为0。相邻元素作对换后，逆序数的改变相差1。一般对换使用后，逆序数的改变相差一个奇数。

有了上面的讨论，由性质4，我们有：

性质7给定A=(A1,A2,…,An)，以及列号集{1,2,…,n}上的一个置换π，有如下关系：

det(Aπ(1),Aπ(2),…,Aπ(n))=(-1)τ(π)det(A)

(3)

特别，由公理3，对于单位矩阵U=(U1,U2,…,Un)，我们有

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))=(-1)τ(π)

(4)

其中，τ(π)为整数序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序数。

矩阵行列式有一条重要性质：矩阵A的行列式与其转置AT的行列式相等。我们现在来看一下这条性质如何从公理出发得到。

首先，我们注意到：对于单位矩阵U,U=UT。从而，det(UT)=det(U)=1。

(5)

将公理1应用到式(5)中，从第1个列向量开始，依次展开：

(6)

由性质5，矩阵中有两列相等时，行列式为0。因此，式(6)完全展开后得到

其中，求和是取遍{1,2,…,n}上所有置换。

为了看清楚这一点，读者可以n=3推导式(7)。

由式(4),我们有

(8)

同样，对于

A=(A1,A2,…,An)

行列式展开后得到

我们知道：{1,2,…,n}的所有置换π，在复合运算下构成对称群Sn，对于任一个置换π，逆元π-1与π一一对应，并且τ#(π-1)=τ#(π)。从而，(-1)τ(π-1)=(-1)τ#(π-1)=(-1)τ#(π)=(-1)τ(π)。

改写式(9)中系数项中的乘积顺序。行、列下标自然顺序调整有如下关系：

aπ(1),1aπ(2),2…aπ(n),ndet(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

=a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,

Uπ-1(n))

(10)

因为

aπ(1),1aπ(2),2…aπ(n),ndet(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

=(-1)τ(π)a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(U1,U2,…,Un)

=(-1)τ(π)+τ(π-1)a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)·

det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

=a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

因此，我们有

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

(11)

当求和取遍所有置换时，有如下关系：

Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

Uπ(2),…,Uπ(n))

Uπ(2),…,Uπ(n))

=det(AT)

(12)

由此，有如下性质：

性质8矩阵A的行列式与其转置AT的行列式相等。即，det(AT)=det(A)。

有了性质8，行列式公理定义中，由“列向量”改为“行向量”作变量定义行列式函数同样有上述平行性质。因此，有关“列”的性质，对“行”同样成立。

同时，由式(11)及公理3，我们可以得到通常行列式的定义公式：

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

det(U1,U2,…,Un)

(13)

其中，求和是取遍{1,2,…,n}的所有置换π，一共有n!项。

由于是对全体置换求和，我们有

(14)

在上述推导过程中，我们得到如下2个有用公式：

(15)

(16)

注意：式(15)中，等式左端矩阵部分是取A的转置AT，右端求和系数项中的乘积是以行标为自然顺序；而在式(16)中，等式左端矩阵部分是取A，右端求和系数项中的乘积是以列标为自然顺序。

用公理方法，可以自然地推出著名的Laplace定理：矩阵乘积(矩阵乘)的行列式等于矩阵行列式的乘积(实数乘)。即，det(AB)=det(A)det(B)。

设有两个同阶方阵A和B，其矩阵乘法AB形式可以表示为

(17)

仿式(15)(16)，我们有

det(Aπ(1),Aπ(2),…,Aπ(n))

det(Aπ-1(1),Aπ-1(2),…,Aπ-1(n))

det(A1,A2,…,An)

=det(A1,A2,…,An)·

=det(A1,A2,…,An)·

=det(A1,A2,…,An)·det(B1,B2,…,Bn)

=det(A)·det(B)

其中

是依据求和取遍{1,2,…,n}的所有置换。

3 高阶行列式降阶与行列式的分解

我们知道：高阶行列式的计算主要是通过降阶。

由公理得到的一些主要性质(如：行(列)互换行列式变号，一行(列)的c倍加到另行(列)行列式不变)，以及如下的降阶原理可以计算n阶行列式。

对于n阶矩阵A=(A1,…,An)，可以表示成如下形式：

(18)

如果A中第1行全为0，则det(A)=0，否则至少有一个不为0。于是，通过适当的列互换，以及第1(行)列的某个倍数加到另一(行)列，矩阵可化为如下形式：

(19)

其中，矩阵B=(B2,…,Bn)为n-1阶方阵。对于形如式(19)的矩阵，利用已经由公理推导出的行列式

可以推导出：det(A)=adet(B)。

我们现在观察n阶矩阵A的行列式分解为它的n-1阶子矩阵的行列式之间的关系：

对于式(18)表示的矩阵A，记A[i,j]为在矩阵A中删去第i行、第j列后得到的n-1阶子矩阵。

展开如下公式：

=a1,1det(A[1,1])+

=a1,1det(A[1,1])+…

我们有

(20)

一般地，对于固定的i，有如下分解计算公式：

(21)

对于式(20),对于2≤i≤n,由两行相同行列式为0，我们有

(22)

由此导出一条重要性质：如果行列式det(A)≠0，对于第1个n维单位向量U1，线性方程组

x1A1+…+xnAn=U1

有解，其中解x(1)的分量

(23)

一般地，类似方法可得到：如果行列式det(A)≠0，对于第k个n维单位向量Uk，线性方程组

x1A1+…+xnAn=Uk

有解，其中解x(k)的分量计算公式为

(24)

请注意：在det(A)≠0条件下，文中线性方程组解的存在性完全由公理及行列式性质独立推出,并非由det(A)≠0条件按如下路径得到：A1,…,An线性无关，由A1,…,An构成Rn空间的生成系，再由生成系生成B(如文献[2])。由生成系生成B要用到线性方程组的解，从逻辑上讲，这里出现一个循环推导问题。

将式(23)(24)组合在一个公式中，得到

由此，矩阵A的逆矩阵

ci,j=(-1)i+jdet(A[i,j])

(25)

这就是可逆矩阵的逆矩阵计算公式(方法)——代数余子式方法。

4 线性方程组解的存在性及解的表示

行列式之所以重要，最主要的原因之一是它提供了求解线性方程组的一般方法：克莱姆(Cramer)法则。

公理化定义的行列式很容易导出克莱姆法则，这体现了公理化方法的优点。

给定一组n维列向量A1,…,Am，称A1,…,Am线性相关，指：存在其中一个列向量Ak，Ak可以表示由其余列向量的线性组合表示。如果不是线性相关，则称为线性无关(或线性独立)。

线性相关等价于：存在一组不全为0的数α1,…,αm，使得α1A1+…+αmAm=0。线性无关等价于：对任意一组数α1,…,αm，如果α1A1+…+αmAm=0，则α1=…=αm=0。

在讨论线性方程组解的存在性与系数矩阵的行列式之间的关系之前，从逻辑上讲，我们应该先考虑行列式与列向量线性相关性质之间的关系，而不是从线性方程组解的性质讨论这一关系。

关于向量组的线性相关性质，容易验证：①在一个向量组中，如果存在部分向量构成的子向量组线性相关，则该向量线性相关；②对一组n维列向量A1,…,Am，B1,…,Bm是由A1,…,Am在同一位置(如第1位置)插入0后得到n+1维向量组，则A1,…,Am与B1,…,Bm的线性相关性一致。

由第3节得到的性质，我们可以得到如下性质：

性质9对于矩阵A=(A1,…,An)，如果det(A1,…,An)=0，并且A第1列都不全为0，则通过如下操作：

1)调整行的顺序使(1,1)位置元素不为0；

2)将第1列的某个倍数加到第2,…,n列某一列，得到矩阵

其中det(B2,…,Bn)=0。

请注意：第一类操作只可能改变行列式符号，第二类操作不改变行列式值，因此

性质9就是通常将一个矩阵划为三角矩阵的方法：行列式值只改变符号。对于行列式为0的原始矩阵，每一步操作后所得到矩阵的行列式仍为0，并且A1,…,An与B1,…,Bn的线性相关性一致。

请注意：对于一阶矩阵，当其行列式为0时，该矩阵只能为零矩阵。

由上述讨论，矩阵A=(A1,…,An)中，A1,…,An的线性相关性可以由A的行列式值是否为0判定。

性质10对于矩阵A=(A1,…,An)，向量组A1,…,An的线性相关性当且仅当det(A)=0。

证明如果A1,…,An线性相关，则存在一个列向量Ak，Ak=α1A1+…+αk-1Ak-1+αk+1Ak+1…+αnAn,则由性质6及性质1，det(A1,…,Ak,…,An)=det(A1,…,0,…,An)=0。

反之，如果det(A)=0，如果A中有一列向量全为0，则A1,…,An中含有零向量，从而线性相关。否则，取定A1，其中至少有一个非零分量。按性质9，从A可以得到一个形式如下的矩阵：

其中det(B)=det(B2,…,Bn)=0，且A1,…,An与B1,…,Bn的线性相关性一致。

对B重复上述操作(至多n-1次)，可以在某一步上得到C=(Ck,…,Cn)(1

利用性质10，我们得到如下行列式与线性方程解之间的关系。

性质11对于线性方程x1A1+…+xnAn=B，我们有：

1)如果对于任意一个n维列向量B，方程有解，则det(A1,…,An)≠0。

2)如果det(A1,…,An)≠0，则对于任意给定的一个n维列向量B，方程有解。从而，如果存在某个n维列向量B，方程无解，则det(A1,…,An)=0。

证明1) 假定对于任意的n维列向量B，方程有解，分别取B为单位向量U1,…,Un，记方程x1A1+…+xnAn=Ui的解为Bi，则(A1,…,An)(B1,…,Bn)=(U1,…,Un)。因此

det((A1,…,An)(B1,…,Bn))

=det(U1,…,Un)=1

由Laplace定理：

det((A1,…,An)(B1,…,Bn))

=det(A1,…,An)det(B1,…,Bn)

从而，det(A1,…,An)≠0。

而解x*的分量由如下公式计算：

可以验证

=det(A1,…,Ak-1,B,Ak+1,…,An)

从而

这就是Cramer法则对解向量的分量的计算公式。

反过来，如果det(A1,…,An)≠0，且方程x1A1+…+xnAn=B有解(请注意，这里先假设有解)，则解向量中分量xj可以表示为

这就是著名的Cramer法则。

Cramer法则的推导：由x1A1+…+xnAn=B，以第1列为例：将B替换A1，计算行列式det(B,A2,…,An)。由性质6，从第2列至第n列，分别以第k列的-xk倍加到第1列(行列式不变)，最后使用公理1得

det(B,A2,…,An)

=det(x1A1+x2A2+…+xnAn,A2,…,An)

=det(x1A1+x3A3+…+xnAn,A2,…,An)

…

=det(x1A1,A2,…,An)

=x1det(A1,A2,…,An)

5 结语

在行列式的公理定义中，三条公理是相互独立的。原因是：公理1只考虑矩阵中任一列上的齐次线性性质；公理2是考虑矩阵中两列比较，不涉及运算；公理3是界定行列式函数的“初始”边界值，以单位矩阵U的行列式为1作为“种子值”。因此，由其中任意两个公理不能导出第三条公理。

其次，根据第1节中的讨论，行列式的公理定义中的公理2有两种替换方式。

对于公理3，可修改det(U1,U2,…,Un)的初始值。如：定义一个函数F(A)=F(A1,…,An)满足公理1和公理2，修改公理3为F(U)=F(U1,…,Un)=c≠0,则可以证明：F(A1,…,An)=c·det(A1,…,An)。

更进一步，我们可以将F(A)=F(A1,…,An)的取值不是定义在实数集上，而是定义于一个域上(或者一个抽象空间上)，通过适当规定公理，可以将矩阵的性质映射到相应空间上。同样，可以修改公理，研究满足公理的函数的相关性质。

有关行列式的定义方式，还可以用Valiant给出的图论方法引入，相关定义请参见文献[3-4]。对于高阶稀疏矩阵行列式的计算，有时以图的方式引入的定义更有效。对于MacMahon主定理、Cayley-Hamilton定理、矩阵树定理、特征多项式定理等的证明，图论方法引入行列式体现了新的思路。详细介绍请参阅文献[5-10]。

a1,π(1)a2,π(2)…an,π(n)，其求和是对集合J={1，2，…,n}上所有置换求和，即在对称群Sn中取每个元素作用于列标号集J。我们知道：对于定义在J上的任意一个(有限)群G,都对应产生Sn的一个子群。或者说，G同构于Sn的一个子群。